Definicja prostej

IP: 213.76.149.* 04.12.01, 11:35
Spotkałem sie kiedyś z zaskakującą (dla mnie) definicja prostej. Jestem
matematycznym laikiem, więc być może jest to określenie znane specjalistom. Dla
mnie było to niezwykłe i wielu ludzi, którym próbuje to objaśnić jest równie
mocno zaskoczonych co ja kiedyś. Cóż więc jest prostą?
"Prosta jest to okrąg o nieskończenie długim promieniu".

Czekam na komentarze matematyków - ale podane w miarę strawnie...
    • Gość: Stefan Re: Definicja prostej IP: *.ipipan.gda.pl 04.12.01, 12:43
      Cypis:
      > Spotkałem sie kiedyś z zaskakującą (dla mnie) definicja prostej. Jestem
      > matematycznym laikiem, więc być może jest to określenie znane
      > specjalistom. Dla mnie było to niezwykłe i wielu ludzi, którym próbuje to
      > objaśnić jest równie mocno zaskoczonych co ja kiedyś. Cóż więc jest prostą?
      > "Prosta jest to okrąg o nieskończenie długim promieniu".

      Matematycy są na ogół ostrożni w przechodzeniu do nieskończoności, bo jak się to
      uczyni zbyt radośnie, łatwo jest otrzymać sprzeczności, nieokreśloności i
      bezsensy. Wg mnie ta ,,definicja'' jest wadliwa i nie pochodzi od matematyka.

      Żeby ją zrozumieć, należy najpierw wiedzieć, co to jest okrąg; zwykła definicja
      mówi, że okrąg o środku A i promieniu R to jest zbiór punktów płaszczyzny
      będących w odległości R od punktu A. Odległość jest funkcją na prawdziwych
      punktach (a nie na ,,punktach w nieskończoności'') dającą w wyniku liczbę
      rzeczywistą (a nie nieskończoność). Wobec tego okręgów o promieniu
      nieskończonym nie ma.

      Można próbować ratować Twoją definicję na przykład w ten sposób, że prosta to
      jest granica ciągu okręgów przy promieniu rosnącym do nieskończoności. Ale to
      jeszcze ciągle nie jest dobrze. Po pierwsze trzeba by wiedzieć, co to jest
      granica ciągu złożonego ze zbiorów punktów. Po drugie trzeba by przedtem
      wiedzieć, że ten konkretny ciąg jest zbieżny (czyli ma granicę). Po trzecie nie
      jest jasne, jaki ciąg okręgów mamy na myśli; to że promienie okręgów są coraz
      większe o niczym jeszcze nie świadczy dopóki nie wiemy jak się zmieniają ich
      środki.

      No to zróbmy tak. Definiujemy nie PROSTĄ, tylko PROSTĄ PRZECHODZĄCĄ PRZEZ DANE
      DWA RÓŻNE PUNKTY A i B. Wystawiamy symetralną odcinka AB i opisujemy ruch
      środka okręgu po tej symetralnej w dal w zadanym kierunku i życzymy sobie, żeby
      promień okręgu zmieniał się w miarę tego ruchu tak, żeby okrąg zawsze
      przechodził przez A i B; to jest łatwo opisać wzorem, ale nie chcę zaciemniać
      bez potrzeby. Jeśli już mamy jakoś zdefiniowane pojęcie zbieżności na zbiorach
      punktów (to może być najtrudniejsza część całej zabawy), to prosta AB jest
      granicą tych okręgów. Wszystko dobrze? Guzik. Użyliśmy pojęcia symetralnej, a
      więc musieliśmy już wcześniej wiedzieć, co to jest prosta.

      I tak walcząc z przeciwnościami i niejasnościami uda nam się być może stopniowo
      nadać sens Twojej definicji. Tylko pozostaje pytanie po co. Żeby wiedzieć, co
      to jest okrąg, i tak musimy wcześniej znać pojęcie odległości; jeśli mamy
      odległość, to prostą łatwo jest zdefiniować wprost, bez odwoływania się do
      okręgów, nieskończoności i przypadków granicznych.

      Miłego definiowania
      - Stefan

      • Gość: Ekspert Re: Definicja prostej IP: *.tsl.uu.se 04.12.01, 14:11
        Chcac pozostac w zgodzie z moim nieco nadmuchanym
        pseudonimem,
        musze i ja zabrac glos. Definicja prostej jako
        ogromnego okregu
        ma jeszcze jedna wade - mianowicie topologia sie nie
        zgadza.

        Wedle mojej wiedzy, z utozsamieniem prostej i okregu
        mamy do
        czynienia w przypadku przeksztalcen konforemnych
        (zachowujacych katy)
        lub funkcji holomorficznych na plaszczyznie zespolonej
        (co prawie na jedno
        wychodzi). Wtedy mozna mowic o jednym - jedynym
        punkcie w nieskonczonosci - plaszczyzna zmienia sie nam
        na sfere. Wtedy rzeczywiscie proste to specjalne
        okregi. Nie jest to jednak definicja
        prostej, a raczej jej reprezentacja w pewnych
        specjalnych okolicznosciach.


        Pozdrawiam
        • sapiezanka a propos prostej... 04.12.01, 23:29

          Kazdy odcinek prostej, ktory okresla dowolnä PRZESTRZENNÄ DLUGOSC, ma potencjalne dwa kierunki dzialania
          przestrzennego:
          od A do B i od B do A.
          Na przyklad:
          1. Przestrzenny kierunek od A do B to kierunek "dodatni"
          2. Przestrzenny kierunek od B do A to kierunek "ujemny"
          Mielibysmy w takim przypadku do czynienia z dwoma wektorami skierowanymi przeciwnie wzgledem siebie.
          Dlatego pisalam o dwuwymiarowosci dlugosci.

          Pozdrawiam

          Sapiezanka
          • Gość: Stefan Re: a propos prostej... IP: *.zaspa.gda.pl 05.12.01, 00:14
            sapiezanka
            > Kazdy odcinek prostej, ktory okresla dowolnä PRZESTRZENNÄ DLUGOSC, ma potencja
            > lne dwa kierunki dzialania
            > przestrzennego:
            > od A do B i od B do A.
            > Na przyklad:
            > 1. Przestrzenny kierunek od A do B to kierunek "dodatni"
            > 2. Przestrzenny kierunek od B do A to kierunek "ujemny"
            > Mielibysmy w takim przypadku do czynienia z dwoma wektorami skierowanymi przec
            > iwnie wzgledem siebie.
            > Dlatego pisalam o dwuwymiarowosci dlugosci.

            Nazywając te dwa kierunki wymiarami, popełniałaś błąd. Zresztą możesz sobie
            nazwać co chcesz jak chcesz, ale wtedy Twoje wymiary nie mają nic wspólnego z
            wymiarami wszystkich innych ludzi od starożytności do dalekiej przyszłości.
            Twoje dwa wektory są ZALEŻNE od siebie, bo jeden jest równy -1 razy drugi. Do
            ilości wymiarów możesz liczyć tylko niezależne wektory. Na prostej nie
            znajdziesz ich więcej niż jeden.

            - Stefan

            • Gość: Cypis Re: a propos prostej... IP: 213.76.149.* 06.12.01, 08:35
              Jesteście niesamowici... Zawsze zresztą podziwiałem ludzi, którzy mieli więcej
              niż 3 z matematyki... Dzięki za wyczerpujące, choć dla mnie i tak miejscami
              zbyt zawiłe odpowiedzi. Może kiedyś przyjdzie mi coś podobnego do głowy, to
              będę wiedział, do kogo się zwrócić
        • Gość: anmal Re: Definicja prostej IP: *.*.*.* 16.12.01, 18:50
          Punkt, prosta i płaszczyzna to pojęcia pierwotne - nie definiuje się ich.
          Pozdrawiam
          • Gość: Stefan Re: Definicja prostej IP: *.stacje.agora.pl 16.12.01, 19:35
            anmal:
            > Punkt, prosta i płaszczyzna to pojęcia pierwotne - nie definiuje się ich.

            To jest troche bardzie zlozone. Faktem jest, ze GDZIES trzeba zaczac, a wiec
            musza byc JAKIES pojecia pierwotne, ktorych sie nie definiuje, tylko
            aksjomatycznie okresla zwiazki miedzy nimi. Ale CO przyjac za pojecia pierwotne
            a co definiowac, jest rzecza wyboru.

            Wydawalo mi sie, ze pierwotne pytanie bralo sie z planimetrii, czyli geometrii
            plaskiej. W takim wypadku o pojeciu plaszczyzny w ogole nie ma co mowic. Nie
            definiuje sie jej, nie przyjmuje za pojecie pierwotne, w ogole sie o niej nie
            mowi. Plaszczyzna jest dla planimetrii calym wszechswiatem.

            Istotnie, nie potrafie wyobrazic sobie sensownej aksjomatyzacji geometrii bez
            punktu jako pojecia pierwotnego. Jedna dosyc klasyczna formalizacja planimetrii
            zawiera trzy pojecia pierwotne:
      • Gość: XBW&Rose Re: Definicja prostej IP: *.*.*.* 06.12.01, 16:06
        > Stefan napisal:
        > Po pierwsze trzeba by wiedzieć, co to jest
        > granica ciągu złożonego ze zbiorów punktów.

        Wydaje mi sie, ze z definicja
        granicy ciagu zbiorow na plaszczyznie
        nie ma problemow.

        SPODZIEWAM SIE JEDNAK
        ZE CIAG NIE JEST POTRZEBNY.

        Proponuje sprawdzic,
        czy przy niestandardowym
        modelu liczb rzeczywistych
        istnieje okrag na plaszcyznie
        kartezianskiej (zwiazanej
        z tym modelem) taki,
        ze jego obciecie do standardowego
        modelu daje prosta.

        Daje JEDNO PRZWDZIWE EURO
        temu kto to pokaze lub udowodni,
        ze tak nie jest.

        Serdecznosci,
        XBW & Rose
        • Gość: Stefan Re: Definicja prostej IP: *.ipipan.gda.pl 06.12.01, 17:21
          XBW&Rose:
          > Wydaje mi sie, ze z definicja granicy ciagu zbiorow na plaszczyznie
          > nie ma problemow.

          To dlaczego od razu nie podałeś? JAKĄŚ definicję napisze się łatwo,
          ale nam chodzi o taką, żeby okręgi były zbieżne do prostej. Na razie
          nic mi nie przychodzi do głowy. Czekam na Twoją głowę.

          XBW&Rose:
          > Proponuje sprawdzic, czy przy niestandardowym modelu liczb
          > rzeczywistych [...]

          Przy którym modelu niestandardowym? Jeśli z aksjomatyki liczb
          rzeczywistych pousuwasz aksjomaty drugiego rzędu (czyli z grubsza te,
          które odpowiadają za ciągłość i za zbieżności ciągów), to wtedy
          istnieją modele w każdej mocy nieskończonej. A więc jest dużo modeli
          niestandardowych. Jeśli zachowasz aksjomaty drugiego rzędu wraz z ich
          zwykłą interpretacją, to wszystkie modele będą izomorficzne ze
          zwykłymi liczbami rzeczywistymi.

          XBW&Rose:
          > [...] istnieje okrag na plaszcyznie kartezianskiej (zwiazanej z tym
          > modelem) taki, ze jego obciecie do standardowego modelu daje prosta.

          A więc masz na myśli jakiś model będący nadzbiorem zwykłych liczb
          rzeczywistych, tak? Ale w ogóle nie rozumiem, co niestandardowość
          miałaby leczyć.

          W każdym modelu, również niestandardowym, każde twierdzenie musi być
          spełnione. Innymi słowy: modele mogą się różnić tylko takimi
          własnościami, które nie dają się wyrazić w języku teorii formułą
          pierwszego rzędu. Wobec tego w Twoim przypadku część wspólna okręgu z
          modelem standardowym jest nadal okręgiem, bo okrąg łatwo jest opisać
          formułą pierwszego rzędu.

          XBW&Rose:
          > Daje JEDNO PRZWDZIWE EURO temu kto to pokaze lub udowodni, ze tak
          > nie jest.

          Zainwestuj w moim imieniu. Zgłoszę się po nie razem z odsetkami jak
          będę szedł na emeryuturę.

          - Stefan

          • Gość: XBW&Rose Re: Definicja prostej IP: *.*.*.* 07.12.01, 18:11
            Szanowny Panie Stefanie,

            jesli chodzi o definicje
            granicy ciagu zbiorow
            to proponuje nastepujaca.
            Dla ciagu A_{n} zbiorow
            definiujemy ciag D_{k}
            zbiorow domknietych
            w nastepujacy sposob.
            Domykamy zbior bedacy
            suma zbiorow A_{n}
            o indeksach n wiekszych niz k.
            Jako granice bierzemy
            przekroj zbiorow D_{k}.
            Bedzie to zawsze domkniety
            (czasami bez elementow)
            zbior. Wydaje mi sie,
            ze ciag okregow zdefiniowany
            przez Pana ma jako granice
            prosta.

            Jestem wdzieczny osobie,
            ktora sprawdzi jakie niepuste
            (domkniete) zbiory sa granicami
            okregow, ktorych promienie
            zbiegaja do nieskonczonosci.

            Jesli chodzi o niestandardowy
            model liczb rzeczywistych,
            to mialem na mysli nastepujaca
            konstrukcje.

            NIESTANDARDOWE LICZBY RZECZYWISTE ("konstrukcja")

            Ustalamy nietrywialny filtr
            na zbiorze liczb naturalnych.
            Nastepnie zbior ciagow rzeczywistych
            wydzielamy przez nastepujaca relacje:
            dwa ciagi sa w jednej klasie gdy
            dopelnienie nosnika (tam gdzie
            funkcja jest rowna zeru) ciagu
            bedacego roznica rozwazanych ciagow
            nalezy do ultrafiltru.
            Wszystkie dzialania i relacje
            definiujemy w sposob naturalny
            poprzez reprezentantow klas.

            Serdecznosci
            XBW & Rose

            PS Czy moge prosic
            o nie urzywanie polskich znakow?
            • Gość: XBW&Rose Re: Definicja prostej filtr->ultrafiltr IP: *.*.*.* 07.12.01, 18:18
              W konstrukcji zamiast
              filtru ma byc ultrafiltr
              oczywiscie.

              Serdecznosci,
              XBW & Rose
            • Gość: Stefan Re: Definicja prostej IP: *.zaspa.gda.pl 08.12.01, 01:30
              XBW&Rose:
              > jesli chodzi o definicje granicy ciagu zbiorow to proponuje nastepujaca. Dla
              > ciagu A_{n} zbiorow definiujemy ciag D_{k} zbiorow domknietych w nastepujacy
              > sposob. Domykamy zbior bedacy suma zbiorow A_{n} o indeksach n wiekszych niz
              > k. Jako granice bierzemy przekroj zbiorow D_{k}. Bedzie to zawsze domkniety
              > (czasami bez elementow) zbior. Wydaje mi sie, ze ciag okregow zdefiniowany
              > przez Pana ma jako granice prosta.

              Tak, to jest dobra definicja zbieznosci i faktycznie granica bedzie taka jak
              trzeba.

              XBW&Rose:
              > Jestem wdzieczny osobie, ktora sprawdzi jakie niepuste (domkniete) zbiory sa
              > granicami okregow, ktorych promienie zbiegaja do nieskonczonosci.

              O kurcze. No wiec ustalilismy juz, ze kazda prosta. Dodatkowo wydaje mi sie,
              ze potrafie w ten sposob otrzymac dowolny zbior domkniety, ktorego uzupelnienie
              jest wypukle (z kazdymi dwoma punktami zawiera caly odcinek miedzy tymi
              punktami). A wiec zewnetrze kola, lub elipsy, lub polplaszczyzne, itp. I
              jeszcze ta rodzina jest zamknieta na domkniecia przeliczalnych sum: jesli
              A1,A2,A3,... daja sie otrzymac jako takie granice, to domkniecie sumy
              A1 u A2 u A3 u ... tez daje sie tak otrzymac. To jest pierwsza przymiarka, nie
              mam porzadnego dowodu. W szczegolnosci w ogole nie wiem, czy to juz wszystkie
              takie zbiory.

              Co do niestandardowego modelu dla liczb rzeczywistych, to musze sie jeszcze nad
              nim zastanowic.

              Wszystkiego dobrego
              - Stefan

Inne wątki na temat:
Pełna wersja