Dodaj do ulubionych

Dobierz parametry funkcji (gęstość, dystrybuanta)

IP: *.internetdsl.tpnet.pl 29.09.07, 10:14
Błagam o pomoc w zadaniu:
"dobrac tak parametry funkcji f by ta funkcja była gestoscia rozkładu prawdopodobieństwa. obl. dystrybuante, wartosc oczekiwana i wariancje"

F(x)= 0 dla x<= 0
1/2sin x dla 0<x<= a
b dla x>a

Prosze ratujcie....!!
Obserwuj wątek
    • ellipsis Re: Dobierz parametry funkcji (gęstość, dystrybua 02.10.07, 22:44
      Uwaga wstępna. Przyjmuję, że podany wzór dotyczy szukanej funkcji f.
      Funkcja f: R -> R jest gęstością pewnego rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy:
      a) jest nieujemna,
      b) całka (po R) f(x) dx = 1.
      Z określenia funkcji wnioskujemy, że a>0. Zatem z warunku a)
      sin x >= 0 w przedziale (0,a),
      skąd
      0 < a <= pi.
      Teraz zajmę się punktem b). Gdyby b było różne od 0, to podana tam całka byłaby
      równa nieskończoności. Zatem b=0. Obliczmy tę całkę:
      całka (po R) f(x) dx = całka (od 0 do a) 1/2 sin x dx =
      = (-1/2 cos x) (w granicach od 0 do a) =
      = (-1/2 cos a) - (-1/2 cos 0) = 1/2 - 1/2 cos a.
      Stąd z warunku b)
      cos a = -1,
      a więc
      a = (2k-1) pi
      dla pewnego k całkowitego. A skoro 0<a<=pi (co wykazaliśmy wyżej), to a=pi.
      Mamy zatem następujący wzór na gęstość szukanego rozkładu:
      f(x) = 0 dla x<=0,
      f(x) = 1/2 sin x dla 0<x<=a,
      f(x) = 0 dla x>a.
      Teraz przypominamy wzory.
      I. Dystrybuanta
      Istnieją dwie definicje dystrybuanty:
      F(x) = P(X<x)
      lub
      F(x) = P(X<=x).
      W naszym przypadku, skoro rozkład posiada gęstość, więc obie definicje prowadzą
      do tego samego wyniku:
      F(x) = całka (od -oo do x) f(t) dt.
      Zatem
      F(x) = 0 dla x<=0,
      F(x) = całka (od 0 do x) 1/2 sin t dt = 1/2 - 1/2 cos t dla 0<x<=pi,
      F(x) = 1 dla x>pi.
      II. Wartość oczekiwana
      W przypadku rozkładów z gęstością, jeżeli wartość oczekiwana istnieje, to
      wyraża się wzorem
      EX = całka (po R) x f(x) dx = całka (od 0 do pi) x/2 sin x dx =
      (Całkowanie odbywa się przez części, pomijam szczegóły...)
      = (-x/2 cos x + 1/2 sin x) (w granicach od 0 do pi) =
      = (-pi/2 * (-1) + 0) - (0 + 0) = pi/2.
      III. Wariancja
      W przypadku rozkładów z gęstością, jeżeli wartość oczekiwana istnieje, to
      wariancja wyraża się wzorem
      D^2 X = E X^2 - (EX)^2 = całka (po R) x^2 f(x) dx - (EX)^2 =
      = całka (od 0 do pi) x^2/2 sin x dx - pi^2/4 =
      (Całkowanie odbywa się przez części, pomijam szczegóły...)
      = (-x^2/2 cos x +x sin x +cos x) (w granicach od 0 do pi) - pi^2/4 =
      = (-pi^2/2 * (-1) + pi * 0 + (-1)) - (0 + 0 + 1) - pi^2/4 =
      = pi^2/4 - 2.
Inne wątki na temat:

Popularne wątki

Nie pamiętasz hasła

lub ?

 

Nie masz jeszcze konta? Zarejestruj się

Nakarm Pajacyka