Dodaj do ulubionych

Jak to jest z tymu pochodnymi?

09.09.08, 12:53
Przeciez to jest de facto DZIELENIE PRZEZ ZERO!
Zero ukryte za roznymi limesami, ale wciaz obecne.
Popatrzcie zreszta raz jeszcze na definicje pochodnej, np. na:
pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji
F'(X) = lim(es) gdy X->0 od ((F(X) - F(Xo))/(X - Xo))
ale gdy owo X osiagnie wreszcie zero albo bedzie tak blisko zera, ze
praktycznie bedzie zerem (szybciej nasz Kosmos przestanie istniec,
zanim obliczymy te roznice miedzy X a Xo, gdyz maja one tak duzo
ZNACZACYCH cyfr), to wtedy X = Xo, a wiec X - Xo = 0 ergo bedziemy
dzielic przez ZERO!
Obserwuj wątek
    • losiu4 Re: Jak to jest z tymu pochodnymi? 09.09.08, 14:00
      no dobra. Weźmy porzykład F(x)=5x

      niech Xo będzie 5. Liczymy pochodną wg Twojego wzoru:

      F(0)- F(5)= -25
      0-5= -5

      nie widzę dzielenia przez 0 :) no dobra, złośliwy jestem, ale
      podawaj wzory dokładniej :) Nb. czas liczenia róznic na którymś tam
      miejscu po przecinku nie ma tu nic do rzeczy :)

      Pozdrawiam

      Losiu
    • bonobo44 Re: Jak to jest z tymu pochodnymi? 09.09.08, 15:20
      nie ma w tym żadnego cudu... pojęcie granicy ciągu (lub jej braku)
      jest czymś najzupełniej naturalnym (jak same liczby "naturalne",
      czy "rzeczywiste") i jasno zdefiniowanym... a stąd właśnie wynika
      definicja pochodnej...

      obrazowo mówiąc, pochodną możesz też rozumieć jako środek
      zdefiniowania pewnej klasy (klasy C1) funkcji ciągłych
      i "wystarczająco" (klasy C1 właśnie) "gładkich"...

      czyli... pochodna, to nic innego jak tylko definicja opisująca
      (wyróżniająca) pewne szczególne podzbiory obiektów matematycznych...

      i raczej nie ma się tu czemu dziwować...
      w każdym razie nie bardziej, niż dajmy na to... istnieniu liczb
      naturalnych ;-)
      • zomo-prl Re: Jak to jest z tymu pochodnymi? 09.09.08, 16:17
        Pojecie granicy w sensie uzywanym w matematyce nie jest naturalne.
        Naturalna jest tylko granica osiagalna, a nie nieosiagalna. Nie da
        sie po prostu udowodnic empirycznie, ze istnieja granice do ktorych
        daza jakies ciagi liczbowe, stad pojecie granicy, a wiec tez i
        pojecie pochodnej nie sa naukowe. W pochodne mozna oczywiscie
        wierzyc, ale wierzyc mozna tez w Jehowe, Jezusa, Trojce Sw., Allacha
        czy w Wielkie Mzimu...
        • bonobo44 Jak to jest z naturalnością w matematyce? 09.09.08, 21:00
          zomo-prl napisała:

          > Pojecie granicy w sensie uzywanym w matematyce nie jest naturalne.

          to w takim razie musisz się zgodzić, że także pojecie liczby
          naturalnej w sensie uzywanym w matematyce nie jest naturalne
          bo no bo najwyższa liczba naturalna nie jest osiagalna

          odpowiada to z grubsza prawdzie i oznacza jedynie tyle, że żadne
          pojęcie w matematyce nie jest "naturalne" - będąc nienaturalną
          abstrakcją (idealizacją w sensie: ideą rzeczy a nie samą rzeczą)
                • bonobo44 Re: Jak to jest z naturalnością w matematyce? 10.09.08, 11:12

                  zomo-prl napisała:

                  > Rzym zbudowano bez calek i rozniczek

                  ale jednocześnie dlatego właśnie niejaki Empedokles miał problemy z
                  dogonieniem... żółwia...

                  dlatego też starożytni borykali się z wieloma podobnymi pozornymi
                  paradoksami, które w nas budzą dziś jedynie politowanie...
                • losiu4 Re: Jak to jest z naturalnością w matematyce? 10.09.08, 12:23
                  zomo-prl napisała:

                  > Rzym zbudowano bez calek i rozniczek.

                  kupe innych rzeczy też, np. syn szwagra babkę z piasku parę tygodni
                  temu postawił, a tabliczki mnożenia jeszcze nie zna :)

                  > Koloseum stoi do dzis...

                  a czemu miałoby nie stać?
                  Gdyby wtedy była lepsza matematyka i lepsze materialy (pośrednio też
                  dzięki matematyce uzyskane) to owo koloseum może byłoby jeszcze
                  bardziej imponujące?

                  > Widzialem tez ostatnio w Portugalii akwedukty z czasow rzymskich w
                  > lepszym stanie niz budynki wybudowane w Piasecznie przez
                  > prywatnych deweloperow jakies 10 lat temu...

                  zgadza sie, ale to nie wina matematyków i inzynierów, a
                  księgowych :) także z matematyki korzystających :)

                  Pozdrawiam

                  Losiu
                  • winoman Re: Dawniej budowano na wyrost 10.09.08, 12:59
                    Ja już kiedyś poświęciłem czas na próby tłumaczenia temu osobnikowi kilku podstawowych rzeczy, ale albo udaje, że ma kłopoty z myśleniem, albo ... . Szkoda czasu. A innym, którzy może nie są z matematyką na bieżąco, wyjaśnię, że żadnego dzielenia przez zero oczywiście nie ma, gdyż NAJPIERW wykonujemy dzielenie, a dopiero POTEM przejście graniczne. Niestety nawet studia na SGPiS nie dały temu panu wiedzy, ze kolejność wykonywania pewnych czynności jest istotna. W ekonomii zresztą też.
                    • europitek Re: Dawniej budowano na wyrost 10.09.08, 13:34
                      Niekoniecznie musisz mieć rację - Kagan intuicyjnie wie, że dzielenie przez zero jest wykonalne, ale nie potrafi tego wytłumaczyć. Na gruncie matematyki abstrakcyjnej jest ono "zakazane", ale to nie jedyny sposób wykonywania działań arytmetycznych na liczbach naturalnych. Oprócz matematyki abstrakcyjnej (symbolicznej) istnieje też arytmetyka pierwotna (niesymboliczna), na której gruncie można spróbować pokazać dopuszczalność (wykonalność) takich operacji.
                      • winoman Re: Dawniej budowano na wyrost 10.09.08, 14:09
                        europitek napisał:

                        > Niekoniecznie musisz mieć rację - Kagan intuicyjnie wie, że dzielenie przez zero
                        > jest wykonalne, ale nie potrafi tego wytłumaczyć.

                        Nie będę wnikał w tajniki jego umysłu. Napisałem tylko (choć może nie było to
                        wystarczająco jasne), że problem dzielenia przez zero w definicji pochodnej w
                        ogóle nie występuje. Tam się ZAWSZE dzieli przez liczbę różną od zera.

                        > Na gruncie matematyki abstrakcyjnej jest ono "zakazane", ale to nie jedyny
                        sposób wykonywania działań arytmetycznych na liczbach naturalnych. Oprócz
                        matematyki abstrakcyjnej (symbolicznej) istnieje też arytmetyka pierwotna
                        (niesymboliczna), na której gruncie można
                        > spróbować pokazać dopuszczalność (wykonalność) takich operacji.

                        Nie bardzo rozumiem co masz na myśli. Kiedyś chyba asteroida2 pokazał, jak i w
                        ramach abstrakcyjnej matematyki można "dzielić przez zero", ale kosztem
                        rozszerzenia pojęcia "liczby". Podobne idee związane z dzieleniem przez zero i
                        związanych z tym nieskończonościami zostały urzeczywistnione w geometrii
                        rzutowej. Wszystkie sensowne idee "pierwotne" czy "intuicyjne" dotyczące
                        arytmetyki można też wyrazić symbolicznie (ale to tautologia, zapytasz pewnie
                        czym dla mnie są idee "sensowne" :-)) ).

                        • europitek Re: Dawniej budowano na wyrost 10.09.08, 15:20
                          Winoman napisał:
                          > zapytasz pewnie czym dla mnie są idee "sensowne" :-))

                          Tu Cię zaskoczę - nie zapytam.
                          Nie będę też oponował przeciwko temu, że wszystkie idee dotyczące arytmetyki pierwotnej można wyrazić symbolicznie, chociaż dodałbym - na wszelki wypadek - prawdopodobnie, ponieważ nie znam tych wszystkich idei, a tylko niektóre. Traktując sprawę bardzo ogólnie powiedziałbym, że arytmetyka pierwotna to sposób liczenia bez liczb. Można ją, na ile rozumiem problem, opisywać przy użyciu symboli, ale mają one jedynie znaczenie pomocnicze - są przydatne dla zobrazowania możliwych mechanizmów ze względu na nasze przyzwyczajenie do operowania symbolami.
                          Arytmetyka pierwotna to - znów ogólnie - sposób wykonywania operacji obliczeniowych kształtujący się samorzutnie u wielu gatunków zwierząt (wliczając ludzi), który został identyfikowany empirycznie w toku różnych badań behawioralnych i neurobiologicznych.
                          Jeśli temat Cię interesuje, to możemy go "pociągnąć", ale będzie to wymagało ode mnie pewnych przygotowań w zakresie doboru sieciowo dostępnych tekstów wyjaśniających różne kwestie z pogranicza kilku dziedzin. Myślę, że tu bardzo przydałby się Petrucchio z jego wiedzą językoznawczą - ułatwiłoby to pokazanie problemu w odniesieniu do ludzi, a bez konieczności odwoływania się do jakichś skomplikowanych wyjaśnień (i upierdliwego szukania i czytania żródeł).(Jesteś tam, Petrucchio?)

                          Zapewniam Cię, że nie ma to wiele wspólnego z jakimiś psychologicznymi "zaplatankami" w głowie Kagana czy kogokolwiek innego, lecz chodzi o pewne naturalne (samorzutne) zjawisko, które zostało empirycznie stwierdzone i częściowo opisane.
                            • europitek Re: Dawniej budowano na wyrost 10.09.08, 16:53
                              To jedno i jest przez to mniej precyzyjna. Z liczb korzysta, ale w ograniczonym zakresie - jako z etykiet pewnych liczności, a nie odrębnych obiektów, na których można wykonywać operacje.
                              Zresztą można by się spierać o to na ile matematyka abstrakcyjna jest systemem uogólnień wyprowadzonych z arytmetyki pierwotnej (zwanej też "zmysłem liczbowym") poprzez system naturalnej kategoryzacji. Liczby-symbole mogły w ten sposób wyewoluować.
                              • zomo-ormo Re: Dawniej budowano na wyrost 10.09.08, 17:04
                                Niemniej artymetyka z zerem prwadzi do paradoksow, z ktorymi
                                matematycy rady dac siobie nie moga. Np. zazkazuja dzielic przez owo
                                zero, ale nie potrafia wytlumaczyc czemu nie wolno dzielic przez to
                                zero. Na razie to matematyka jest wiec tylko systemem wierzen, np.
                                Zydom nie wolno w szabas naciskac na przycisk przywolujacy winde,
                                Katolikom nie wolno jesc miesa w Wielki Piatek itp. "bo nie wolno" i
                                juz...
                                • europitek Re: Dawniej budowano na wyrost 10.09.08, 20:07
                                  Potrafią to wytłumaczyć i robią to z powodzeniem, ale oczywiście w ramach określonych właściwości obiektów symbolicznych, na których dokonuje się operacji. Z kolei te operacje też mają zmodyfikowane chakterystyki (sposób wykonania). W efekcie wszystko jest podobne do działań niesymbolicznych, ale jednak różne.
                                  To nie jest kwestia "wiary", lecz pokazania sposobu przejścia od działań niesymbolicznych do abstrakcyjnych. I nie jest to prosta sprawa.
                                    • europitek Re: Dawniej budowano na wyrost 11.09.08, 04:18
                                      Ale co mam rozwinąć, bo tego jest sporo?
                                      Jeśli chodzi o wyjaśnienia w ramach matematyki abstrakcyjnej, to Winoman i Asteroida już to robili, więc nie ma o czym gadać. Operacje na symbolach (liczbach abstrakcyjnych) wyglądają tak a nie inaczej, ponieważ jawnie przypisano im określone właściwości.
                                        • europitek Re: Dawniej budowano na wyrost 11.09.08, 14:59
                                          "Jak w ..." to czasami bardzo daleka paralela. W przypadku matematyki abstrakcyjnej niektóre z tych przypisanych właściwości są, moim zdaniem, dziedziczone po arytmetyce pierwotnej, która jest bardzo empiryczna. Przejście na operacje na symbolach zapewniło większą precyzję, zakres i wydajność obliczeń. To jednak wymagało pewnych zmian i usprawnień. Inaczej mówiąc działania arytmetyczne na symbolach są rozwinięciem działań niesymbolicznych.
                                          W przypadku dzielenia w arytmetyce pierwotnej operacja z udziałem zera jako dzielnika nie jest problemem ze względu na sposób wykanywania tej operacji. Zajmowałeś się kiedyś programowaniem, więc nie powinieneś mieć większych problemów z wykombinowaniem w pamięci bezliczbowego sposobu dzielenia. Zresztą mechanizm ten można odkryć czysto empirycznie manipulując grupą obiektów.
                                          • zomo-ormo Re: Dawniej budowano na wyrost 11.09.08, 17:22
                                            Dzielenie to tez dodawanie, jak kazda inna operacja matematyczna:
                                            ODEJMOWANIE to dodawanie ze znakiem przeciwnym 6-2=6+(-2)
                                            MNOZENIE to wielokrotne dodawanie 6*2=6+6 (dodawanie powtarzamy tu 2 razy)
                                            DZIELENIE to zas wielokrotne odejmowanie, czyli wielokrotne dodawanie ze znakiem
                                            przeciwnym 12/6=12-6=6 i znow odejmujemy od tego wyniku 6 czyli obliczamy 6-6 i
                                            otrzymujemy 0 co oznacza koniec dzielenia - wystarczy teraz policzyc ile razy
                                            wykonwyalismy operacje odejmowania, ktora oczywiscie mozna sprowadzic do
                                            operacji dodawania, jako iz 12-6=12+(-6) itd.
                                            Wystaczy wiec znac tylko dodawanie - pozostale operacje artymetyczne redukuja
                                            sie bowiem do dodawania.
                                            Czemu wiec nie mozna dzielic przez zero, jesli mozna zero dodawac, odejmowac i
                                            przez nie mnozyc, skoro dzielenie redukuje sie do wielokrotnego dodawania?
                                            PS: Oczywiscie nie zamiescilem tu pelnego dowodu, aby ten tekst byl zrozumialy
                                            dla niematematykow. Ale metoda indukcji polaczonej z dedukcja latwo to co
                                            napisalem uogolnic...
                                              • zomo-ormo Re: Dawniej budowano na wyrost 11.09.08, 21:32
                                                A wiec: 12/0 = 12-0=12 i znow powtarzamy te operacje itd. Wychodzi
                                                wiec iz zero miesci sie w liczbie 12 NIESKONCZONA ilosc razy. Nie ma
                                                po drodze zadnego bledu - to tylko kalkulatory i programy maja wady!
                                                Czyli ze mozna dzielic przez zero. Zmieszczenie wyniku to juz tylko
                                                problem scisle techniczny - my tu zajmujemy sie przeciez CZYSTA
                                                matematyka!
                                                Albowiem DZIELENIE to po prostu wielokrotne odejmowanie, czyli
                                                wielokrotne dodawanie ze znakiem przeciwnym.
                                                Przykladowo: 12/6=12-6=6 i znow odejmujemy od tego wyniku 6 czyli
                                                obliczamy 6-6 i otrzymujemy 0 co oznacza koniec dzielenia -
                                                wystarczy teraz policzyc ile razy wykonywalismy operacje
                                                odejmowania, ktora oczywiscie mozna sprowadzic do
                                                operacji dodawania, jako iz 12-6=12+(-6) itd.
                                            • europitek Re: Dawniej budowano na wyrost 11.09.08, 22:37
                                              zomo-ormo napisała:
                                              > Czemu wiec nie mozna dzielic przez zero, jesli mozna zero dodawac,
                                              > odejmowac i przez nie mnozyc, skoro dzielenie redukuje sie do
                                              > wielokrotnego dodawania?

                                              Dzielenie i mnożenie przez <0> to są operacje nieodwracalne. Dla mnie zagadką jest, dlaczego mnożenie przez <0> jest dopuszczalne - rezultat empiryczny obu operacji jest identyczny.
                                              Być może ma tu znaczenie fakt, że dzielenie przez <0> wykonywane metodą odejmowania (czy jak wolisz dodawania ze znakiem przeciwnym) nie jest operacją skończoną, jeśli operacja ta jest wykonywana na symbolach. W efekcie decydowałby więc wzgląd czysto praktyczny, wynikający ze sposobu realizacji operacji.
                                              • zomo-ormo Brak wyobrazni u matematykow 15.09.08, 13:11
                                                A tu zgoda z europitekiem, ktory napisal byl:
                                                Dzielenie i mnożenie przez <0> to są operacje nieodwracalne. Dla
                                                mnie zagadką jest, dlaczego mnożenie przez <0> jest dopuszczalne -
                                                rezultat empiryczny obu operacji jest identyczny.
                                                - Wydaje mi sie, ze zero razy dowolna liczba to nie jest zero,
                                                podobnie jak dowolna liczba dzielona przez zero nie jest
                                                nieskonczonoscia. Po prostu matematykom zabraklo wyobrazni. A
                                                wystarczy np. wprowadzic dwie dodatkowe liczby: np. ALFA i OMEGA
                                                (oznaczane np. A oraz W dla unikniecia omylek): pierwsza to wynik
                                                mnozenia przez zero, a druga to wynik dzielenia przez zero... I
                                                zdefinowac jak sie poslugiwac tymi liczbami...
                                                Pozdr. :)
                                                • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 15.09.08, 21:16
                                                  Wynikiem obu tych operacji jest <0>. Oczywiście przy ich niesymbolicznym przeprowadzeniu. I nie ma kłopotu z nieskończonością, ponieważ nie jest to operacja odejmowania na symbolach, lecz podziału.
                                                  Abstrakcje matematyczne (podstawowe), to efekt uogólnienia pojęć odempirycznych. W związku z tym ich właściwości różnią od ich antenatów, jak "zero" od "nic".
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 15.09.08, 22:47
                                                    zomo-ormo napisała:

                                                    > Wlasciwie to ma sens: 1/0=0
                                                    > Ale czemu na to nie zgadzaja sie zawodowi matematycy?

                                                    Bo z wielu powodów (ciągłość, elementarne własności dodawania i mnożenia ...)
                                                    0.0 MUSI się równać 0.

                                                    Na przykład dlatego, by (1+(-1)).0 = 1.0+(-1).0 = 0+(-0) = 0-0 = 0. A dzielenie
                                                    MUSI być zdefiniowane jako odwrotność mnożenia. Jak kto chce mieć inaczej, jego
                                                    sprawa, ale będzie miał arytmetykę pełną wyjątków i dziwnych, nieintuicyjnych
                                                    reguł, nie bardzo dającą się stosować do niczego mającego choć minimalny związek
                                                    z rzeczywistością. Oczywiście wiem, że Kagan zaraz to odrzuci, piszę dla innych.

                                                    Argument ciągłości też można wykorzystać do bezpośredniego pokazania, że 1/0 nie
                                                    może być równe zeru, jeśli działania arytmetyczne mają być ciągłe (a tylko takie
                                                    są użyteczne). Wystarczy zauważyć, że 1/(1/n)=n, po lewej stronie wraz ze
                                                    wzrostem n mianownik 1/n dąży do zera, więc ułamek powinien dążyć do 1/0
                                                    (ciągłość dzielenia), ale prawa strona rośnie do nieskończoności. System
                                                    liczbowy, w którym 0=nieskończoność, nie wydaje się specjalnie przydatny, więc
                                                    równość 1/0=0 bezpiecznie można odrzucić. W ten sam sposób 1/0 nie może być w
                                                    żadnym sensownym systemie arytmetycznym równa żadnej skończonej liczbie.
                                                  • zomo-ormo Re: Brak wyobrazni u matematykow 15.09.08, 23:03
                                                    No wiec ile to jest 1/0, skoro "1/0 nie może być w żadnym sensownym
                                                    systemie arytmetycznym równa żadnej skończonej liczbie"? Jesli 1/0
                                                    nie rowna sie żadnej skończonej liczbie, to czemu sie rowna? Czy nie
                                                    lepiej wiec zrezygnowac z zera i w ten sposob pozbyc sie przy okazji
                                                    tych bezsensownych nieskonczonosci??
                                                  • zomo-ormo Re: Brak wyobrazni u matematykow 15.09.08, 23:12
                                                    Zakazal bym takiego odejmowania, jak dzis zakazuje sie dzielenia
                                                    przez zero. Rzymianie (starozytni) zera nie znali, a Rzym
                                                    wybudowali... Grecy (starozytni) tez go nie znali, a jaka filozfie i
                                                    kulture stworzyli!
                                                    Pozdr. :)
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 16.09.08, 00:30
                                                    winoman napisał:
                                                    > Bo z wielu powodów (ciągłość, elementarne własności dodawania i
                                                    > mnożenia ...) 0.0 MUSI się równać 0.

                                                    To obowiązuje dla każdego n: n*0=0. A teraz spróbuję wykręcić kota ogonem i wmówić, że to łeb.
                                                    1) n*0=0
                                                    2) n=0/0
                                                    3) dzielenie przez 0 jest zakazane (niewykonalne)
                                                    4) n jest zakazane (nie istnieje)
                                                    5) nie istnieje takie n, które pomnożone przez 0 daje wynik 0

                                                    Czy mógłbyć w jakiś inny sposób uzasadnić, że 0*0=0?

                                                    > Wystarczy zauważyć, że 1/(1/n)=n, po lewej stronie wraz ze
                                                    > wzrostem n mianownik 1/n dąży do zera, więc ułamek powinien dążyć > do 1/0 (ciągłość dzielenia), ale prawa strona rośnie do
                                                    > nieskończoności.

                                                    Moim zdaniem nie wystarczy, ponieważ "dążyć do" to nie to samo co "osiągnąć". Nawet (1/oo)=/=0 (jeden podzielone przez nieskończoność nie równa się zero).
                                                    Natomiast dla n=0 dostaniesz 0=0, gdy 1/0=0.

                                                    > A dzielenie MUSI być zdefiniowane jako odwrotność mnożenia.

                                                    W jakim sensie "odwrotność"?
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 16.09.08, 09:49

                                                    > Moim zdaniem nie wystarczy, ponieważ "dążyć do" to nie to samo co "osiągnąć".

                                                    Sens matematycznego pojęcia ciągłości kryje się właśnie w tym, że dla obiektów
                                                    ciągłych "dążyć do" implikuje "osiągać". Funkcja
                                                    f:X->Z jest ciągła na zbiorze X, jeśli dla każdego x w X i dla y dążących w X do
                                                    x wartość f(y) dąży do liczby równej f(x).
                                                    W tym sensie działania arytmetyczne są ciągłe wszędzie tam, gdzie mają zwykły
                                                    sens: y dążące do x implikuje 1/y dążące do 1/x. Ciągłość operacji
                                                    arytmetycznych jest tak fundamentalna, że wykorzystuje się ją do definiowania
                                                    tych operacji na liczbach, na których pierwotna definicja nie ma sensu, na
                                                    przykład potęgę o wykładniku niewymiernym definiuje się poprzez aproksymację
                                                    potęgami o wykładnikach wymiernych:

                                                    2^Pi (2 do potęgi Pi) jest granicą ciągu liczb 2^3; 2^3,1; 2^3,14, 2^3,141; ...

                                                    (oczywiście najpierw sprawdza się, że wynik nie zależy od tego jaki ciąg
                                                    przybliżeń wykładnika weźmiemy)

                                                    > Nawet (1/oo)=/=0 (jeden podzielone przez nieskończoność nie równa się zero).

                                                    To akurat ma sens i jeśli czemuś miałoby się równać, to właśnie zeru, na mocy
                                                    ciągłości: x dążące do nieskończoności implikuje 1/x dążące do zera.


                                                    > > A dzielenie MUSI być zdefiniowane jako odwrotność mnożenia.
                                                    >
                                                    > W jakim sensie "odwrotność"?

                                                    Dzielenie przez liczbę a jest operacją odwrotną do mnożenia przez x, a więc
                                                    wykonanie najpierw jednej operacji, a potem drugiej (w dowolnej kolejności)
                                                    przywraca stan początkowy. Formalnie, funkcje f:X->Y i g:Y->X są do siebie
                                                    odwrotne, jeśli f(g(y))=y i g(f(x))=x dla wszystkich x w zbiorze X i y w zbiorze
                                                    Y. Tak jest w szczególności, gdy X=Y=R (zbiór liczb rzeczywistych, f jest
                                                    operacją mnożenia przez liczbę k, zaś g operacją dzielenia przez k (oczywiście
                                                    dla k różnego od zera :-) ). Mnożenie przez zero nie ma funkcji odwrotnej, więc
                                                    nie definiuje się dzielenia przez zero, bo nie ma jak.

                                                    Pozdrawiam!
                                                  • zomo-ormo Re: Brak wyobrazni u matematykow 16.09.08, 10:47
                                                    Skad wiesz, ze dana funkcja jest ciagla w rejonie bliskim
                                                    nieskonczonosci? Jak to zweryfikujesz empirycznie? Przeciez moze ona
                                                    zmianic swe wlasciwosci w takim ekstremalnym regionie, podobnie jak
                                                    zmieniaja swe wlasnosci niektore materialy w poblizu absolutnego
                                                    zera (0 stopni K)!
                                                  • europitek Matematycy mają za dużo wyobraźni 16.09.08, 19:30
                                                    winoman napisał:
                                                    > Sens matematycznego pojęcia ciągłości kryje się właśnie w tym, że
                                                    > dla obiektów ciągłych "dążyć do" implikuje "osiągać".

                                                    Typowo matematyczne (dedukcyjne) uzasadnianie twierdzeń niższego poziomu ogólności twierdzeniami poziomu wyższego. Mnie to jednak nie zadowala, ponieważ zawsze prowadzi do większej utraty dokładności niż metoda indukcyjna (od szczegółu do ogółu), a mnie nie podoba się nieustanne kumulowanie błędów uogólniania.

                                                    Skoro jednak tak, to czy przedział dodatnich liczb rzeczywistych <0,a) jest obiektem ciągłym, czy nie? Jeśli tak, to zgodnie z tym co napisałeś w kwestii "dążenia do" i "osiągania" jest on przedziałem <0,a>.

                                                    > Dzielenie przez liczbę a jest operacją odwrotną do mnożenia przez
                                                    > x, a więc wykonanie najpierw jednej operacji, a potem drugiej (w
                                                    > dowolnej kolejności) przywraca stan początkowy.(...)

                                                    > Mnożenie przez zero nie ma funkcji odwrotnej, więc
                                                    > nie definiuje się dzielenia przez zero, bo nie ma jak.

                                                    Tak więc jest to odwrotność tylko dla klasy liczb różnych od 0. Zatem musi istnieć taka reguła (uogólnienie) wyższego rzędu (poziomu ogólności), która będzie uogólnieniem odwrotności tych działań dla wszyskich liczb różnych od 0 plus ono samo. W przeciwnym wypadku:
                                                    - uogólnienie o odwrotności tych działań dla liczb różnych od 0 jest fałszywe lub
                                                    - 0 nie jest liczbą lub
                                                    - tylko 0 jest liczbą
                                                    Pewnie gdybym "się sprężył" to wykombinowałbym jeszcze jakieś równie ekstrawaganckie propozycje. Istotne jest tu jednak to czy istnieje takie uogólnienie wyższego poziomu, które opisuje odwrotność mnożenia i dzielenia dla wszystkich liczb (z 0 włącznie).

                                                    Podchodząc do tego z innej strony, przykład ten pokazuje, gdzie szukać przyczyn takiego stanu rzeczy. Właściwości działań arytmetycznych zależą nie tylko od specyfiki własnego mechanizmu, lecz również od właściwości konkretnych liczb, na których są wykonywane. Mechanizm, moim zdaniem, powinien być uniwersalny a obserwowalne różnice efektów działań zależne od właściwości konkretnych liczb, na których są one wykonywane. Znów dochodzimy do tego samego punktu, co w poście równoległym (poniżej).

                                                    A teraz z czystej i bezinteresownej złośliwości: jeśli przyjmiemy, że dzielenie przez zero jest dopuszczalne i n/0=0 dla każdego n, to z braku jego odwrotności uzyskamy w efekcie zakaz mnożenia przez 0. W związku z tym ciśnie się na usta pytanie, dlaczego mnożenie ma większe "chody" w matematyce niż dzielenie?
                                                  • zomo-ormo Re: Matematycy mają za dużo wyobraźni 16.09.08, 20:10
                                                    europitek napisał: teraz z czystej i bezinteresownej złośliwości:
                                                    jeśli przyjmiemy, że dzielenie przez zero jest dopuszczalne i n/0=0
                                                    dla każdego n, to z braku jego odwrotnośc i uzyskamy w efekcie zakaz
                                                    mnożenia przez 0. W związku z tym ciśnie się na usta pytanie,
                                                    dlaczego mnożenie ma większe "chody" w matematyce niż dzielenie?
                                                    - Odp. jest prosta: matematyka jest do kitu, jest niespojna,
                                                    nielogiczna i pelna sprzecznosci wewnetrznych. Pytanie jest wiec:
                                                    czemu uwaza sie ja wciaz za nauke, skoro ma tyle wspolnego z nauka
                                                    co religia (oparta sa obie na nieudowadnialnych aksjomatach)...
                                                  • winoman Re: Matematycy mają za dużo wyobraźni 16.09.08, 20:19
                                                    > Skoro jednak tak, to czy przedział dodatnich liczb rzeczywistych <0,a) jest
                                                    > obiektem ciągłym, czy nie? Jeśli tak, to zgodnie z tym co napisałeś w kwestii
                                                    > "dążenia do" i "osiągania" jest on przedziałem <0,a>.

                                                    Pojęci ciągłości odnosi się do funkcji, nie do zbiorów (a w tym przypadku raczej
                                                    przestrzeni topologicznych). Matematycy mówią, że przedział <0,a) nie jest
                                                    zupełny i nie jest zwarty. W oczywisty sposób nie jest on równy przedziałowi
                                                    <0,a>, liczba a do <0,a) nie należy.

                                                    >
                                                    > > Dzielenie przez liczbę a jest operacją odwrotną do mnożenia przez
                                                    > > x, a więc wykonanie najpierw jednej operacji, a potem drugiej (w
                                                    > > dowolnej kolejności) przywraca stan początkowy.(...)
                                                    >
                                                    > > Mnożenie przez zero nie ma funkcji odwrotnej, więc
                                                    > > nie definiuje się dzielenia przez zero, bo nie ma jak.
                                                    >
                                                    > Tak więc jest to odwrotność tylko dla klasy liczb różnych od 0. Zatem musi istn
                                                    > ieć taka reguła (uogólnienie) wyższego rzędu (poziomu ogólności), która będzie
                                                    > uogólnieniem odwrotności tych działań dla wszyskich liczb różnych od 0 plus ono
                                                    > samo. W przeciwnym wypadku:
                                                    > - uogólnienie o odwrotności tych działań dla liczb różnych od 0 jest fałszywe l
                                                    > ub
                                                    > - 0 nie jest liczbą lub
                                                    > - tylko 0 jest liczbą

                                                    Niestety znów nie rozumiem.

                                                    > Pewnie gdybym "się sprężył" to wykombinowałbym jeszcze jakieś równie ekstrawaga
                                                    > nckie propozycje. Istotne jest tu jednak to czy istnieje takie uogólnienie wyżs
                                                    > zego poziomu, które opisuje odwrotność mnożenia i dzielenia dla wszystkich licz
                                                    > b (z 0 włącznie).

                                                    Asteroida pokazał kiedyś jak, jeśli ktoś bardzo chce, można tak zmodyfikować
                                                    pojęcie liczby, by dzielić przez zero się dało. Rzecz w tym, że takie nowe
                                                    liczby nie byłyby do niczego przydatne.

                                                    >
                                                    > Podchodząc do tego z innej strony, przykład ten pokazuje, gdzie szukać przyczyn
                                                    > takiego stanu rzeczy. Właściwości działań arytmetycznych zależą nie tylko od s
                                                    > pecyfiki własnego mechanizmu, lecz również od właściwości konkretnych liczb, na
                                                    > których są wykonywane. Mechanizm, moim zdaniem, powinien być uniwersalny a obs
                                                    > erwowalne różnice efektów działań zależne od właściwości konkretnych liczb, na
                                                    > których są one wykonywane. Znów dochodzimy do tego samego punktu, co w poście r
                                                    > ównoległym (poniżej).
                                                    >
                                                    > A teraz z czystej i bezinteresownej złośliwości: jeśli przyjmiemy, że dzielenie
                                                    > przez zero jest dopuszczalne i n/0=0 dla każdego n, to z braku jego odwrotnośc
                                                    > i uzyskamy w efekcie zakaz mnożenia przez 0. W związku z tym ciśnie się na usta
                                                    > pytanie, dlaczego mnożenie ma większe "chody" w matematyce niż dzielenie?

                                                    Z fałszywej przesłanki wszystko wynika, nawet zakaz mnożenia przez zero. A to,
                                                    że mnożenie jest bardziej "pierwotne" niż dzielenie, to nawet Kagan zauważył: do
                                                    definicji mnożenia wystarczy dodawanie, dzielenie wymaga istnienia mnożenia,
                                                    albo, co najmniej, odejmowania.
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 16.09.08, 09:56
                                                    > Czy mógłbyć w jakiś inny sposób uzasadnić, że 0*0=0?

                                                    Bo jak sam napisałeś, dla dowolnego n (powiedzmy różnego od zera) na pewno n*0=0. Jeśli przyjmujemy ten fakt, i jeśli prawo rozdzielności (a+b)*c=a*c+b*c ma zachodzić, nie ma innego wyjścia, jak przyjąć 0*0=0, jak to pisałem wcześniej.

                                                    Można jeszcze inaczej. Zgodzisz się zapewne z tym, że 0+0=0. Jeśli tak, to 0*0 =(0+0)*0 = 0*0+0*0. Teraz od obu stron odejmujemy 0*0.
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 16.09.08, 18:03
                                                    Metoda Twojej argumentacji jest bardzo "dołująca" - "nie ma innego wyjścia".
                                                    Ja zgadzam się z tym, że n*0=0, ale też nie mam nic przeciwko stwierdzeniu, które sam spłodziłem, że nie istnieje żadne n, dla którego zaszłoby n*0=0. Gdyby istniało n, to niewątpliwie taka zależnośc by zachodziła. Na razie stan (wyprowadzony z tej zależności) jest taki, że jeśli zależność ta zachodzi dla jakiegoś n, to jest to n nieistniejące.

                                                    Tłumaczenie oparte na konieczności zgodności z rozdzielnością nie jest dobre, ponieważ prawo to jest uogólnieniem wyższego rzędu i jeśli chcemy zachować wysoką precyzję wnioskowania, to kierunek dowodzenia może być tylko przeciwny. Dedukcja jest przydatna, gdy nie możemy sformułować wniosków z powodu braku wystarczającej informacji z niższych poziomów ogólności. W naszym przypadku wiedzą taką są właściwości liczb, a w szczególności liczby 0 i właśnie z nich należy wyprowadzać n*0=0.
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 16.09.08, 20:08
                                                    > Metoda Twojej argumentacji jest bardzo "dołująca" - "nie ma innego wyjścia".
                                                    > Ja zgadzam się z tym, że n*0=0, ale też nie mam nic przeciwko stwierdzeniu, któ
                                                    > re sam spłodziłem, że nie istnieje żadne n, dla którego zaszłoby n*0=0. Gdyby i
                                                    > stniało n, to niewątpliwie taka zależnośc by zachodziła. Na razie stan (wyprowa
                                                    > dzony z tej zależności) jest taki, że jeśli zależność ta zachodzi dla jakiegoś
                                                    > n, to jest to n nieistniejące.

                                                    Ja jestem prosty matematyk i zaczynam się gubić, ale Twoje "wyprowadzenie" było
                                                    niepoprawne z punktu widzenia elementarnej logiki, spróbuję to odnaleźć i uzasadnić.

                                                    >
                                                    > Tłumaczenie oparte na konieczności zgodności z rozdzielnością nie jest dobre, p
                                                    > onieważ prawo to jest uogólnieniem wyższego rzędu i jeśli chcemy zachować wysok
                                                    > ą precyzję wnioskowania, to kierunek dowodzenia może być tylko przeciwny. Deduk
                                                    > cja jest przydatna, gdy nie możemy sformułować wniosków z powodu braku wystarcz
                                                    > ającej informacji z niższych poziomów ogólności. W naszym przypadku wiedzą taką
                                                    > są właściwości liczb, a w szczególności liczby 0 i właśnie z nich należy wypro
                                                    > wadzać n*0=0.

                                                    Też nie bardzo rozumiem. Prawo rozdzielności, fundamentalne i (chyba się z tym
                                                    zgodzisz) bezwarunkowo prawdziwe dla liczb naturalnych (całkowitych większych od
                                                    zera) jest tak istotne, że wszystkie w jakikolwiek sposób przydatne uogólnienia
                                                    pojęcia liczby też to prawo zakładają jako jeden z aksjomatów. Kto nie chce
                                                    rozdzielności, może się bawić w jej odrzucanie, ale nikt jeszcze nie pokazał
                                                    sensowności takich rozważań. Zresztą bez aksjomatu rozdzielności też można się
                                                    obejść, wychodząc z pojęcia liczb naturalnych można skonstruować wszystkie inne
                                                    rodzaje liczb i rozdzielność będzie równie bezwarunkowo obowiązywać.

                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 16.09.08, 23:37
                                                    winoman napisał:
                                                    > Też nie bardzo rozumiem. Prawo rozdzielności, fundamentalne i
                                                    > (chyba się z tym zgodzisz) bezwarunkowo prawdziwe dla liczb
                                                    > naturalnych (całkowitych większych od zera) jest tak istotne, że
                                                    > wszystkie w jakikolwiek sposób przydatne uogólnienia pojęcia
                                                    > liczby też to prawo zakładają jako jeden z aksjomatów. Kto nie chce
                                                    > rozdzielności, może się bawić w jej odrzucanie, ale nikt jeszcze
                                                    > nie pokazał sensowności takich rozważań. Zresztą bez aksjomatu
                                                    > rozdzielności też można się obejść, wychodząc z pojęcia liczb
                                                    > naturalnych można skonstruować wszystkie inne rodzaje liczb i
                                                    > rozdzielność będzie równie bezwarunkowo obowiązywać.

                                                    Wiem, że się nie rozumiemy i nad tym usilnie pracuję.
                                                    Na początek powiem to jasno, że nie jest moim celem obalanie czegokolwiek, jeśli się tak zdarzy to będzie to skutek uboczny moich działań. Zresztą szczerze wątpię w zaistnienie takiej sytuacji, chociaż tego nie wykluczam. Ale nawet jeśli by do tego doszło, to raczej nie będzie moja robota (i zasługa lub wina).
                                                    Mnie interesuje skąd się ten cały "towar" bierze i jakim prawidłowościom strukturalnym podlega (oczywiście mogę się wykłucać o jakieś nieistotne szczegóły). Odnosząc to do konkretów, czyli np. tego co napisałeś o rozdzielności, warto zuważyć, że skoro "wszystkie w jakikolwiek sposób przydatne uogólnienia pojęcia liczby też to prawo zakładają jako jeden z aksjomatów", to oznacza istnienie pewnej hierarchii uogólnień (reguł), w której jedne z nich budowane są przez uogólnianie innych. I tak piętro, po piętrze, coraz wyżej (lub niżej jeśli chcemy sięgnąć podstawy). Prawdziwość, czy uznanie fundamentalności nie ma tu wiele do rzeczy.
                                                    Jednak, wracając do rozdzielności, to jest ona uogólnieniem (regułą) wyższego poziomu ogólności niż nawet uogólnione pojęcia liczby, o czym świadczy jej aksjomatyczna pozycja w stosunku do tych pojęć. Aksjomaty są regułami używanymi do dedukcyjnego formułowania reguł niższych poziomów ogólności w przypadku trudności w sformułowaniu tych reguł metodą indukcyjną (oczywiście nie chodzi o indukcję matematyczną), czyli od szczegółu do ogółu. W rzeczywistości te uogólnione pojęcia liczb są uogólnieniami mniej ogólnych pojęć liczb, a te jeszcze mniej ogólnych. I tak aż do arytmetyki pierwotnej, od której cały ten "liczbowy interes" się zaczął.

                                                    Możesz spytać: po co komu indukcyjne sprawdzanie poprawności wniosków dedukcyjnych? A ja odpowiem: po to by wyłapać ewentualne błędy wynikające z zastosowania mniej dokładnej (dedukcyjnej) metody rozumowania. Sam proces tworzenia uogólnień - niezależnie od użytej metody - oznacza utratę pewnej ilości infomacji. Jednak dedukcje oznaczają możliwość popełnienia znacznie większych błędów, które w dodatku będą niewykrywalne (dopóki nie przeprowadzisz indukcyjnej "rewizji" lub nie natrafisz na sprzeczność wniosków) ze względu na bezpowrotną utratę nieznanej informacji z poziomu niższego. Indukcje też powodują stratę informacji, lecz jest to informacja nam znana, więc zawsze mamy możliwość dokonania korekt w kierunku minimalizacji jej strat, a więc i uzyskania większej dokładności uogólnień wyższego poziomu.
                                                    Jeśli, jak piszesz, jesteś w stanie wychodząc od jakichś bardziej "pierwotnych" (niskouogólnionych) pojęć liczb (np. naturalnych) wyprowadzić pojęcia bardziej ogólne, a z nich rozdzielność, to jest to właśnie metoda weryfikacji od szczegółu do ogółu. Oczywiście po warunkiem, że nie będziesz próbował definiować tych pojęć pierwotnych dedukcyjnie, choć bez odwołań do rozdzielności. Jeśli zrobisz to bez jakichkolwiek aksjomatów i odwołań do uogólnień wyższych rzędów niż aktualnie rozpatrywany to tym samym uda Ci się ujawnić jedną z empirycznych podstaw matematyki abstrakcyjnej.
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 17.09.08, 10:49

                                                    > Jeśli, jak piszesz, jesteś w stanie wychodząc od jakichś bardziej "pierwotnych"
                                                    > (niskouogólnionych) pojęć liczb (np. naturalnych) wyprowadzić pojęcia bardziej
                                                    > ogólne,

                                                    To nie ja, to już 150 lat temu Kronecker powiedział, że liczby naturalne stworzył Bóg, a cała reszta jest dziełem człowieka.

                                                    Żeby zbudować cały (OK, niemal cały, ale wszystkie rzeczy istotne dla 99% zawodowych matematyków będą w nim zawarte) dzisiejszy gmach matematyki, trzeba dysponować tylko teorią zbiorów w wersji Zermelo-Fraenkla

                                                    pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomaty_Zermelo-Fraenkela
                                                    z dołączonym tzw. pewnikiem wyboru (to będą narzędzia) i zbiorem liczb naturalnych (który jest już de facto zawarty w tej teorii zbiorów, ale wygodnie będzie mieć go osobno, w postaci konkretnego modelu, realizującego aksjomatykę Peano).

                                                    Zaczynając od artykułu w wiki opisującego liczby naturalne i postulaty Peano

                                                    pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_naturalne
                                                    można dalej prześledzić formalną konstrukcję kolejnych rodzajów liczb:

                                                    pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite
                                                    pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_wymierne
                                                    pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_rzeczywiste
                                                    pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone
                                                    Więcej informacji jest w artykule

                                                    pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb
                                                    Pozdrawiam!
                                                  • petrucchio Re: Brak wyobrazni u matematykow 17.09.08, 11:22
                                                    winoman napisał:

                                                    > To nie ja, to już 150 lat temu Kronecker powiedział, że liczby
                                                    > naturalne stworzył Bóg, a cała reszta jest dziełem człowieka.

                                                    Johnny Von Neumann właściwie pokazał, że albo Kronecker się mylił, albo Bóg
                                                    niepotrzebnie się wysilał. Mógł stworzyć tylko zero (reprezentowane jako zbiór
                                                    pusty), a cała reszta daje się skonstruować w ramach teorii mnogości.
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 17.09.08, 14:05
                                                    Jak można tak nieuważnie czytać posty człowieka, z którym się dyskutuje? W ramach pomsty za te niecne uczynki nie przeczytam żadnego z tych linków, czego drugim powodem jest "tytuł" pierwszego z nich.
                                                    Przecież ostatnie zdanie mojego porzedniego postu brzmiało:
                                                    > Jeśli zrobisz to bez jakichkolwiek aksjomatów i odwołań do
                                                    > uogólnień wyższych rzędów niż aktualnie rozpatrywany to tym samym > uda Ci się ujawnić jedną z empirycznych podstaw matematyki
                                                    > abstrakcyjnej.

                                                    Powtórzę więc jeszcze raz: zero aksjomatów!
                                                    Albo inaczej: wszystkie, których zechcesz użyć najpierw _udowodnisz_.
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 17.09.08, 15:24
                                                    > Przecież ostatnie zdanie mojego poprzedniego postu brzmiało:
                                                    > > Jeśli zrobisz to bez jakichkolwiek aksjomatów i odwołań do
                                                    > > uogólnień wyższych rzędów niż aktualnie rozpatrywany to tym samym > u
                                                    > da Ci się ujawnić jedną z empirycznych podstaw matematyki
                                                    > > abstrakcyjnej.
                                                    >
                                                    > Powtórzę więc jeszcze raz: zero aksjomatów!

                                                    Jeśli mam zacząć od czegoś, to na czymś muszę się oprzeć, inaczej gdy ja napiszę
                                                    "siedem", Ty możesz zrozumieć to jako "pięć" (oczywiście nie dosłownie.
                                                    Aksjomaty, z których chciałem skorzystać, pozwalają ustalić czym są (a
                                                    dokładnie, jakie własności mają) takie obiekty, jak liczby naturalne, zbiory
                                                    liczb, uporządkowane pary liczb, zbiory takich par i ich podzbiory, nieskończone
                                                    ciągi elementów zbioru, zbiory takich ciągów, oraz pewne zbiory zbiorów. Bez
                                                    takich ustaleń dalsza rozmowa może przypominać dyskusję ślepych o kolorach, ale
                                                    cóż, jeśli chcesz ...

                                                    Właściwie wszystko, co napiszę teraz, znalazłbyś bez trudu w tekstach, do
                                                    których podałem linki (jeśli na słowo "aksjomat" reagujesz alergicznie, możesz
                                                    pominąć dwa pierwsze). Nie mam czasu na bardzo szczegółowe wywody (a nie chce
                                                    mi się przeklejać tu większych kawałków tekstów z wiki), więc będę bardzo skrótowy.

                                                    Liczba całkowita to tak naprawdę "różnica dwóch liczb naturalnych", a
                                                    "formalnie" robi się to mniej więcej tak: liczbą całkowitą nazywamy parę (m,n)
                                                    liczb naturalnych, przy czym dwie pary (m,n) i (m',n') wyznaczają tę samą liczbę
                                                    całkowitą, jeśli m+n'=m'+n (a więc jeśli m-n=m'-n', ale wolę pierwszy zapis, bo
                                                    pokazuje, że definicja liczb całkowitych nie wymaga odejmowania). Liczby
                                                    reprezentowane przez pary (m,0) nazywamy nieujemnymi, a postaci (0,n)
                                                    niedodatnimi. Na przykład -2=(2,0)=(3,1)= ... = (m+2,m)= ...

                                                    Bez zera można się też obejść, można liczby naturalne zacząć od jedynki, wtedy
                                                    zerem będzie każda para (m,m) (a więc zero, wbrew temu, co się wydaje Kaganowi,
                                                    istnieje i ma sens).

                                                    Liczby wymierne, to pary liczb całkowitych (a więc formalnie rzecz biorąc, pary
                                                    klas par) o niezerowym drugim członie, przy czym pary (a,b) i (a',b') wyznaczają
                                                    tę samą liczbę wymierną, jeśli a*b'=a'*b (innymi słowy, jeśli a/b = a'/b').

                                                    Liczby rzeczywiste są wyznaczone przez ciągi liczb wymiernych o odpowiednich
                                                    własnościach (tak zwane ciągi fundamentalne,albo ciągi Cauchy'ego), a idea jest
                                                    taka, że liczbę rzeczywistą utożsamiamy z jej wszystkimi ciągami przybliżeń
                                                    wymiernych, na przykład liczba Pi będzie reprezentowana przez ciąg nieskończony
                                                    (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... ). Jest inna metoda, w niej liczbą
                                                    rzeczywistą jest tak zwany przekrój Dedekinda, a więc pewien zbiór liczb
                                                    wymiernych, np. (intuicyjnie) Pi = zbiór wszystkich liczb wymiernych mniejszych
                                                    od Pi.

                                                    Liczby zespolone są parami liczb rzeczywistych (już w ścisłym sensie, jedna para
                                                    = jedna liczba), ale można i inaczej, można zamiast par wziąć odpowiednie macierze.
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 18.09.08, 03:24
                                                    winoman napisał:
                                                    > Jeśli mam zacząć od czegoś, to na czymś muszę się oprzeć, inaczej > gdy ja napiszę "siedem", Ty możesz zrozumieć to jako
                                                    > "pięć" (oczywiście nie dosłownie). Aksjomaty, z których chciałem
                                                    > skorzystać, pozwalają ustalić czym są (a dokładnie, jakie
                                                    > własności mają) takie obiekty, jak liczby naturalne, zbiory
                                                    > liczb, uporządkowane pary liczb, zbiory takich par i ich
                                                    > podzbiory, nieskończone ciągi elementów zbioru, zbiory takich
                                                    > ciągów, oraz pewne zbiory zbiorów. Bez takich ustaleń dalsza
                                                    > rozmowa może przypominać dyskusję ślepych o kolorach, ale cóż,
                                                    > jeśli chcesz ...

                                                    Teraz to jest "inna rozmowa". Mnie się udało uratować przed pomieszaniem zmysłów, które byłoby pewnym skutkiem kontaktu z takim nagromadzeniem tajemnych hieroglifów, a Tobie (dzięki brakowi czasu) sformułować wyjaśnienia "jadalne" dla publiki (w tym i mnie).
                                                    Zniknęła mi z pola widzenia chmara wrażych stworów-aksjomatów, ale czuję, że cwańsza część tych kreatur jeszcze się tu gdzieś ukrywa.

                                                    Przyjmijmy jednak, dla uproszczenia sprawy, że przedstawione rozumowanie jest całkowicie indukcyjne za wyjątkiem wspomnianych "aksjomatów początkowych". Czy jako matematyk nie wolałbyś działać w środowisku, w którym i ich by nie było jako arbitralnych nakazów zachowania, a zamiast tego odpowiadające im reguły można by wyprowadzać "z niczego" (to oczywiście metafora empirii, której nie ma zwyczaju kwestionować)? A jakby Kagan przyszedł i znów oświadczył "nie ma zera", to byś mu w odpowiedzi pokazał tegoż zera "akt urodzenia". I on by musiał przełknąć tą gorzką pigułkę, bo choć bywa trochę narwany, to nie będzie dyskutował z empirią. Z nią się nie da dyskutować - jest "jaka jest".
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 18.09.08, 20:45

                                                    > Teraz to jest "inna rozmowa". Mnie się udało uratować przed
                                                    > pomieszaniem zmysłów, które byłoby pewnym skutkiem kontaktu z
                                                    > takim nagromadzeniem tajemnych hieroglifów, a Tobie (dzięki
                                                    > brakowi czasu) sformułować wyjaśnienia "jadalne" dla publiki (w
                                                    > tym i mnie).
                                                    > Zniknęła mi z pola widzenia chmara wrażych stworów-aksjomatów, ale
                                                    > czuję, że cwańsza część tych kreatur jeszcze się tu gdzieś ukrywa.

                                                    Gdybyś jednak zechciał się z nimi bliżej poznać, stwierdziłbyś, że nic bardziej
                                                    naturalnego i oczywistego ludzkość dotąd nie wymyśliła.

                                                    > Czy jako matematyk nie wolałbyś działać
                                                    > w środowisku, w którym i ich [aksjomatów] by nie było jako
                                                    > arbitralnych nakazów
                                                    > zachowania, a zamiast tego odpowiadające im reguły można
                                                    > by wyprowadzać "z niczego" (to oczywiście metafora empirii, której
                                                    > nie ma zwyczaju kwestionować)?

                                                    Nie traktuję aksjomatów jako "arbitralnych nakazów zachowania", te z którymi
                                                    zetknąłem się jako matematyk, z empirii właśnie się brały. Cała historia
                                                    matematyki pokazuje jednak dobrze, jakie niebezpieczeństwa czyhają na zbyt
                                                    swobodny umysł, pozbawiony rygorów teorii aksjomatycznej.

                                                    > byś mu w odpowiedzi pokazał tegoż zera "akt urodzenia". I on by
                                                    > musiał przełknąć tą gorzką pigułkę, bo choć bywa trochę narwany,
                                                    > to nie będzie dyskutował z empirią.

                                                    Tego nie jestem pewien, w końcu to on wychwalał gospodarczy geniusz Gierka ...
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 18.09.08, 23:04
                                                    winoman napisał:
                                                    > Nie traktuję aksjomatów jako "arbitralnych nakazów zachowania", te
                                                    > z którymi zetknąłem się jako matematyk, z empirii właśnie się
                                                    > brały.

                                                    Toś mnie zaciekawił! Możesz podać jakieś proste (jak najprostsze) przykłady?

                                                    > Cała historia matematyki pokazuje jednak dobrze, jakie
                                                    > niebezpieczeństwa czyhają na zbyt swobodny umysł, pozbawiony
                                                    > rygorów teorii aksjomatycznej.

                                                    I myślisz, że te "niebezpieczeństwa" i "swoboda" są pochodnymi empirii?

                                                    Wychwalanie geniuszy to ryzykowne zajęcie ... zwłaszcza tych politycznych i gospodarczych. Dużo też zależy od tego co uznaje sie za sukces, a co za klęskę. Gdybyśmy tak zignorowali różne ideologiczne wartościowania i np. spróbowali oceny z punktu widzenia demograficznego, to czas Gierka był jednym z najlepszych. A twórców naszego obecnego ustrojstwa powinniśmy skrócić o głowy, zanim zdąża jeszcze coś "ciekawego" wymyśleć. Nic nie jest proste i jednoznaczne (a statystyka jest pierwszą z nauk politycznych - tak ponoć mawiał W.I.Lenin) ... może za wyjątkiem aksjomatów.
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 19.09.08, 01:03
                                                    > > Nie traktuję aksjomatów jako "arbitralnych nakazów zachowania", te
                                                    > > z którymi zetknąłem się jako matematyk, z empirii właśnie się
                                                    > > brały.
                                                    >
                                                    > Toś mnie zaciekawił! Możesz podać jakieś proste (jak najprostsze) przykłady?

                                                    Przecież cała geometria Euklidesowa na empirii jest oparta, teoria liczb
                                                    naturalnych zresztą też.

                                                    Aksjomatyka liczb naturalnych jest szczególnie prosta, streścić można ją tak:

                                                    - 1 jest liczbą naturalną,
                                                    - każda liczba naturalna ma dokładnie jedną liczbę następną (intuicyjnie, po n
                                                    następuje n+1),
                                                    - każda liczba naturalna różna od 1 jest następnikiem dokładnie jednej liczby
                                                    naturalnej,
                                                    - jeśli zbiór zawiera liczbę 1 i wraz z każdą liczbą naturalną zawiera liczbę
                                                    następną, to zawiera wszystkie liczby naturalne (zasada indukcji).

                                                    To wszystko. Przecież każde z tych stwierdzeń ma źródło w empirii, w
                                                    codziennych doświadczeniach z liczeniem. I matematyka nie potrzebuje niczego
                                                    więcej, poza liczbami naturalnymi i zbiorami, których aksjomatyka też jest
                                                    naturalna, "empirycznie uzasadniona", choć trochę bardziej skomplikowana.

                                                    > > Cała historia matematyki pokazuje jednak dobrze, jakie
                                                    > > niebezpieczeństwa czyhają na zbyt swobodny umysł, pozbawiony
                                                    > > rygorów teorii aksjomatycznej.
                                                    >
                                                    > I myślisz, że te "niebezpieczeństwa" i "swoboda" są pochodnymi empirii?

                                                    Tak, w sensie "robiłem tak setki razy i nic się nie stało, więc jestem
                                                    bezpieczny". Różne paradoksy, będące konsekwencją braku krytycznej refleksji
                                                    nad podstawami matematyki, pojawiły się po kilkuset latach jej burzliwego i
                                                    niczym nie zmąconego rozwoju, po okresie naprawdę wielkich triumfów w XIX wieku.
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 19.09.08, 15:17
                                                    Teraz rozumiem, ale to jest empiryzm w wersji "lekkiej", Jesteśmy blisko empirii, czuć jej silny "zapach", ale jeszcze jej w pełni nie doświadczamy. To jest, jak sam zauważyłeś, "oparcie na", ale jego sposób jest niejawny. Czujemy, że to "oparcie" jest, ale czy potrafisz je jakoś opisać odwołując się do czegoś konkretniejszego niż fakt istnienia pewnych intuicji.
                                                    Na przykład, z czego wynika, że 1 jest liczbą naturalną? Czy istnieje <liczba> (bezprzymiotnikowa)? Dlaczego liczby naturalne mają się różnić o <1> (to intuicyjne n+1)?

                                                    A mówiąc ogólniej: dlaczego matematyka ma być zbudowana (a to wielkie gmaszysko) na garści intuicji? Przecież dokładność intuicji jest poza naszą kontrolą.
                                                  • petrucchio Re: Brak wyobrazni u matematykow 19.09.08, 17:00
                                                    europitek napisał:

                                                    > Na przykład, z czego wynika, że 1 jest liczbą naturalną? Czy
                                                    > istnieje <liczba> (bezprzymiotnikowa)? Dlaczego liczby naturalne
                                                    > mają się różnić o <1> (to intuicyjne n+1)?

                                                    Mogę się wtrącić jako lingwista? Jeśli z badania najprostszych systemów
                                                    liczebników i z eksperymentów przeprowadzanych na użytkownikach języków ludów
                                                    "prymitywnych" coś wynika, to jest to przypuszczenie, że po przodkach
                                                    odziedziczyliśmy następujące zdolności wrodzone:

                                                    (a) Rozróżnienie trzech nieostrych pojęć kwantyfikujących, które można by
                                                    określić jako "mało", "trochę" i "dużo".

                                                    (b) Zdolność do szybkiego bezpośredniego porównywania liczebności niewielkich
                                                    zbiorów, np. pięciu kamieni i palców jednej ręki. Porównywanie takie działa
                                                    uniwersalnie mniej więcej w zakresie 1-3; dla większych zbiorów zdolność
                                                    tworzenia klas równoważności zależy od indywidualnych uzdolnień oraz treningu
                                                    kulturowego i szybko maleje ze wzrostem liczby elementów.

                                                    Pod względem (a) i (b) nie różnimy się zbytnio jako gatunek od wielu ssaków i
                                                    ptaków. To "organiczne" liczenie (a właściwie ocena liczby/ilości) wydaje się
                                                    naturalną konsekwencją faktu, że układ nerwowy posługuje się raczej rozmytą
                                                    logiką sieci neuronowych niż sztywnymi aksjomatami i regułami wnioskowania.


                                                    W rozwoju sposobów liczenia widać tendencję do konkretyzacji pojęć z punktu (a),
                                                    tak że system "mało, trochę, dużo" ewoluuje w kierunku "jeden, dwa, więcej niż
                                                    dwa". Reliktem tego stanu rzeczy jest częste występowanie we fleksji różnych
                                                    grup języków kontrastu między liczbą pojedynczą, podwójną i mnogą.

                                                    Liczebniki powyżej 2 musiały się konkretyzować stopniowo, w miarę jak nauczono
                                                    się nadawać językowe etykietki kolejnym klasom równoważności: 3, 4, 5, np.
                                                    wykorzystując nazwy palców ręki. Kolejny przełom to odkrycie dodawania, a zatem
                                                    także możliwości addytywnego definiowania liczebników (np. 4=2+2), najpierw w
                                                    niewielkim zakresie, potem coraz śmielej, w miarę jak oswojono się z "wielkimi
                                                    liczbami". Stąd już bliżej do wykorzystania podstawy liczbowej (zwykle piątkowej
                                                    lub dziesiętnej) do definiowania liczebników w sposób już całkiem abstrakcyjny,
                                                    np. 6 = 5+1, 7=5+2, ... 10=5+5=2*5 (hej! wynaleźliśmy mnożenie!), 11=2*5+1, I
                                                    TAK DALEJ (dopóki się nie pogubimy). Wydaje mi się natomiast, że intuicje
                                                    następnika, zera itp., choć elementarne z punktu widzenia systemów
                                                    aksjomatycznych, są historycznie dość młode. Ludzie dość późno zdali sobie
                                                    sprawę, że liczyć można bez ograniczenia, o ile tylko się wie, jak rozszerzać
                                                    system w konsekwentny sposób. Do dziś pamiętam wstrząs intelektualny, jaki
                                                    przeżyłem jeszcze w przedszkolu, kiedy dotarło do mnie, że n+1 to ZAWSZE więcej
                                                    niż n, i że wynika stąd, że nie może istnieć największa liczba (mój tata,
                                                    nauczyciel matematyki, przedstawił mi dowód nie wprost tego nadzwyczajnego faktu).

                                                    > A mówiąc ogólniej: dlaczego matematyka ma być zbudowana (a to
                                                    > wielkie gmaszysko) na garści intuicji? Przecież dokładność
                                                    > intuicji jest poza naszą kontrolą.

                                                    Ja widzę liczby naturalne jako coś w rodzaju "twardych" atraktorów, do których w
                                                    sposób nieunikniony dążą "miękkie" procesy opisane powyżej.
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 19.09.08, 21:29
                                                    Właśnie próbowałem "turlać się " powolutku w zbliżonym kierunku, bo bałem się zrazić Winomana. Poziom, który zaproponował jako empiryczny jest rzeczywiście niedaleko od empirii, ale to jednak nie to samo ("prawie robi różnicę"). Dla osób przyzwyczajonych do ciągłego obracania się wśród wielopiętrowych abstrakcji to rzeczywisćie może wyglądać, jak "dno". Ale nim nie jest.

                                                    Z drugiej strony na to patrząc, to empiria nie musi być "płaska", jednopoziomowa, lecz może zawierać w sobie pewną liczbą poziomów ogólności, np. aż do momentu, gdy przestajemy operować na obiektach mentalnych mających swoje desygnaty rzeczywiste. A i tu pewnie można się spierać, bo taka granica nie musi być ostra jak żyletka, ale może generować wokół siebie jakiś "pas ziemi niczyjej", na którym jest trochę abstrakcji i trochę konkretności.
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 22.09.08, 14:01
                                                    Nie bardzo mam czas i siły na kontynuowanie tej rozmowy, jej temat skręca w
                                                    stronę daleką od moich obecnych zainteresowań (zawodowym matematykiem byłem
                                                    przez ponad 20 lat, ale to już przeszłość), ale te pytania poniżej są na tyle
                                                    ciekawe, że kilka słów poświęcę na komentarz.

                                                    > Na przykład, z czego wynika, że 1 jest liczbą naturalną? Czy istnieje <licz
                                                    > ba> (bezprzymiotnikowa)? Dlaczego liczby naturalne mają się różnić o <1
                                                    > > (to intuicyjne n+1)?

                                                    Liczby naturalne służą do liczenia, wzięły się zapewne (choć tu petrucchio
                                                    pewnie jest bardziej kompetentny) z wyabstrahowania pojęcia równoliczności.
                                                    Dlatego też i 1 jako liczba naturalna i fakt różnienia się "kolejnych" liczb
                                                    naturalnych o 1 są raczej oczywiste. Pytanie o liczbę bezprzymiotnikową jest
                                                    ciekawsze. W myśl dzisiejszej matematyki nie ma czegoś takiego. Obiekty
                                                    matematyczne określa się przez podanie ich własności, a własności liczby zależą
                                                    od tego, w jakom kontekście tę liczbę rozpatrujemy, jakiego zbioru elementem
                                                    jest ta liczba (zbioru liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, zespolonych,
                                                    a może liczb "modulo n"). To samo 1 ma w każdym z tych zbiorów zupełnie różne
                                                    własności. Matematyka jest bardziej nauką o relacjach między obiektami, a nie o
                                                    samych obiektach.

                                                    > A mówiąc ogólniej: dlaczego matematyka ma być zbudowana (a to wielkie gmaszysko
                                                    > ) na garści intuicji? Przecież dokładność intuicji jest poza naszą kontrolą.

                                                    Tyle, że są to intuicje weryfikowane od tysięcy lat i leżące u samych podstaw
                                                    naszego widzenia i opisu świata fizycznego.

                                                    Pozdrawiam!
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 22.09.08, 17:58
                                                    winoman napisał:
                                                    > Nie bardzo mam czas i siły na kontynuowanie tej rozmowy

                                                    Wielka szkoda, ponieważ różna wątpliwości pozostaną. Na przykład:

                                                    > Pytanie o liczbę bezprzymiotnikową jest ciekawsze. W myśl
                                                    > dzisiejszej matematyki nie ma czegoś takiego.

                                                    Brak liczb bezprzymiotnikowych oznacza, że wszystkie uznane w matematyce rodzaje liczb przymiotnikowych nie mają żadnych cech wspólnych, na podstawie których można by utworzyć jedną kategorię obejmującą je wszystkie. Jeśli tak, to pierwszy człon ich nazw jest bez sensu (nie ma żadnej konkretnej treści).

                                                    Nie uda się nam też wyjaśnić, dlaczego stwierdzenie:
                                                    > Matematyka jest bardziej nauką o relacjach między obiektami, a nie
                                                    > o samych obiektach.

                                                    jest częściowo błędne.

                                                    Szkoda, ale jakoś to przeżyję.
                                                  • petrucchio Re: Brak wyobrazni u matematykow 22.09.08, 18:43
                                                    europitek napisał:


                                                    > Brak liczb bezprzymiotnikowych oznacza, że wszystkie uznane w
                                                    > matematyce rodzaje liczb przymiotnikowych nie mają żadnych cech
                                                    > wspólnych, na podstawie których można by utworzyć jedną kategorię
                                                    > obejmującą je wszystkie. Jeśli tak, to pierwszy człon ich nazw
                                                    > jest bez sensu (nie ma żadnej konkretnej treści).

                                                    Przesada. Z logicznego punktu widzenia mamy prototyp (liczby naturalne i
                                                    elementarne działania, które można na nich wykonywać), po czym dokonujemy
                                                    kolejnych rozszerzających uogólnień (zarówno liczb, jak i działań), z których
                                                    każde następne zawiera poprzednie. Z punktu widzenia ewolucji memetycznej,
                                                    wszystkie liczby "pochodzą" od niewielkich liczb naturalnych (bez zera), które
                                                    odkryto najwcześniej. Zatem pojęcie liczby ma sens choćby ewolucyjno/rozwojowy
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 23.09.08, 00:34
                                                    petrucchio napisał:
                                                    > Przesada.

                                                    Oczywiście. I wyjaśniłeś dlaczego tak nie jest - nie można wykonać uogólnień informacji całkowicie różnych. Zatem wszystkie liczby przymiotnikowe muszą mieć pewne wspólne cechy, a uogólnienie opisujące tylko te cechy wspólne można nazwać <liczbą> (bezprzymiotnikową).
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 23.09.08, 02:04
                                                    > Oczywiście. I wyjaśniłeś dlaczego tak nie jest - nie można wykonać
                                                    > uogólnień informacji całkowicie różnych. Zatem wszystkie liczby
                                                    > przymiotnikowe muszą mieć pewne wspólne cechy, a uogólnienie
                                                    > opisujące tylko te cechy wspólne można nazwać <liczbą>
                                                    > (bezprzymiotnikową).

                                                    Wypowiadasz pewne sądy kategoryczne, ale mam wrażenie, że nie do końca wiesz, o
                                                    czym mówisz. Liczby w matematyce (i nie tylko w matematyce) do czegoś służą.
                                                    Początkowo zapewne służyły do liczenia, a dokładniej do zliczania różnych
                                                    obiektów, to pierwotna funkcja liczb naturalnych, później uogólnionych do liczb
                                                    kardynalnych (niektórzy rozszerzają to do liczb porządkowych, ale moim zdaniem
                                                    to już jest nieco naciągane). Innym zastosowaniem liczb jest mierzenie, tu po
                                                    raz pierwszy pojawiły się liczby niewymierne (Pitagoras), by w końcu doprowadzić
                                                    do powstania pojęcia liczby rzeczywistej. Inny obszar, w którym pojawiały się
                                                    nowe pojęcia liczb jest rozwiązywanie równań, z liczbami algebraicznymi i
                                                    zespolonymi, ale też liczbami p-adycznymi i liczbami modularnymi (liczby "modulo
                                                    n"). Pod wieloma względami te bardzo naturalne kierunki rozwoju, czy też
                                                    ewolucji, pojęcia liczby, są do siebie ortogonalne i nie potrafię sobie
                                                    wyobrazić sensownego pojęcia <liczby>, które by je wszystkie obejmowało, a nie
                                                    włączałoby do świata liczb obiektów w oczywisty sposób nie będących liczbami.
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 23.09.08, 17:22
                                                    winoman napisał:
                                                    > Wypowiadasz pewne sądy kategoryczne, ale mam wrażenie, że nie do
                                                    > końca wiesz, o czym mówisz.

                                                    Więc spróbujmy to ustalić. Zamiast kategorycznych sądów postawię pytanie.
                                                    Czy znasz taki rodzaj liczb, które nie mają nic wspólnego ze wszystkimi innymi rodzajami liczb? To znaczy, że nie posiadają one żadnych cech wspólnych z jakimkolwiek innym rodzajem liczb lub ewentualnie istnieje jakaś rodzina rodzajów liczb, która nie ma żadnych cech wspólnych ze wszystkimi rodzajami do niej _nie_należącymi.

                                                    Chcę też zwrócić uwagęn a fakt, że aktualny brak zunifikowanego pojęcia <liczby> nie musi oznaczać teoretycznej niemożności jego sformułowania, lecz jedynie jest określonym bieżącym stanem naszej wiedzy. Stanem niekoniecznie niezmiennym.
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 23.09.08, 21:37

                                                    > Chcę też zwrócić uwagę na fakt, że aktualny brak zunifikowanego
                                                    > pojęcia <liczby> nie musi oznaczać teoretycznej niemożności jego
                                                    > sformułowania, lecz jedynie jest określonym bieżącym stanem naszej
                                                    > wiedzy. Stanem niekoniecznie niezmiennym.

                                                    Jest zupełnie inaczej. Pojęcie liczby ma po prostu charakter umowny, ten sam
                                                    obiekt raz jest nazywany liczbą, innym razem może być czymś zupełnie innym.
                                                    Może bardziej charakterystycznym przykładem jest pojęcie punktu. Czasem
                                                    wygodnie jest całkiem skomplikowane obiekty geometryczne (na przykład krzywe)
                                                    traktować jako punkty w zupełnie innej przestrzeni, jeśli interesuje nas nie
                                                    krzywa jako taka, a jej specyficzne miejsce w pewnym zbiorze krzywych, który w
                                                    jakiś naturalny sposób ma charakter geometryczny i poprzez geometrię można go
                                                    badać (taki zbiór krzywych określonego rodzaju jest zwykle - nieco to upraszczam
                                                    - nazywany przestrzenią moduli krzywych). Najprostszym przykładem będzie tu
                                                    przestrzeń rzutowa, w której punktami są proste w innej przestrzeni. Podobnych
                                                    przykładów są w matematyce setki.

                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 23.09.08, 22:48
                                                    Rozumiem, że próbujesz uniknąć udzielenia jednoznacznej odpwoeidzi na postawione pytanie. Ze względu na dziedziczną upierdliwość (fakt empiryczny) powtórzę je w innej formie.
                                                    Czy mógłbyś potraktować te krzywe jako punkty w zupełnie innej przestrzeni, gdyby te obie przestrzenie nie miały żadnych cech wspólnych, a krzywe i punkty też nie miałyby takich wspólnych cech?
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 23.09.08, 23:18
                                                    europitek napisał:

                                                    > Rozumiem, że próbujesz uniknąć udzielenia jednoznacznej odpowiedzi
                                                    > na postawione pytanie. Ze względu na dziedziczną upierdliwość
                                                    > (fakt empiryczny) powtórzę je w innej formie.
                                                    > Czy mógłbyś potraktować te krzywe jako punkty w zupełnie innej
                                                    > przestrzeni, gdyby te obie przestrzenie nie miały żadnych cech
                                                    > wspólnych, a krzywe i punkty też nie miałyby takich wspólnych cech?

                                                    Są pytania, na które nie można dać jednoznacznej odpowiedzi.

                                                    Punkt jako taki nie ma żadnych cech, nabiera ich dopiero jako element jakiegoś
                                                    zbioru, jakiejś struktury, próbuję to tłumaczyć od początku. Natomiast krzywe w
                                                    jednej przestrzeni i złożona z nich inna przestrzeń mają pewne cechy wspólne,
                                                    niosą podobne struktury. W tym przykładzie, należącym do działu matematyki
                                                    nazywanym geometrią algebraiczną, i te krzywe i złożona z nich (jako punktów)
                                                    przestrzeń są tak zwanymi rozmaitościami algebraicznymi. Podobnie jest w
                                                    topologii, gdzie podzbiory w pewnej przestrzeni topologicznej mogą być punktami
                                                    w innej przestrzeni (tak zwanej przestrzeni ilorazowej). Punktami bywają
                                                    funkcje (na przykład w analizie funkcjonalnej), punktami mogą być nawet zbiory
                                                    funkcji (teoria algebr Banacha, albo podobnie zbudowana teoria schematów
                                                    Grothendiecka). Ba, w tak zwanej geometrii nieprzemiennej istnieją przestrzenie
                                                    bez punktów, a w teorii grup kwantowych grupy bez elementów, a więc swego
                                                    rodzaju struktury liczbowe bez liczb.
                                                  • europitek Re: Brak wyobrazni u matematykow 24.09.08, 01:23
                                                    >> Czy mógłbyś potraktować te krzywe jako punkty w zupełnie innej
                                                    >> przestrzeni, gdyby te obie przestrzenie nie miały żadnych cech
                                                    >> wspólnych, a krzywe i punkty też nie miałyby takich wspólnych
                                                    >> cech?

                                                    > Punkt jako taki nie ma żadnych cech, nabiera ich dopiero jako
                                                    > element jakiegoś zbioru, jakiejś struktury, próbuję to tłumaczyć
                                                    > od początku.

                                                    Czy ta wspomniana <przestrzeń> jest jakimś zbiorem lub strukturą?
                                                    Jeśli tak, to Twój argument o "punkcie jako takim" odpada (napisałem "punkty w zupełnie innej przestrzeni").
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 24.09.08, 11:43
                                                    > > Punkt jako taki nie ma żadnych cech, nabiera ich dopiero jako
                                                    > > element jakiegoś zbioru, jakiejś struktury, próbuję to tłumaczyć
                                                    > > od początku.
                                                    >
                                                    > Czy ta wspomniana <przestrzeń> jest jakimś zbiorem lub strukturą?
                                                    > Jeśli tak, to Twój argument o "punkcie jako takim" odpada
                                                    > (napisałem "punkty w zupełnie innej przestrzeni").

                                                    Czyli przyjmujesz mój punkt widzenia? Tak jak punkt "jako taki" nie ma sensu,
                                                    tak też "liczba jako taka", czy też "liczba bezprzymiotnikowa".

                                                    Jeśli nawet przyjmiemy, że "liczbą" będziemy nazywali każdy obiekt matematyczny
                                                    podlegający jakimś działaniom "dodawania i mnożenia", to jestem w stanie z
                                                    każdego obiektu matematycznego zrobić w ten sposób liczbę (dla zorientowanych:
                                                    najpierw tworzymy wolną półgrupę generowaną przez ten obiekt, a potem jej
                                                    pierścień półgrupowy).

                                                    Swoją drogą tytuł tego podwątku, "Brak wyobraźni u matematyków", jest chyba nie
                                                    na miejscu :-)))
                                                  • kuba-prlowski Re: Brak wyobrazni u matematykow 24.09.08, 14:13
                                                    1. Jesli punkt 'jako taki' nie ma żadnych cech, to czemu sie o nim
                                                    mowi jak o czyms co realnie istnieje, i to w olbrzymiej ilosci
                                                    egzemplarzy?
                                                    2. Matematycy nie maja wyobrazni, stad ta ich obsesja z tworzeniem
                                                    sztucznych a nadmiernie uproszczonych dedukcyjnych systemow. Po
                                                    prostu uciekaja oni przed rzeczywisticia, ktora ich przygniata swa
                                                    zlozonoscia...
                                                  • winoman Re: Brak wyobrazni u matematykow 24.09.08, 17:52
                                                    europitek napisał:

                                                    > Zbytnio się śpieszysz w wyprowadzaniem wniosków. Najpierw
                                                    > odpowiedz wprost na moje pytanie, a potem zobaczymy, co będzie
                                                    > dalej.

                                                    Nie cytujesz ani kawałka tekstu, na który odpowiadasz, więc muszę zgadywać, a
                                                    zgaduję, że to do mnie. Oczywiście, że przestrzeń jest zbiorem, ale nie tylko
                                                    "gołym zbiorem", jest zbiorem opatrzonym pewną strukturą. Tak samo, jak zbiór
                                                    liczb naturalnych, zbiór liczb rzeczywistych itp. To właśnie ta struktura
                                                    nadaje im sens, a w ślad za tym ich elementom też.

                                                    Pozdrawiam!