IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 31.12.06, 15:22
Mam takie zadanie: Na każdym z 21 krzeseł tworzących rząd w teatrze siedzą
widzowie. W czasie przerwy wszyscy wychodzą z sali i po powrocie zajmują
miejsca w tym samym rzędzie w sposób przypadkowy. Jakie jest prawdopodobieństwo,że
a)osoba siedząca przed przerwą na 11 krzesle nie usiądzie obok osoby siedzącej
poprzednio na 10 krześle;
b)osoba siedząca przed przerwą na 11 krześle nie usiądzie obok dawnego
sąsiada. Zadanie a) jest dosyć proste i poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi
19/21, ale z b) sobie nie radzę -sąsiedzi mogą tworzyć różne układy - proszę
o podpowiedź.
Edytor zaawansowany
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 01.01.07, 19:48
    a) Jestem ciekawa jak rozwiązałaś ten punkt. Ja skorzystałam z
    prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.
    P(A)=1-(1*1*19!+1*1*19!+19*2*19!)/21!=19/21
    b) Podobnie z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego i prawdopodobieństwa
    sumy zdarzeń
    P(A suma B)=P(A)+P(B)-P(A iloczyn B)
    A - usiądzie obok 10
    B - usiądzie obok 12
    A iloczyn B - usiądzie między 10 i 12
    moc A = 40*19! (jak w punkcie a)
    moc B= podobnie
    Moc(A iloczyn B)=19*2*1*18!
    a potem 1-...
    Głowy nie dam, że się nie pomyliłam
  • Gość: Aśka IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 01.01.07, 20:54
    Zadanie sprowadza sie do tego:W rzedzie o 21 miejscach posadzić
    a)dwie osoby tak, aby nie siedziały obok siebie;
    b)trzy osoby A,B,C tak, żaby B nie sąsiadowała ani z a, ani z C.
    To, jak siedza pozostałe osoby nie ma znaczenia.
    a)Pierwsza osoba może usiąść na 21 sposobow a droga obok niej na 1 sposob, kiedy
    pierwsza zajęła 1. lub 21. krzesło lub na dwa sposoby, kiedy pierwsza siedzi na
    jednym z pozostałych. Razem jest 21*2 -2 =40 sposobow. Wszystkich mozliwych jest
    21*20 więc prawd. że siedzą obok siebie wynosi 40/21*20 = 2/21
    Prawd. że nie siedzą obok siebie jest więc 19/21
    b)Tu jest gorzej, bo B może usiąśc obok conajmniej A lub C na 1 sposób, na 2,3
    lub4 sposoby w zalezności od umiejscowienia AC. Tych sposobow jest 1296(?)
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 01.01.07, 21:21
    Ja liczyłam trochę inaczej:
    a)Wszystkich zdarzeń =21!
    Sprzyjajacych=1*1*19!+1*1*19!+19*2*19!=40*19!
    1*1*19! - to przypadek, gdy 10 siadła z lewego brzegu, obok 11 a pozostali na
    19! sposobów, podobnie gdyby 10 usiadła z prawego brzegu
    19*2*19! - to przypadek, gdy 10 nie siadła z brzegu, czyli zajęła jedno z 19
    miejsc, wtedy 11 ma dwie mozliwości: z prawej lub lewej a pozostali na 19!
    sposobów.
    Juz nie jestem pewna czy mi sie 10 z 11 nie pomyliła, bo nie mam teraz treści
    zadania przed sobą.
    Tym samym sposobem zrobiłam b). Tak jak opisałam. Wyszło mi 57/70.
    Spróbuj przeczytać mój sposób rozwiązania b).
  • Gość: Aśka IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 01.01.07, 23:13
    Ja liczyłam trochę inaczej:
    a)Wszystkich zdarzeń =21!
    Sprzyjajacych=1*1*19!+1*1*19!+19*2*19!=40*19!
    1*1*19! - to przypadek, gdy 10 siadła z lewego brzegu, obok 11 a pozostali na
    19! sposobów, podobnie gdyby 10 usiadła z prawego brzegu
    19*2*19! - to przypadek, gdy 10 nie siadła z brzegu, czyli zajęła jedno z 19
    miejsc, wtedy 11 ma dwie mozliwości: z prawej lub lewej a pozostali na 19!
    sposobów.
    Można i tak, tylko ta dziewietnastka niezainteresowanych nas nie interesuje i
    w rachunkach się "skraca"
    W czesci b) Mozna wykorzystać a) dla posadzenia A, ale C siada juz w innych
    warunkach - jedno miejsce jest juz zajęte,. Nie zawracaj sobie głowy pozostałtmi
    osiemnastoma osobami. A i C mozna rożsadzić na 420 sposobow, ale B ma rozne
    sznse siedzieć obok nich (dla zd. przeciwnego)Np jesli zajęte sa miejszca 1,3
    albo 19, 21 albo 1,21 - B ma tylko 2. możliwosci , przy 2,4 - trzy , przy 2,5 -
    cztery przy 1,2 - jedną. razem jest 1286 mozliwosci , ale jeszcze nie mam
    pewności, czy to dobry wynik. Sprawdź, proszę.
  • ellipsis 02.01.07, 14:15
    Oznaczmy:
    A - osoba z miejsca 11 (przed przerwą),
    B - osoba z miejsca 10 (przed przerwą),
    C - osoba z miejsca 12 (przed przerwą).

    Ad a)
    Osoba A siedzi
    albo na miejscu skrajnym - wtedy osoba B zajmuje dowolne miejsce spośród 19, a
    pozostałe 19 osób rozsadzamy dowolnie; tych możliwości jest 2*19*19!,
    albo na miejscu nieskrajnym - wtedy osoba B zajmuje dowolne miejsce spośród 18,
    a pozostałe 19 osób rozsadzamy dowolnie; tych możliwości jest 19*18*19!.
    Łącznie mamy
    2*19*19! + 19*18*19! = (2+18)*19*19! = 20! * 19
    możliwości, a szukane prawdopodobieństwo wynosi
    20! * 19 / 21! = 19/21.

    Ad b)
    Osoba A siedzi
    albo na miejscu skrajnym - wtedy osoba B zajmuje dowolne miejsce spośród 19,
    osoba C zajmuje dowolne miejsce spośród 18, a pozostałe 18 osób rozsadzamy
    dowolnie; tych możliwości jest 2*19*18*18!,
    albo na miejscu nieskrajnym - wtedy osoba B zajmuje dowolne miejsce spośród 18,
    osoba C zajmuje dowolne miejsce spośród 17, a pozostałe 18 osób rozsadzamy
    dowolnie; tych możliwości jest 19*18*17*18!.
    Łącznie mamy
    2*19*18*18! + 19*18*17*18! = (2+17)*19*18*18! = 19*18*19!
    możliwości, a szukane prawdopodobieństwo wynosi
    19*18*19! / 21! = 19*18/(21*20).

    PS. Zdarzeń niesprzyjających w punkcie b) jest
    21! - 19*18*19! = (21*20 - 19*18) * 19! = 78*19! = 1482 * 18!.
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 02.01.07, 14:53
    Czyli wyszło tak samo jak mi :)

  • Gość: Joa IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 02.01.07, 15:16
    > Ad b)
    > Osoba A siedzi
    > albo na miejscu skrajnym - wtedy osoba B zajmuje dowolne miejsce spośród 19,
    > osoba C zajmuje dowolne miejsce spośród 18, a pozostałe 18 osób rozsadzamy
    > dowolnie; tych możliwości jest 2*19*18*18!,

    Jezeli C zajmuje dowolne miejsce spośród 18, to może usiąść przy siedzącym już
    B, a nie powinna. C może usiąść na 17 miejscach miejsce A oraz miejsce B i dwa
    obok niego są dla C wykluczone Takich mozliwości jest 2*19*17*18!, choć tę
    osiemnastkę można na stałe odrzucic - co zauwazyła Aska - i operować tylko
    trójką - dla prawdopodobieństwa ta "18" nie ma znaczenia
    Wg mnie wsystkich sytuacji niesprzyjających jest 1316 (lub 1316*18!)i szukane
    prawdopodobieństwo jest 238/285. Być może jest jakiś błąd rachunkowy - jeszcze
    sprawdzę.
  • Gość: Joa IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 02.01.07, 19:28
    Oznaczmy interesujące nas osoby przez A,B,C załóżmy, że B chcę usiąść obok
    którejś z nich. Osoby A i C mogą usiać na 21*20 sposobów w tym 4 dających jedna
    szansę B (kiedy zajęte są dwa kolejne krzesła,szansa – to wolne krzesło obok)
    42 ustawienia dające dwie szanse(zajete I i III od końców lub dwa końcowe, lub
    pary (2,3),(3,4)...(19,20);
    68+34 ustawień dających 3 szanse (zajęte końcowe i dowolne poczynając od
    czwartego-bez ostatniego lub zajęte pary(2,4),(3,5)...(18,20) )
    272 ustawienia z 4 szansami (wszystkie pary z „wewnętrznych” dziewiętnastu z
    wykluczeniem zajętych dla 2 i3 szans..
    B ma więc 4+2*84+3*102+4*272=4+168+306+1088=1566 szans na zetknięcie sie
    krzesłem z A lub C
    P=1566/21*20*19 =261/1330
    Może ktoś znajdzie ewentualna lukę lub bład w tym rozwiązaniu.
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 02.01.07, 21:23
    Joa. Ja nie wiem o co tutaj chodzi: "w tym 4 dających jedna
    szansę B (kiedy zajęte są dwa kolejne krzesła,szansa – to wolne krzesło obok)".
    Przez kogo zajęte? Przez A i C?
    Miało być, że nie usiądą obok siebie a Ty chyba liczysz, że usiądą obok siebie.
    Ja uważam, że siedzi obok A i C to znaczy siedzi między nimi i dlatego
    skorzystałam z prawdopodobieństwa sumy zdarzeń. Ja popatrzę jeszcze na Twoje
    rozwiązanie ale proszę, popatrz na moje i spróbuj znaleźć błąd w moim
    rozumowaniu.
  • Gość: Joa IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 02.01.07, 23:21
    Joa. Ja nie wiem o co tutaj chodzi: "w tym 4 dających jedna
    > szansę B (kiedy zajęte są dwa kolejne krzesła,szansa – to wolne krzesło o
    > bok)".
    Wyjaśniam. Jeżeli zajęte sa przez AiC krzesała 1,2 lub 20, 21 to B może usiąść
    na jednym krześle obok. Ponieważ każda parę z ww. krzeseł można zająć na dwa
    sposoby (AC,CA) więc są cztery sposoby udzialu w tym B: ACB, CAB lub z
    drugiegi\o końca BAC, BCA Podobnie jest z następnymi. Obliczam w ten sposób
    liczbę sytuacji, w których B siedzi obok A lu C.Liczbę zdarzeń przeciwnych
    oblicże przez odjęcie od 21*20*19.
    Twoj bład polega (wg .mnie) na tym,że wykorzystujesz wynik z a) do zadania b) W
    zadaniu a) interesują nas dwie osoby,w b)zas trzy. B zastaje sytuacje, kiesy A i
    C juz siedza i dostęp do A może juz byc ograniczony z jednej strony przez C (Co
    w a) nie zachodziło)Zdarzenie sprzyjające teraz siedzeniu obok A. to nie to samo
    co poprzednio.
    Zeby to zauważyć, zrob to zadanie dla pięciu krzeseł - raz "swoją" metodą,
    drugi raz "na piechotkę" - zrobisz dosyc szybko.
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 02.01.07, 23:37
    Tak na początek, to właśnie to mi nie pasuje
    "ACB, CAB lub z drugiegi\o końca BAC, BCA "
    Czy Ty uważasz, że CAB to znaczy, że B siedzi obok C i A. Ja uważam, że CAB
    oznacza, że B siedzi obok A.

  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 02.01.07, 23:42
    "osoba siedząca przed przerwą na 11 krześle nie usiądzie obok dawnego
    sąsiada"
    Zaprzeczeniem będzie: usiądzie obok dawnego sąsiada a to wg mnie znaczy
    usiądzie obok 10 lub usiądzie obok 12, no i stąd prawdopodobieństwo sumy
    zdarzeń.
    Ellypsis ma taki sam wynik jak ja. W jego rozwiązaniu widzisz jakis błąd?
    Wiesz co? Mam dość tego zadania.
  • Gość: JOa IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 03.01.07, 00:35
    Tak na początek, to właśnie to mi nie pasuje
    "ACB, CAB lub z drugiegi\o końca BAC, BCA "
    Na krzeslach 1,2,3 siadża odpowiednio ACB (B siedzi przy C) lub CAB (B siedzi
    przy A),lub na krzesłach 19,20,21 - siadża BAC lub BCA - AC w tych czterech
    sytuacjach siedzą obok siebie a B przy tylko jednym z nich, Jesli a i c siedża
    np na 5 i 7 krzesle to B może sie przysiąscd na czwarte,szoste lub ósme krzesło
    -jest więc 6 ukladow BAxC, ABC, AxCB,BCxA,CBA,CxAB x - puste krzesło.
    Dobrej nocy!
  • ellipsis 03.01.07, 18:26
    Aśka napisała:
    > b)osoba siedząca przed przerwą na 11 krześle
    > nie usiądzie obok dawnego sąsiada.
    - w zadaniu tym _nie_ wymaga się, aby osoby B i C _nie były_ sąsiadami! Zresztą
    te osoby także przed przerwą nie były sąsiadami!

    Dla pełności - oto rozwiązanie poniższego zadania:
    c) żadna z osób siedzących przed przerwą na krzesłach od 10 do 12 nie będzie
    sąsiadem żadnej z pozostałych osób siedzących przed przerwą na krzesłach od 10
    do 12.

    Policzmy zdarzenia sprzyjające...
    Ad c)
    Po przerwie
    1) albo obie osoby B i C siedzą na miejscach skrajnych - wtedy osoba A zajmuje
    dowolne miejsce spośród 17 (osoby B i C ,,blokują" 4 miejsca), a pozostałe 18
    osób rozsadzamy dowolnie; tych możliwości jest 2*1*17*18!,
    2) albo jedna z osób B i C siedzi na miejscu skrajnym oraz między osobami B i C
    jest dokładnie jedno miejsce wolne - wtedy osoba A zajmuje dowolne miejsce
    spośród 17 (osoby B i C ,,blokują" 4 miejsca), a pozostałe 18 osób rozsadzamy
    dowolnie; tych możliwości jest 2*2*17*18!,
    3) albo dokładnie jedna z osób B i C siedzi na miejscu skrajnym oraz między
    osobami B i C jest więcej niż jedno miejsce wolne - wtedy osoba A zajmuje
    dowolne miejsce spośród 16 (osoby B i C ,,blokują" 5 miejsc), a pozostałe 18
    osób rozsadzamy dowolnie; tych możliwości jest 4*17*16*18! (osoba C wybiera
    miejsca od #4 do #20, gdy osoba B zajęła miejsce #1 [mamy 17 możliwości];
    podobnie jest gdy B=#21, C=#1 i C=#21),
    4) albo żadna z osób B i C nie siedzi na miejscu skrajnym oraz między osobami B
    i C jest dokładnie jedno miejsce wolne - wtedy osoba A zajmuje dowolne miejsce
    spośród 16 (osoby B i C ,,blokują" 5 miejsc), a pozostałe 18 osób rozsadzamy
    dowolnie; tych możliwości jest 17*2*16*18! (aby wyliczyć, w ilu kombinacjach B
    siedzi na miejscu o numerze niższym niż C, sadzamy B na miejscach od #2 do #18,
    a C na miejscu i+2 [mamy 17 takich możliwości]),
    5) albo żadna z osób B i C nie siedzi na miejscu skrajnym oraz między osobami B
    i C jest więcej niż jedno miejsce wolne - wtedy osoba A zajmuje dowolne miejsce
    spośród 15 (osoby B i C ,,blokują" 6 miejsc), a pozostałe 18 osób rozsadzamy
    dowolnie; tych możliwości jest 17*16*15*18! (aby wyliczyć, w ilu kombinacjach B
    siedzi na miejscu o numerze niższym nić C, sadzamy B na miejscach od #2 do #17,
    a C na miejscach od #(i+3) do #20 [mamy (21-5) + (21-6) + ... + (21-20) =
    17*16/2 możliwości]).
    Łącznie otrzymujemy
    2*1*17*18! + 2*2*17*18! + 4*17*16*18! + 17*2*16*18! + 17*16*15*18! =
    (2+4+64+32+240)*17*18! = 342*17*18! = 19*18*17* 18! = 18*17*19!
    sprzyjających możliwości, a szukane prawdopodobieństwo wynosi
    18*17*19! / 21! = 306/420 = 51/70.

    Sprawdzenie.
    Wyliczmy dodatkowo, w ilu rozstawieniach osoby B i C siedzą _obok siebie_, a
    osoba A _nie siedzi_ obok żadnej z nich:
    6) albo jedna z osób B i C siedzi na miejscu skrajnym - wtedy osoba A zajmuje
    dowolne miejsce spośród 18 (osoby B i C ,,blokują" 3 miejsca), a pozostałe 18
    osób rozsadzamy dowolnie; tych możliwości jest 2*2*18*18!,
    7) albo żadna z osób B i C nie siedzi na miejscu skrajnym - wtedy osoba A
    zajmuje dowolne miejsce spośród 17 (osoby B i C ,,blokują" 4 miejsca), a
    pozostałe 18 osób rozsadzamy dowolnie; tych możliwości jest 18*2*17*18! (aby
    wyliczyć, w ilu kombinacjach B siedzi na miejscu o numerze niższym niż C,
    sadzamy B na miejscach od #2 do #19, a C na miejscu i+1; mamy 18 takich możliwości).
    Łącznie otrzymujemy
    2*2*18*18! + 18*2*17*18! = (2+17)*2*18*18! = 2*18*19!
    takich rozstawień. Uwzględniając wynik z pierwszej części mamy
    18*17*19! + 2*18*19! = (17+2) * 18*19! = 19*18*19!
    układów, w których osoba A nie siedzi obok żadnej z osób B i C. Jest to
    dokładnie wynik, który jest rozwiązaniem zadania b). To uprawdopodabnia, że
    powyższe wyliczenia są poprawne... :)
    PS. Wynik otrzymany jako rozwiązanie zadania c) (czyli 19*18*19!) sugeruje, że
    liczbę tę można uzyskać łatwiej, jako wybór dwóch miejsc spośród 19 dla osób B i
    C, pomnożenie tej liczby przez 2 (bo nie wiemy, która z tych osób ma miejsce o
    niższym numerze) i dowolne rozstawienie pozostałych osób na 19 pozostałych
    miejscach. Nie potrafię jednak w tej chwili uzasadnić, dlaczego (ani nawet, w
    ogólnym przypadku, czy...) to jest dobrze... :(
  • ellipsis 03.01.07, 18:29
    Powinno oczywiście być
    ,,PS. Wynik otrzymany jako rozwiązanie zadania c) (czyli 18*17*19!) sugeruje,
    że liczbę tę można uzyskać łatwiej, jako wybór dwóch miejsc spośród 18 dla osób
    B i C ..."
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 03.01.07, 18:51
    :))) Mam dość tego zadania.
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 01.01.07, 21:33
    jeszcze raz b)
    może usiąść obok 10. Zdarzeń jak w a) 40*19!,
    może usiąść obok 12. Zdarzeń też 40*19!. Ale te dwa przypadki mogą zawierać
    część wspólną to znaczy: 11 siedzi między 10 i 12 i liczone by były podwójnie i
    dlatego trzeba je odjąć.
    Tych zdarzeń jest 19*2*1*18! (11 ma wo wyboru 19 miejsc, 10 dwa(z lewej lub z
    prwej) 12 już tylko jedno a pozostali na 18! sposobów)
    Zdarzeń sprzyjających (zdarzeniu przeciwnemu) jest
    40*19!+40*19!-19*2*1*18!=
    a P(A)=1-(40*19!+40*19!-19*2*1*18!)/21!
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 02.01.07, 00:06
    Nie wiem jak Ci to sprawdzić:(
    Ja rozumiem to tak
    b) usiądzie obok jednego lub (suma) usiądzie obok drugiego, minus usiądzie obok
    jednego i drugiego, czyli między nimi. I potem przeciwne ...
    A masz wynik ? To znaczy wiesz ile powinno wyjść?
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 03.01.07, 00:10
    Wydaje mi się, że inaczej rozumiemy treść zadania.
    Ile Ci wyszło dla pięciu osób?
    Mi według mojego rozumowania (?) wyszło niesprzyjających 84.
    8*3!+8*3!-6*2!=84. Wszystkich zdarzeń =5!=120
    P(A)=1-84/120=1-7/10=3/10
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 03.01.07, 02:04
    Wypisałam dla pięciu elementów A, B, C, D, E wszystkie 120 możliwości.
    I policzyłam sprzyjające i niesprzyjające i jest tak jak wyszło mi w rachunkach.
    B nie siedzi obok dawnego sąsiada, 36 możliwości
    nie siedzi 84 możliwości
  • Gość: Joa IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 03.01.07, 15:38
    Nie wiem, skad to 120 jeżeli wariacji bez powtórzeń 3 z 5 jest 60.Narysuj sobie
    prostokącik 5x10 kratek i w każdym 5-kratkowym rzędzie zaznacz dwa pola (zajęte
    przez A i C) i zobacz ile miejsc nie styka się z zajetymi - jest ich 9, ale
    trzeba je pomnożyc przez 2, bo A i C mogą się zmienić miejscami. Bmoże się
    "zetknąc" z pozostałymi na 42 sposoby, a na 18 - usiadzie dalej.
    Prawdopodobieństwo tego "dalej" wynosi więc 18/60=3/10.
    Oblicz teraz to samo poprzednią metodą - otrzymasz inny wynik.
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 03.01.07, 15:47
    usadziłam już wzsystkie 5 osób, więc 5!=120 i stąd wybrałam sprzyjające i tak
    mi wyszło
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 03.01.07, 16:08
    no i w tym przypadku wyszło nam tak samo :)
    Tobie 18/60, mi 36/120.
    I tyle samo mi wyszło, gdy liczylam korzystając z prawdopodobieństwa sumy
    zdarzeń
  • Gość: Joa IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 03.01.07, 16:29
    Napisałąs dwa razy nie i stąd zamieszanie. W zadaniu Aśki nie pytano o liczbę
    rozsadzeń całej sali, tylko o trzy wybrane osoby. Te 18! nic nie wnosi do
    wyliczenia prawdopodobieństwa. Pozostali moga iśc do domu.Nie przyszło mi na
    mysl,ze wypisujesz wszystkie 120 rozstawień w tym ostatnim zadaniu.Przemyślę
    jeszcze raz, dlaczego "moim"sposobem otrzymuje inny wynik niz Twoj(ten z 21
    krzesłami}. Na razie daję temu spokoj.
  • Gość: Julka IP: *.internetdsl.tpnet.pl 03.01.07, 16:40
    ok :) Dzięki za współpracę :)
  • pam31 03.01.07, 19:53
    Zadanie b) Aski można rozwiazac o wiele prościej. Prawdopodobieństwo,że B nie
    usiądzie obok A w rzędzie n krzeseł wynosi (n-2)/n. Prawdopodobieństwo,że C
    nie usiadzie obok B wynosi już (n-3)/(n-2) , bo jedno krzesło zajął A, ale
    prawdopodobieństwo,że B nie siedzi przy A jest - jak bylo juz powiedziane -
    (n-2)/n. Iloczyn obu prawdopodobieństw jest prawdopodobieństwem naszego zdarzenia
    P=(n-2)(n-3)/n(n-1) Dla n =21 P= 19*18/21*20=57/70 jak w Waszych rozważaniach.
    Tę metodę można zastosować , kiedy chcemy, by np. konkretna jedna osoba z
    pięciu nie siedziała obok żadnej z pozostałych
    P=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/n(n-1)(n-2)(n-3)=
    =(n-4)(n-5)/n(n-1) Oczywiście liczba osob musi byc przynajmniej o dwa mniejsza
    od liczby krzeseł,żeby prawdopodobieństwo nie był zerowe.Metoda rozpatrywania
    roznych ustawień jest dosyc kłopotliwa.
  • ellipsis 05.01.07, 11:47
    Prawdą jest, że
    P(B nie usiądzie obok A) = 19/21
    oraz
    P(B nie usiądzie obok C|A gdzieś siedzi) = 18/20.
    Nas jednak interesuje zdarzenie
    B nie usiądzie ani obok A, ani obok C,
    którego prawdopodobieństwo, korzystając z określenia prawdopodobieństwa
    warunkowego, jest równe
    P(B nie usiądzie ani obok A, ani obok C) =
    = P((B nie usiądzie obok A) i (B nie usiądzie obok C)) =
    = P(B nie usiądzie obok C | B nie usiądzie obok A) * P(B nie usiądzie obok A).
    Problem: Jak uzasadnić poniższą równość?
    P(B nie usiądzie obok C|A gdzieś siedzi) = P(B nie usiądzie obok C | B nie
    usiądzie obok A)
    Przychodzi mi do głowy jedynie wyznaczenie powyższych prawdopodobieństw poprzez
    wyliczenie liczby zdarzeń sprzyjających... :(

  • pam31 05.01.07, 15:15
    Dla dwóch osób + jedna i n krzeseł liczba wszystkich rozstawień w których AiB
    siedzą dowolnie i C sąsiaduje przynajmniej z jedną z nich wynosi
    4n^2-14n+12 zas liczba pozostałych, interesujących nas, rozsadzeń jest
    n(n-1)n-2) -(4n-6)(n-2)=(n-2)[n^2-n-4n+6)=(n-2)(n-3)(n-2) .Jezeli koniecznie
    chcemy widzieć inne osoby na wszystkich pozostałych krzesłach,wprowadzimy do
    poprzednich iloczynów czynnik (n-3)!. Prawdopodobieństwo interesującego nas
    zdarzenia
    wynosi P(AiB)=(n-2)(n-3)/n(n-1) gdzie P(A=C nie siedzi przy A)=(n-2)/n
    zaś P(B|A)=(n-3)/(n-1)
    Dla większej liczby osob dowód przez indukcję.
    Otrzymane na poczatku liczby zdarzęń wyliczone dla n krzesel metodą podobna do
    przedstawionej przez Ciebie: Ile jest ustawień AiB przy których C ma jedne
    sąsiadujące krzesło, dwa, trzy lub cztery. Np trzy miejsca sąsiednie - kiedy
    zajęte jest krzesło z nr 1 i jedno z numerem od 3 do n-1, lub zajęte pary
    krzeseł (2,3),(3,4)...(n-2,n-1) . Uwzględniając odwrotną kolejność
    i wymianę A z B mamy 6(n-3)sytuacji w których C może usiąść po sąsiedzku na
    jednym z trzech krzeseł.

  • Gość: Student IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 07.01.07, 12:56
    Asiu! Zadanie można zrębić w oparciu o tw o prawdopodobieństwie zupełnym .
    Możliwe są takie sytuacje: "11" siada na krańcowym krześle a "10"i "12" na 19
    krzesłach z pozostałych 20 ( niestykających sie z krańcowym) lub "11" na
    dowolnym wewnętrznym(1z19) a pozostali na 18(z pozostałych 20). Dla zapisu
    formalnego znaczmy zdarzenia Az iAw - 11 siedzi na zewnętrznym lub wewnętrznym
    krześle;
    B-10 nie siedzi przy 11;C -12 nie siedzi przy 11 wtedy
    P(AiBiC)=P(Az)*P(B|Az)*(P(C|AziB)+P(Aw)*P(B|Aw)*P(C|BiAw)=2/21 *19/20 *18/19 +
    +19/21 *18/20 *17/19=2*18/21*20 + 18*17/21*20 = 18*19/21*20= 57/70
    Identycznie można udowodnić wzór przedstawiony przez pam31 dla n krzeseł i
    dowolnwj liczny osob, bez potrzeby wyliczeń kombinatorycznych.

Popularne wątki

Nie pamiętasz hasła

lub ?

 

Nie masz jeszcze konta? Zarejestruj się

Nakarm Pajacyka