dlaczego swiat jest logarytmiczny?

IP: *.chello.pl 13.11.01, 01:48
Prawo Benforda jest to prawo o rozkladzie logarytmicznym liczb opisujacych
rozmaite dzidziny z naszej rzeczywistosci. Prawidlowosc ta zauwazyl niejaki
Newcomb (chyba jeszcze w XIX w.), patrzac w bibliotece na nieregularnie zuzyte
tablice logarytmicznie, lecz Benford (w latach 40/50) usystematyzowal i
rozszerzyl owe oberwacje, podajac rozklady rozmaitych wielkosci, np.
powierzchni wszystkich jezior, dlugosci rzek, wartosci stalych fizycznych, a o
notowaniach na gieldzie nie wspomne...

Prawidlowosc ta jest raczej bezdyskusyjna, skoro np. stosuje sie ja do
wykrywania naduzyc podatkowych. Rowniez mysli sie o konstruowaniu komputerow z
nieliniowo rozlozona precyzja liczb, skoro niektore liczby wystepuja czesciej.

Dla przypomnienia: logarytmiczny rozklad to w przyblizeniu rozklad o gestosci
1/x. Czyli liczb zaczynajacych sie na cyfre 1 jest na swiecie najwiecej, a na
cyfre 9 - najmniej, i czestosci wszystkich 9 cyfr sa rozlozone tak jakby byly
pod hiperbola (logarytmicznie).

Uwaga, wszystko to dotyczy tylko liczb niosacych informacje o swiecie, i np.
nie dotyczy liczb wylosowanych (poszukujacy "systemu" na lotka beda
rozczarowani).

DLACZEGO TAK JEST?

Rzeczywiscie widac, ze swiat jest logarytmiczny. Wezmy odleglosci we
wszechswiecie i mikro/nanoswiecie.
(W ksiazce Hoimara Ditfurta "Dzieci Wszechswiata" byl opisany taki model Ukladu
Slonecznego zrobiony ze znanych przedmiotow. Gdyby za Slonce przyjac pilke
plazowa to Ziemia-groszek bylaby kilkanscie metrow dalej, Saturn-pomarancza
bylby kilometr dalej, a do najblizszej gwiazdy byloby jak na drugi kontynent.
Pisze z pamieci wiec moglem pomylic szczegoly, ale tak to mniej wiecej wyglada.
Podobnie sprawa wyglada np. w swiecie atomow: wiemy jakiej wielkosci sa atom,
elktron, jadro atomu, itd?)

Takze logarytmiczna nature swiata widzimy gdy liczymy pieniadze: chodzi o ich
nominaly. (Gdy o mamone idzie ludzie sie szybko "dostosowuja" bez zadawania
zbednych pytan.)

Poza tym, wezmy rozne obiegowe prawdy typu: "Najtrudniejszy pierwszy krok".
Jasne, ze kiedy cos skladamy na zasadzie "ziarnko do ziarnka", to drugie
ziarnko stanowi 50% calosci a setne 1% - widac gestosc rozkladu 1/x.

Z CZYM WAM SIE JESZCZE KOJARZY ROZKLAD LOGARYTMICZNY?

Pytanie do fizykow, bo dotyczace Kosmologii:
CZY MA TO JAKIS ZWIAZEK Z EWOLUCJA WSZECHSWIATA?
Z pewnoscia powszechne nieliniowosci sa zrodlem urozmaicenia Wszechswiata,
rozmaitych niezaleznych od siebie jakosci. (Gdyby wszystko bylo liniowo od
siebie zalezne to czy wogole cos by bylo?) Ale dlaczego akurat rozklad
logarytmiczny a nie np. normalny?
Zreszta rozkl. normalny tez jest rozpowszechniony.

GDZIE RZADZI ROZKLAD NORMALNY,
...A GDZIE ROZKLAD LOGARYTMICZNY?
W podreczniku Rao takie jest stwierdzenie: rozklad normalny maksymilizuje
ENTROPIE sposrod wszystkich rozkladow o zadanej wartosci oczekiwanej i
wariancji.
Co, wobec powyzszego, rozklad logarytmiczny maksymilizuje?

JESLI KTOS WIE, NIECHAJ OSWIECI MNIE!

Z powazaniem
Janek Muzykant
jnkmzknt@polbox.com
    • Gość: krecha nie caly jest logarytmiczny IP: *.hwr.arizona.edu 13.11.01, 09:05
      Rozklad logarytmiczny wystepuje tylko w niektorych fizyko-chemicznych
      wlasnosciach. Tak jest z kilku powodow, z ktorych przytocze dwa wydajace
      sie najistotniejsze:

      (1) Bo rozklad logarytmiczny (zwany tez log-normalnym) nie pozwala na istnienie
      ujemnych wartosci cech fizycznych, jak np. masa, dlugosc, czy gestosc materii.

      (2) Bo rozklad logarytmiczny ma te ceche, ze pozwala opisac ekstremalne wartosci,
      ktore nie wystepuja zbyt czesto. Np. koncentracja jakiegos pierwiastka w skalach jest
      zwykle w jakims typowym przedziale, a czasami jest wyjatkowo wysoka (np. czysta
      ruda jakiegos pierwiastka). Ta nietypowa wartosc jest powodem tego, ze rozklad
      przestaje byc normalny, a zaczyna byc log-normalny.

      Jednakze nie wszystko jest log-normalnie rozlozone. Np. porowatosc skal ma rozklad
      normalny. Waga (czy masa) sloni ma rozklad normalny. Itd, itd. Nie mozna wiec
      generalizowac, ani z tych generalizacji wyciagac zbyt daleko idacych wnioskow.

      ------------------------------------

      Jeszcze jedna uwaga: przyklad z ziarnkami piasku jest niefortunny. Drugie ziarnko to 50 procent
      tylko do czasu dolozenia trzeciego i dalszych ziarnek. Setne ziarnko to 1 procent, ale tylko
      wtedy, gdy jest dokladnie 100 ziarnek.
      • node Re: nie caly jest logarytmiczny 13.11.01, 18:16
        > (1) Bo rozklad logarytmiczny (zwany tez log-normalnym)...

        Pudlo. Rozklad logarytmiczny to jest cos innego niz log-normalny.

        Janko Muzykant bardzo sprawnie miesza dwie rzeczy:
        1. Zjawiska maja rozklad logarytmiczny
        2. Rozklad pierwszych cyfr w pomiarach niektorych zjawisk.

        Takst jest przykladem pieknego misz-maszu, z ktorego wynika cos ciekawego. Nie
        mam teraz czasu studiowac glebiej problemu i rozpisywac sie, ale jezeli ktos
        bedzie zainteresowany to chetnie ;).

        To jest moja wersja:
        Nalezy zaczac od uswiadomienia sobie, ze dane zjawisko fizyczne mozemy wyrazic za
        pomoca miary 'liniowej' i 'logarytmicznej' (wzgledem siebie). To znaczy, ze
        jezeli 'cos' ma rozklad liniowy, to rownie dobrze moze miec rozklad logarytmiczny
        wzgledem innej miary. Podobnie jest z rozkladami normalnym i log-normalnym -
        jezeli 'cos' ma rozklad log-normalny (uzywajac skali 'logarytmicznej') to tez ma
        rozklad normalny uzywajac skali 'liniowej'.
        • Gość: Muzykant to nie ja wymyslilem IP: *.chello.pl 13.11.01, 18:36
          node napisał(a):
          > Janko Muzykant bardzo sprawnie miesza dwie rzeczy:
          > 1. Zjawiska maja rozklad logarytmiczny
          > 2. Rozklad pierwszych cyfr w pomiarach niektorych zjawisk.

          To nie ja pomieszalem. To chyba tu jest dowod, ze 1. i 2. sa sobie rownowazne.

          Hill T. (1996), A Statistical derivation of the significant digit law.
          Statistical Science 10: 354-363

          Janek Muzykant
          • node Re: to nie ja wymyslilem 13.11.01, 18:42
            Tak czy inaczej, bombowa zagadka.

            Tam jest wytlumaczenie 'prawa' Benforda. Ale pozostaje jeszcze
            kwestia 'dlaczego rozklad logarytmiczny'. Tak czy inaczej - dales mi do
            myslenia.
    • Gość: Ekspert Re: dlaczego swiat jest logarytmiczny? IP: *.tsl.uu.se 13.11.01, 19:02
      Odpowiem Ci tak - nie wiem jak ogolne jest prawo o
      ktorym piszesz i
      czy jest to prawo czy tylko prawidlowosc.
      Wiem natomiast, ze rozklady o ogonach potegowych sa
      niezwykle
      wazne w fizyce zlozonych systemow, zwlaszcza blisko
      punktow
      krytycznych. Systemy statystyczne mozna poklasyfikowac
      na klasy uniwersalnosci, ktore charakteryzowane sa
      przez te same
      WYKLADNIKI KRYTYCZNE (zaleznosc potegowa). Okazuje sie,
      ze
      zadziwiajace rozne uklady fizyczne moga nalezec do tej
      samej klasy uniwersalnosci.

      To sugerowaloby jakis zwiazek opisywanego przez ciebie
      prawa z sytuacjami przejsc fazowych lub zjawisk
      nierownowagowych.

      Gauss (rozklad normalny) natomiast jest typowy w
      sytuacjach
      rownowagowych.

      Prosze, potraktuj to jako glosne myslenie.
      Pozdrawiam
      • jnkmzknt Re: dlaczego swiat jest logarytmiczny? 13.11.01, 21:01
        Gość portalu: Ekspert napisał(a):
        > Wiem natomiast, ze rozklady o ogonach potegowych sa
        > niezwykle wazne w fizyce zlozonych systemow,
        > zwlaszcza blisko punktow krytycznych.
        > Systemy statystyczne mozna poklasyfikowac na klasy uniwersalnosci,
        > ktore charakteryzowane sa przez te same
        > WYKLADNIKI KRYTYCZNE (zaleznosc potegowa).

        Cy moglbys podsunac, dosc precyzyjnie, jakies fachowe linki, tak jak to zrobiles
        z Entropia (w innym watku)?

        Janek Muzykant
      • node Re: dlaczego swiat jest logarytmiczny? 13.11.01, 22:06
        Ekspert,

        Podziwiam wypowiadanie sie na temat prawa, ktorego nawet nie raczyles poznac.
        Przyznam ze to traci (wraz z naduzywaniem terminow) bardziej 'eksperckim'
        podejsciem niz naukowym. Chyba ze chciales popisac sie nonszalancja - to Ci sie
        udalo.

        Moim zdaniem, problem opisany przez jankomuzykanta nie ma nic wspolnego z prawami
        fizyki. Owa 'logarytmiczna' natura swiata jest zwiazana z przyjetymi miarami, a
        nie samym zjawiskiem.

        A tak na marginesie
        • Gość: Ekspert Re: dlaczego swiat jest logarytmiczny? IP: *.tsl.uu.se 14.11.01, 09:56
          Hej,
          >
          > Podziwiam wypowiadanie sie na temat prawa, ktorego
          nawet nie raczyles poznac.
          > Przyznam ze to traci (wraz z naduzywaniem terminow)
          bardziej 'eksperckim'
          > podejsciem niz naukowym.

          Odpokutuje jeslim zgrzeszyl. To jednak trzeba mi
          udowodnic.


          > Chyba ze chciales popisac sie nonszalancja - to Ci sie
          udalo.
          >

          Przyznaje, ze traktuje te dyskusje czasem niezupelnie
          naukowo.
          Znajduje w nich inspiracje i mam nadzieje, ze niektorych
          rowniez
          inspiruje.


          > Moim zdaniem, problem opisany przez jankomuzykanta nie
          ma nic
          > wspolnego z prawami fizyki.

          Wszystko na tym swiecei ma cos wspolnego. Z definicji :).


          > Owa 'logarytmiczna' natura swiata jest zwiazana z
          przyjetymi miarami, a
          > nie samym zjawiskiem.
          >

          Dlaczego?
          Prosze, uzasadnij.

          > A tak na marginesie
          • node Re: dlaczego swiat jest logarytmiczny? 14.11.01, 20:44
            > Odpokutuje jeslim zgrzeszyl. To jednak trzeba mi
            > udowodnic.

            > Wszystko na tym swiecei ma cos wspolnego. Z definicji :).

            Ciekawe. Nie znam tej definicji.

            > Dlaczego?
            > Prosze, uzasadnij.

            Liczylem na to, ze moj pierwszy 'post' w temacie powinien zasygnalizowac problem.

            > Wszyscy chyba wiedza o centralnym twierdzeniu granicznym.
            > Prawda?

            Tu sie roznimy. Ja 'wierze' ze nie nie wszyscy. Proponuje Ci przeprowadzic
            eksperyment, na sprzataczce. Mozesz tez przeprowadzic bardziej glebokie badania w
            tej dziedzinie - jezeli przypadkiem wykladasz wlasnie statystyke - zadaj to
            pytanie studentom na egzaminie. ;)

            --------------------------------------

            Przyznam, ze duzo bardziej mnie bawi rozwiazywanie problemow, niz jalowe
            przekomarzanie sie. Sam to sprowokowalem i zaluje.
        • jnkmzknt Czy umysl czlowieka jest liniowy? 17.11.01, 01:43
          node napisał(a):
          > Moim zdaniem, problem opisany przez jankomuzykanta
          > nie ma nic wspolnego z prawami fizyki.
          > Owa 'logarytmiczna' natura swiata jest zwiazana z przyjetymi miarami,
          > a nie samym zjawiskiem.

          Prosze, rozwin te hipoteze. Wynikaloby, ze w swiecie wspolistnieja 2 skale:
          logarytmiczna i liniowa. Czlowiek, z niewiadomych powodow, woli subiektywnie
          stosowac liniowa, a przyroda jednak woli logarytmiczna. Czy to chciales
          powiedziec?

          Mnie jednak nie wydaje sie, aby chodzilo o jakis subiektywizm, bowiem jest to
          kwestia namacalnej czestosci wystepowania poszcegolnych wartosci, czyli rozklad
          prawdopodobienstw dla liczb na skali liniowej. Czy chodzi Ci o to, ze gdyby ta
          skala byla nieliniowa to wykres gest. rozkladu mialby inny ksztalt? A jaki
          wowczas bylby ksztalt dla rowniez rozpowszechnionego rozkladu normalnego?
          Wytlumacz.
          • taxandria Re: Czy umysl czlowieka jest liniowy? 22.11.01, 07:31
            Z tego co wiem: czlowiek tez stusuje logarytmiczna skale, np. w rozroznianiu miedzy
            podobnymi bodzcami: jego czulosc nie jest stala, jakby to bylo w systemie liniowym, ale
            zalezy od sily bodzca. Z tym, ze to sie dzieje raczej podswiadomie i w interpretacji
            swiata najczesciej skala subiektywna wydaje nam sie liniowa.

            Generalnie (i z grubsza) rzecz biorac, skala liniowa nadaje sie do opisywania sytuacji, ktorych
            podstawym zrodlem jest dodawanie niezaleznych elementow, a skala logarytmiczna do sytuacji
            gdzie zachodzi ich mnozenie.
            Logarytmy sie pojawiaja w naturze (tzn. pozwalaja opisac w prosty sposob nature) kiedy patrzymy
            na zjawiska, w ktorych istnieja proste zaleznosci miedzy proporcjami roznych danych.

            taxandria
          • Gość: Muzykant Re: Czy umysl czlowieka jest liniowy? IP: *.chello.pl 12.01.02, 16:25
            Po przeczytaniu postow w watku "Teoria chaosu = chaos teoretyczny?" coraz
            bardziej neka mnie wrazenie, ze ludzki umysl jest liniowy dlatego, iz wyewoluowal
            w obcowaniu z malym wycinkiem nielinowej rzeczywistosci. Rzeczywistosc jako taka
            jest silnie nieliniowa, ale lokalnie
            • donjuan Re: Czy umysl czlowieka jest liniowy? 12.01.02, 17:54
              Zaleznosci logrytmicznej( w przyblizeniu ) podlega
              rowniez wrazliwosc naszych zmyslow . Typowym przykladem
              jest sluch gdzie jednostka decybel to 10 lg I/I* . I*
              oznacza tu prog czulosci sluchu .
              • Gość: Muzykant zachowajmy perspektywe a bedzie liniowy IP: *.chello.pl 12.01.02, 19:24
                donjuan napisał(a):
                > Zaleznosci logrytmicznej( w przyblizeniu ) podlega
                > rowniez wrazliwosc naszych zmyslow.

                Nie, to nie jest nasz umysl, lecz wlasnie: swiat. To dotyczy naszego ciala ktore
                samo w sobie moze byc rozpatrywane w kategorii zjawisk fizycznych, chemicznych,
                choc bardzo skomplikowanych to jednak o kilka rzedow wielkosci mniej
                skomplikowanych niz nasz umysl (patrz watek: "Bezdenny skarbiec DNA" a w nim
                post "NO I CO? NIC NIKOGO JUZ NIE DZIWI?!!").

                Nasze cialo funkcjonuje pewnie w oparciu o zjawiska jeszcze niewyjasnione, byc
                moze niektore pochodza z pikoswiata, ale nasze umysly stworzyly sobie swoj osobny
                swiat i sa nieswiadome jak funkcjonuja np. neurony (tez nieliniowe
Pełna wersja