Jak to jest z tymu pochodnymi?

[zomo-prl]

Przeciez to jest de facto DZIELENIE PRZEZ ZERO!
Zero ukryte za roznymi limesami, ale wciaz obecne.
Popatrzcie zreszta raz jeszcze na definicje pochodnej, np. na:
pl.wikipedia.org/wiki/Pochodna_funkcji
F'(X) = lim(es) gdy X->0 od ((F(X) - F(Xo))/(X - Xo))
ale gdy owo X osiagnie wreszcie zero albo bedzie tak blisko zera, ze
praktycznie bedzie zerem (szybciej nasz Kosmos przestanie istniec,
zanim obliczymy te roznice miedzy X a Xo, gdyz maja one tak duzo
ZNACZACYCH cyfr), to wtedy X = Xo, a wiec X - Xo = 0 ergo bedziemy
dzielic przez ZERO!

Praktycznie to nie to samo co faktycznie. nt

[mwookash]

[zomo-prl]

Liczy sie to, co praktycznie zachodzi, a wiec faktycznie istnieje.
Innymi slowy ontologczna metageneza nie oznacza genezy w sensie
epistomologicznym.
Pozdr.

Praktycznie masz rację :-) nt

[mwookash]

[zomo-prl]

;)

[losiu4]

no dobra. Weźmy porzykład F(x)=5x

niech Xo będzie 5. Liczymy pochodną wg Twojego wzoru:

F(0)- F(5)= -25
0-5= -5

nie widzę dzielenia przez 0 :) no dobra, złośliwy jestem, ale
podawaj wzory dokładniej :) Nb. czas liczenia róznic na którymś tam
miejscu po przecinku nie ma tu nic do rzeczy :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-prl]

"Moj" wzor to: F'(X) = lim(es) gdy X->0 od ((F(X) - F(Xo))/(X - Xo))
Twoj zas to F'(X) = ((F(X) - F(Xo))/(X - Xo))
Nie widzisz zadnej roznicy?
Takze: F'(ax) = a, skad F'(5x)=5, ale tak mozna liczyc tylko dla
funkcji liniowych... A diabel czyli zero czycha w fukcjach
NIEliniowych!
Przysiady! ;)

[losiu4]

to se napisz lim(es). Wyjdzie na to samo. Naprawde, jak się nawet z
wikipedii nie potrafi zerżnąć...

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-prl]

To samo wychodzi tylko wprzypadku funkcji liniowych (y=ax+b).
Przepisalem nie z Wikipedii a z okladki "Szkolnych tablic
matematycznych" (Warszawa: Agencja Wydawnicza MZ, 2006)

[losiu4]

zomo-prl napisała:

> To samo wychodzi tylko wprzypadku funkcji liniowych (y=ax+b).
> Przepisalem nie z Wikipedii a z okladki "Szkolnych tablic
> matematycznych" (Warszawa: Agencja Wydawnicza MZ, 2006)

albo źle przepisałaś, albo jakieś głupoty tam powypisywali.
Weźmy funkcję X^2, czyli nieliniową, i Xo=5.

Liczymy iloraz wg Twojego wzoru:
F(X) - F(Xo)= 0 - 25 = -25
X-Xo= 0-5= -5

żebyś nie wiem ile tam lim(esów) wypisała NIGDY w tym przypadku (i
wielu innych) _nie będzie_ dzielenia przez 0, a i pochodna jakaś
nietentego. Proponuję raz jeszcze zajrzec do swoich źródeł i albo
przytoczyć wzór poprawnie, albo poprawić to co napisałaś, albo
wywalić te tablice do kosza :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-prl]

Znow pomijasz te magiczne slowko LIMES...

[losiu4]

jak już powiedziałem, takich słówek możesz pisać i 50, ale to "pod
kreską" będzie dość odległe od zera i będzie wynosiło -5. Żebyś nie
wiem jakimi czarymarami to obkładała, zerem nie będzie w tym
przypadku nigdy :) Raz jeszcze: zobacz dokładnie co tam pisze w tych
tablicach czy na wiki :) tak z dobroci serca radzę :)

Pozdrawiam

Losiu

przepraszam,...

[losiu4]

będzie dążyło do -5 :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-prl]

Jesli X->Xo, to znaczy ze X-Xo->0. Kapujesz?

[losiu4]

zomo-prl napisała:

> Jesli X->Xo, to znaczy ze X-Xo->0. Kapujesz?

no, widze że zaczynasz łapac o co lata, cieszę sie :) A teraz, jak
Cie proszę, popraw podany przez siebie wzór :) I możemy zacząć
dyskusję :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-prl]

Wzor to nie ja wymyslilem a Newton i Leibniz (z pozniejszymi ale
raaczej drobnymi zmianami).

[losiu4]

zomo-prl napisała:

> Wzor to nie ja wymyslilem a Newton i Leibniz (z pozniejszymi ale
> raaczej drobnymi zmianami).

czyli rozumiem że nie poprawisz? :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

Poprawie jak sie Newton z Leibnizem poprawia...

[losiu4]

e, uparty/a jesteś. Rzuć jeszcze raz okiem na to, co na wstępie
napisałe/aś.

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

;)

[zomo-ormo]

A na serio. We wstepie napisalem bylem:
F'(X) = lim(es) gdy X->0 od ((F(X) - F(Xo))/(X - Xo))

[losiu4]

zomo-ormo napisała:

> A na serio. We wstepie napisalem bylem:
> F'(X) = lim(es) gdy X->0 od ((F(X) - F(Xo))/(X - Xo))

no właśnie :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

No i co? Wyraznie tu widac dzielenie przez zero!

[losiu4]

zomo-ormo napisała:

> No i co? Wyraznie tu widac dzielenie przez zero!

ależ skąd: powtórka z rozrywki: Xo=5, F(X)=X^2

wstawże raz jeszcze to do swojego wzoru w którym X->0 i pokaż mi to
dzielenie przez 0.

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

Nieza;leznie jaka to funkcja, to zawsze masz tam X dazace do X0!

[losiu4]

zomo-ormo napisała:

> Nieza;leznie jaka to funkcja, to zawsze masz tam X dazace do X0!

no to przyjrzyj się z łaski swojej co napisała/eś we wzorze. Do
czego tam X dąży?.

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

Do Xo czyli "Iks zero".
Pozdr.

[losiu4]

no wreszcie, więc popraw pierwszy wpis, a potem uczciwie policz
granicę, czyli owego mitycznego lim(esa). Zapewniam Cie, że w
punkcie X0=5 pochodna funkcji X^2 wyniesie 10 :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

No wiec jak wyglada w/g ciebie def. pochodnej?
Pozdrowka! :)

[losiu4]

prawie tak jak napisała/eś, tyle że nie X->0, a X->Xo. Można
alternatywę zastosowac używając odpowiednio zdefiniowanego i dość
powszechnie używanego h, które to h dąży jak najbardziej do 0 :)
stosując owo h zazwyczaj łatwiej się pochodną z definicji liczy :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

;)

[bonobo44]

nie ma w tym żadnego cudu... pojęcie granicy ciągu (lub jej braku)
jest czymś najzupełniej naturalnym (jak same liczby "naturalne",
czy "rzeczywiste") i jasno zdefiniowanym... a stąd właśnie wynika
definicja pochodnej...

obrazowo mówiąc, pochodną możesz też rozumieć jako środek
zdefiniowania pewnej klasy (klasy C1) funkcji ciągłych
i "wystarczająco" (klasy C1 właśnie) "gładkich"...

czyli... pochodna, to nic innego jak tylko definicja opisująca
(wyróżniająca) pewne szczególne podzbiory obiektów matematycznych...

i raczej nie ma się tu czemu dziwować...
w każdym razie nie bardziej, niż dajmy na to... istnieniu liczb
naturalnych ;-)

[zomo-prl]

Pojecie granicy w sensie uzywanym w matematyce nie jest naturalne.
Naturalna jest tylko granica osiagalna, a nie nieosiagalna. Nie da
sie po prostu udowodnic empirycznie, ze istnieja granice do ktorych
daza jakies ciagi liczbowe, stad pojecie granicy, a wiec tez i
pojecie pochodnej nie sa naukowe. W pochodne mozna oczywiscie
wierzyc, ale wierzyc mozna tez w Jehowe, Jezusa, Trojce Sw., Allacha
czy w Wielkie Mzimu...

A jakie jest naturalne pojęcie granicy???

[mwookash]

Chcesz mi wmówić że jesteś w stanie osiągnąć np. granicę państwową? IMHO możesz
do niej albo dążyć albo ją przekroczyć :)

[zomo-prl]

Moge. Osiagam granice ktora jest wyraznie zaznaczona na mapie i w
terenie. Mowa o prawdziwej granicy, np. polsko-ukrainskej a nie tej
z Szengen, ktora przekraczac mozna czesto nie wiedzac, ze sie ja
przekroczylo...

A potrafisz ją zaznaczyć linią w terenie? nt

[mwookash]

[zomo-prl]

Nie tylko linia, a nawet drutem kolczastym... ;)

To stań tak, żeby być dokładnie na drucie

[mwookash]

i tylko na drucie :)

[zomo-prl]

A czemu nie? ;)

Bo nie jesteś punktem :-) a granica jest linią. nt

[mwookash]

[zomo-prl]

Granica nie jest (na ogol) punktem, a raczej linia...

Polecam wrócić i przeczytać jeszcze raz

[mwookash]

ze zrozumieniem :)

[europitek]

W ramach podnoszenia własnego "zrozumienia" chciałem spytać czy Twoim zdaniem istnieją obiekty makrokosmosu, które nie posiadają wymiarów liniowych?

[zomo-ormo]

To, ze na razie nie znamy obiektow makrokosmosu, które nie posiadają
wymiarów liniowych, nie znaczy, ze ich nie ma...

[europitek]

I nie znaczy, że możemy zakładać ich istnienie. Czegoś trzeba się trzymać, a na razie to można tylko tego, że ich nie zaobserwowaliśmy.

[zomo-ormo]

Otoz to. Nauka mzoe tylko stwierdzic, ze takowych dotychczas nie
zaobserwowano i ew. moze jeszcze cos tam baknac o malym
pradopodobienstwie, ze kiedys je zaobserwujemy i tyle...

[zomo-prl]

wyborcza.pl/1,75478,5673166,Rodzice_wola_religie_od_etyki.html

Jak to jest z naturalnością w matematyce?

[bonobo44]

zomo-prl napisała:

> Pojecie granicy w sensie uzywanym w matematyce nie jest naturalne.

to w takim razie musisz się zgodzić, że także pojecie liczby
naturalnej w sensie uzywanym w matematyce nie jest naturalne
bo no bo najwyższa liczba naturalna nie jest osiagalna

odpowiada to z grubsza prawdzie i oznacza jedynie tyle, że żadne
pojęcie w matematyce nie jest "naturalne" - będąc nienaturalną
abstrakcją (idealizacją w sensie: ideą rzeczy a nie samą rzeczą)

[zomo-prl]

Otoz to! :)

[losiu4]

zomo-prl napisała:

> Otoz to! :)

owszem, ale ta idealizacja jest przydatna i się sprawdza. Czego
różne budowle czy inne rzeczy stworone przez człowieka dowodza :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-prl]

Rzym zbudowano bez calek i rozniczek. Koloseum stoi do dzis...
Widzialem tez ostatnio w Portugalii akwedukty z czasow rzymskich w
lepszym stanie niz budynki wybudowane w Piasecznie przez prywatnych
deweloperow jakies 10 lat temu...

[bonobo44]

zomo-prl napisała:

> Rzym zbudowano bez calek i rozniczek

ale jednocześnie dlatego właśnie niejaki Empedokles miał problemy z
dogonieniem... żółwia...

dlatego też starożytni borykali się z wieloma podobnymi pozornymi
paradoksami, które w nas budzą dziś jedynie politowanie...

[zomo-ormo]

Problemy w starozytnosci mieli, jak dzis, glownie filozofowie...

[losiu4]

zomo-prl napisała:

> Rzym zbudowano bez calek i rozniczek.

kupe innych rzeczy też, np. syn szwagra babkę z piasku parę tygodni
temu postawił, a tabliczki mnożenia jeszcze nie zna :)

> Koloseum stoi do dzis...

a czemu miałoby nie stać?
Gdyby wtedy była lepsza matematyka i lepsze materialy (pośrednio też
dzięki matematyce uzyskane) to owo koloseum może byłoby jeszcze
bardziej imponujące?

> Widzialem tez ostatnio w Portugalii akwedukty z czasow rzymskich w
> lepszym stanie niz budynki wybudowane w Piasecznie przez
> prywatnych deweloperow jakies 10 lat temu...

zgadza sie, ale to nie wina matematyków i inzynierów, a
księgowych :) także z matematyki korzystających :)

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

Jednak to inzynierowie projektowali te budynki.... Inzynierowie co
musieli wykazac sie na studiach znajomoscia calek i rozniczek.

[losiu4]

zomo-ormo napisała:

> Jednak to inzynierowie projektowali te budynki.... Inzynierowie co
> musieli wykazac sie na studiach znajomoscia calek i rozniczek.

chodzi Ci o budowle nowoczesne? Jak najbardziej musieli się wykazac
maksymalnymi oszczędnościami posiłkując się wyższą matematyką. Bo
gdybyś zatrudnił rzymskiego budowniczego z jego pomysłami, to każdy
deweloper (czy wynajęty przez niego księgowy) widząc czego żąda do
budowy np. akweduktu czy czegoś w rodzaju Koloseum w dzisiejszych
czasasch to by go na kopach wygonił i nie pozwolił się pokazywać w
progach przez lat następnych co najmniej 100.

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

Stad ja mieszkam w bloku PRLowskim, z dobrych czasow gdy nie bylo
jeszcze tych durnych developerow, goniacych za zyskiem za wszelka
cene...
Pozdr. :)

[losiu4]

zomo-ormo napisała:

> Stad ja mieszkam w bloku PRLowskim, z dobrych czasow gdy nie bylo
> jeszcze tych durnych developerow, goniacych za zyskiem za wszelka
> cene...
> Pozdr. :)

oj, żebyś się nie zdziwił(a) tam dopiero cięto koszty, choć
propaganda nie pozwalała tego powiedzieć. Do tego dochodziło zwykłe
brakoróbstwo i złodziejstwo no i mamy w blokowiskach to co mamy. Na
szczęście mieszkam już w końcu na wsi w uczciwie zbudowanym domu,
więc się nie boję. Jedyne co muszę zrobić, to go trochę docieplić i
za chińskiego boga mnie do miasta na mieszkanie w bloku czy
kamienicy nie namówisz.

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

Cieto tylko na wielkosci mieszkan i ich wyposazeniu, a nie, jak
dzis, na ich konstrukcji nosnej...

[losiu4]

zomo-ormo napisała:

> Cieto tylko na wielkosci mieszkan i ich wyposazeniu, a nie, jak
> dzis, na ich konstrukcji nosnej...

niestety tam też cięto. Choc może nie aż tak bezczelnie.

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

OK, niec ci juz tam bedzie!
Uklony:)

Dawniej budowano na wyrost

[mwookash]

bo właśnie nie można było obliczyć dokładnie wytrzymałości konstrukcji

[winoman]

Ja już kiedyś poświęciłem czas na próby tłumaczenia temu osobnikowi kilku podstawowych rzeczy, ale albo udaje, że ma kłopoty z myśleniem, albo ... . Szkoda czasu. A innym, którzy może nie są z matematyką na bieżąco, wyjaśnię, że żadnego dzielenia przez zero oczywiście nie ma, gdyż NAJPIERW wykonujemy dzielenie, a dopiero POTEM przejście graniczne. Niestety nawet studia na SGPiS nie dały temu panu wiedzy, ze kolejność wykonywania pewnych czynności jest istotna. W ekonomii zresztą też.

[losiu4]

winoman napisał:

> [...]temu panu[...]

no właśnie. To w końcu pan, czy pani?

Pozdrawiam

Losiu

[zomo-ormo]

To jest takie ONO!

[losiu4]

zomo-ormo napisała:

> To jest takie ONO!

ło Jezu... jakieś nie tentego... chociaż masz szanse, wszelkie
odchyły od normalności są teraz w świetle miłościwie nam panującej
politpoprawności mile widziane, a nawet wręcz hołubione. Masz
szanse, nawet jak nie potrafisz pochodnych liczyć, a może nawet to i
lepiej, bo jesteś dyscośtam, więc masz szansę na silne wsparcie
sił "tolerancyjnych". Jesteś wygrany do kwadratu :)

Pozdrawiam

Losiu

Nie drwij sobie z osób

[mwookash]

które np. nie miały szansy z przyczyn od siebie niezależnych znaleźć się np. na
krzywej dzwonowej poza częścią centralną
Będę niezmiernie wdzięczny

Errata, "w części centralnej" źle zredagowałem

[mwookash]

wcześniejszą wypowiedź

[zomo-ormo]

???

[zomo-ormo]

Myslisz chyba o tych mocno na lewo od srodka?

W przeciwieństwie do Ciebie myślę. nt

[mwookash]

[zomo-ormo]

A co konkretnie wymysliles myslac?

Że Cię nie ma :-) EOT nt

[mwookash]

[zomo-ormo]

???

[europitek]

Niekoniecznie musisz mieć rację - Kagan intuicyjnie wie, że dzielenie przez zero jest wykonalne, ale nie potrafi tego wytłumaczyć. Na gruncie matematyki abstrakcyjnej jest ono "zakazane", ale to nie jedyny sposób wykonywania działań arytmetycznych na liczbach naturalnych. Oprócz matematyki abstrakcyjnej (symbolicznej) istnieje też arytmetyka pierwotna (niesymboliczna), na której gruncie można spróbować pokazać dopuszczalność (wykonalność) takich operacji.

[winoman]

europitek napisał:

> Niekoniecznie musisz mieć rację - Kagan intuicyjnie wie, że dzielenie przez zero
> jest wykonalne, ale nie potrafi tego wytłumaczyć.

Nie będę wnikał w tajniki jego umysłu. Napisałem tylko (choć może nie było to
wystarczająco jasne), że problem dzielenia przez zero w definicji pochodnej w
ogóle nie występuje. Tam się ZAWSZE dzieli przez liczbę różną od zera.

> Na gruncie matematyki abstrakcyjnej jest ono "zakazane", ale to nie jedyny
sposób wykonywania działań arytmetycznych na liczbach naturalnych. Oprócz
matematyki abstrakcyjnej (symbolicznej) istnieje też arytmetyka pierwotna
(niesymboliczna), na której gruncie można
> spróbować pokazać dopuszczalność (wykonalność) takich operacji.

Nie bardzo rozumiem co masz na myśli. Kiedyś chyba asteroida2 pokazał, jak i w
ramach abstrakcyjnej matematyki można "dzielić przez zero", ale kosztem
rozszerzenia pojęcia "liczby". Podobne idee związane z dzieleniem przez zero i
związanych z tym nieskończonościami zostały urzeczywistnione w geometrii
rzutowej. Wszystkie sensowne idee "pierwotne" czy "intuicyjne" dotyczące
arytmetyki można też wyrazić symbolicznie (ale to tautologia, zapytasz pewnie
czym dla mnie są idee "sensowne" :-)) ).

[europitek]

Winoman napisał:
> zapytasz pewnie czym dla mnie są idee "sensowne" :-))

Tu Cię zaskoczę - nie zapytam.
Nie będę też oponował przeciwko temu, że wszystkie idee dotyczące arytmetyki pierwotnej można wyrazić symbolicznie, chociaż dodałbym - na wszelki wypadek - prawdopodobnie, ponieważ nie znam tych wszystkich idei, a tylko niektóre. Traktując sprawę bardzo ogólnie powiedziałbym, że arytmetyka pierwotna to sposób liczenia bez liczb. Można ją, na ile rozumiem problem, opisywać przy użyciu symboli, ale mają one jedynie znaczenie pomocnicze - są przydatne dla zobrazowania możliwych mechanizmów ze względu na nasze przyzwyczajenie do operowania symbolami.
Arytmetyka pierwotna to - znów ogólnie - sposób wykonywania operacji obliczeniowych kształtujący się samorzutnie u wielu gatunków zwierząt (wliczając ludzi), który został identyfikowany empirycznie w toku różnych badań behawioralnych i neurobiologicznych.
Jeśli temat Cię interesuje, to możemy go "pociągnąć", ale będzie to wymagało ode mnie pewnych przygotowań w zakresie doboru sieciowo dostępnych tekstów wyjaśniających różne kwestie z pogranicza kilku dziedzin. Myślę, że tu bardzo przydałby się Petrucchio z jego wiedzą językoznawczą - ułatwiłoby to pokazanie problemu w odniesieniu do ludzi, a bez konieczności odwoływania się do jakichś skomplikowanych wyjaśnień (i upierdliwego szukania i czytania żródeł).(Jesteś tam, Petrucchio?)

Zapewniam Cię, że nie ma to wiele wspólnego z jakimiś psychologicznymi "zaplatankami" w głowie Kagana czy kogokolwiek innego, lecz chodzi o pewne naturalne (samorzutne) zjawisko, które zostało empirycznie stwierdzone i częściowo opisane.

[zomo-ormo]

Czyli ze arytmetyka pierwotna posluguje sie naturalnymi dla
czlowieka pojeciami "malo" czy tez "duzo", "mniej" i "wiecej"
oraz "tyle samo", a nie sztucznymi pojeciami liczby...

[europitek]

To jedno i jest przez to mniej precyzyjna. Z liczb korzysta, ale w ograniczonym zakresie - jako z etykiet pewnych liczności, a nie odrębnych obiektów, na których można wykonywać operacje.
Zresztą można by się spierać o to na ile matematyka abstrakcyjna jest systemem uogólnień wyprowadzonych z arytmetyki pierwotnej (zwanej też "zmysłem liczbowym") poprzez system naturalnej kategoryzacji. Liczby-symbole mogły w ten sposób wyewoluować.

[zomo-ormo]

Niemniej artymetyka z zerem prwadzi do paradoksow, z ktorymi
matematycy rady dac siobie nie moga. Np. zazkazuja dzielic przez owo
zero, ale nie potrafia wytlumaczyc czemu nie wolno dzielic przez to
zero. Na razie to matematyka jest wiec tylko systemem wierzen, np.
Zydom nie wolno w szabas naciskac na przycisk przywolujacy winde,
Katolikom nie wolno jesc miesa w Wielki Piatek itp. "bo nie wolno" i
juz...

[europitek]

Potrafią to wytłumaczyć i robią to z powodzeniem, ale oczywiście w ramach określonych właściwości obiektów symbolicznych, na których dokonuje się operacji. Z kolei te operacje też mają zmodyfikowane chakterystyki (sposób wykonania). W efekcie wszystko jest podobne do działań niesymbolicznych, ale jednak różne.
To nie jest kwestia "wiary", lecz pokazania sposobu przejścia od działań niesymbolicznych do abstrakcyjnych. I nie jest to prosta sprawa.

[zomo-ormo]

Mozesz to bardziej rozwinac?

[europitek]

Ale co mam rozwinąć, bo tego jest sporo?
Jeśli chodzi o wyjaśnienia w ramach matematyki abstrakcyjnej, to Winoman i Asteroida już to robili, więc nie ma o czym gadać. Operacje na symbolach (liczbach abstrakcyjnych) wyglądają tak a nie inaczej, ponieważ jawnie przypisano im określone właściwości.

[zomo-ormo]

Przypisano je arbitralnie, jak w religii przypisano Bogu pewne
atrybuty...

[europitek]

"Jak w ..." to czasami bardzo daleka paralela. W przypadku matematyki abstrakcyjnej niektóre z tych przypisanych właściwości są, moim zdaniem, dziedziczone po arytmetyce pierwotnej, która jest bardzo empiryczna. Przejście na operacje na symbolach zapewniło większą precyzję, zakres i wydajność obliczeń. To jednak wymagało pewnych zmian i usprawnień. Inaczej mówiąc działania arytmetyczne na symbolach są rozwinięciem działań niesymbolicznych.
W przypadku dzielenia w arytmetyce pierwotnej operacja z udziałem zera jako dzielnika nie jest problemem ze względu na sposób wykanywania tej operacji. Zajmowałeś się kiedyś programowaniem, więc nie powinieneś mieć większych problemów z wykombinowaniem w pamięci bezliczbowego sposobu dzielenia. Zresztą mechanizm ten można odkryć czysto empirycznie manipulując grupą obiektów.

[zomo-ormo]

Dzielenie to tez dodawanie, jak kazda inna operacja matematyczna:
ODEJMOWANIE to dodawanie ze znakiem przeciwnym 6-2=6+(-2)
MNOZENIE to wielokrotne dodawanie 6*2=6+6 (dodawanie powtarzamy tu 2 razy)
DZIELENIE to zas wielokrotne odejmowanie, czyli wielokrotne dodawanie ze znakiem
przeciwnym 12/6=12-6=6 i znow odejmujemy od tego wyniku 6 czyli obliczamy 6-6 i
otrzymujemy 0 co oznacza koniec dzielenia - wystarczy teraz policzyc ile razy
wykonwyalismy operacje odejmowania, ktora oczywiscie mozna sprowadzic do
operacji dodawania, jako iz 12-6=12+(-6) itd.
Wystaczy wiec znac tylko dodawanie - pozostale operacje artymetyczne redukuja
sie bowiem do dodawania.
Czemu wiec nie mozna dzielic przez zero, jesli mozna zero dodawac, odejmowac i
przez nie mnozyc, skoro dzielenie redukuje sie do wielokrotnego dodawania?
PS: Oczywiscie nie zamiescilem tu pelnego dowodu, aby ten tekst byl zrozumialy
dla niematematykow. Ale metoda indukcji polaczonej z dedukcja latwo to co
napisalem uogolnic...

[winoman]

Podziel więc, używając swej interpretacji, 12 przez 0. Może przy okazji
zrozumiesz czym jest nieskończoność.

[zomo-ormo]

Zaraz to zrobie!

[zomo-ormo]

A wiec: 12/0 = 12-0=12 i znow powtarzamy te operacje itd. Wychodzi
wiec iz zero miesci sie w liczbie 12 NIESKONCZONA ilosc razy. Nie ma
po drodze zadnego bledu - to tylko kalkulatory i programy maja wady!
Czyli ze mozna dzielic przez zero. Zmieszczenie wyniku to juz tylko
problem scisle techniczny - my tu zajmujemy sie przeciez CZYSTA
matematyka!
Albowiem DZIELENIE to po prostu wielokrotne odejmowanie, czyli
wielokrotne dodawanie ze znakiem przeciwnym.
Przykladowo: 12/6=12-6=6 i znow odejmujemy od tego wyniku 6 czyli
obliczamy 6-6 i otrzymujemy 0 co oznacza koniec dzielenia -
wystarczy teraz policzyc ile razy wykonywalismy operacje
odejmowania, ktora oczywiscie mozna sprowadzic do
operacji dodawania, jako iz 12-6=12+(-6) itd.

[pr0fes0r]

> Albowiem DZIELENIE to po prostu wielokrotne odejmowanie, czyli
> wielokrotne dodawanie ze znakiem przeciwnym.

A 12/5 oznacza, że odjęliśmy 5 od 12 2 i 0,4 raza, jo?

[zomo-ormo]

Dokladnie to 12/5 = 2 reszta 2. A te 4/10 otrzymujemy tez przy
pomocy wielokrotnego odejmowania. Pomysl, zanim cos napiszesz!

[winoman]

zomo-ormo napisała:

> A wiec: 12/0 = 12-0=12 i znow powtarzamy te operacje itd. Wychodzi
> wiec iz zero miesci sie w liczbie 12 NIESKONCZONA ilosc razy.

Potrafiłeś w osiem minut osiągnąć nieskończoność, a potrzebujesz czasu większego
niż ten, który pozostał Kosmosowi, by dojść do zera?

[zomo-ormo]

Ja tej poziomej osemki nie osiagnalem. Ja tylko wysunalkem HIPOTEZE,
ze taka operacje mozna powtarzac nieskonczona ilosc razy, ale jej
wcale nie udowodnilem naukowo, czyli empirycznie!

[europitek]

zomo-ormo napisała:
> Czemu wiec nie mozna dzielic przez zero, jesli mozna zero dodawac,
> odejmowac i przez nie mnozyc, skoro dzielenie redukuje sie do
> wielokrotnego dodawania?

Dzielenie i mnożenie przez <0> to są operacje nieodwracalne. Dla mnie zagadką jest, dlaczego mnożenie przez <0> jest dopuszczalne - rezultat empiryczny obu operacji jest identyczny.
Być może ma tu znaczenie fakt, że dzielenie przez <0> wykonywane metodą odejmowania (czy jak wolisz dodawania ze znakiem przeciwnym) nie jest operacją skończoną, jeśli operacja ta jest wykonywana na symbolach. W efekcie decydowałby więc wzgląd czysto praktyczny, wynikający ze sposobu realizacji operacji.

Lokalne zakrzywienie czasoprzestrzeni?

[europitek]

Przed chwilą zauważyłem, że na dwa posty znajdujące się nieco powyżej udzieliłem odpowiedzi przed ich wysłaniem przez rozmówcę. Czy możecie potwierdzić te daty, bo może mam "coś ze wzrokiem"?

Niestety nie to

[europitek]

Chwilę po wysłaniu poprzedniego postu wszystko wróciło do normy. Tak chyba działa "magia forum".
Trochę szkoda, gdyż miałem nadzieję, że to może być efekt uboczny włączenia tego CERN-owskiego cuda. A może daty wróciły do porządku, bo właśnie przed chwilą je wyłączyli i poszli spać?

[zomo-ormo]

Jak pisalem - to bez te czarne dziury...

[zomo-ormo]

Wyjasnienie we FIASKU S. Lema - czarna dziura wywolana eksprymentami
CERN powoduje, ze czas moze lokalnie biec "do tylu"...

Brak wyobrazni u matematykow

[zomo-ormo]

A tu zgoda z europitekiem, ktory napisal byl:
Dzielenie i mnożenie przez <0> to są operacje nieodwracalne. Dla
mnie zagadką jest, dlaczego mnożenie przez <0> jest dopuszczalne -
rezultat empiryczny obu operacji jest identyczny.
- Wydaje mi sie, ze zero razy dowolna liczba to nie jest zero,
podobnie jak dowolna liczba dzielona przez zero nie jest
nieskonczonoscia. Po prostu matematykom zabraklo wyobrazni. A
wystarczy np. wprowadzic dwie dodatkowe liczby: np. ALFA i OMEGA
(oznaczane np. A oraz W dla unikniecia omylek): pierwsza to wynik
mnozenia przez zero, a druga to wynik dzielenia przez zero... I
zdefinowac jak sie poslugiwac tymi liczbami...
Pozdr. :)

[europitek]

Wynikiem obu tych operacji jest <0>. Oczywiście przy ich niesymbolicznym przeprowadzeniu. I nie ma kłopotu z nieskończonością, ponieważ nie jest to operacja odejmowania na symbolach, lecz podziału.
Abstrakcje matematyczne (podstawowe), to efekt uogólnienia pojęć odempirycznych. W związku z tym ich właściwości różnią od ich antenatów, jak "zero" od "nic".

[zomo-ormo]

Wiec wedlug ciebie 1/0=0 ?

[europitek]

Tak.

[zomo-ormo]

Wlasciwie to ma sens: 1/0=0
Ale czemu na to nie zgadzaja sie zawodowi matematycy?

[winoman]

zomo-ormo napisała:

> Wlasciwie to ma sens: 1/0=0
> Ale czemu na to nie zgadzaja sie zawodowi matematycy?

Bo z wielu powodów (ciągłość, elementarne własności dodawania i mnożenia ...)
0.0 MUSI się równać 0.

Na przykład dlatego, by (1+(-1)).0 = 1.0+(-1).0 = 0+(-0) = 0-0 = 0. A dzielenie
MUSI być zdefiniowane jako odwrotność mnożenia. Jak kto chce mieć inaczej, jego
sprawa, ale będzie miał arytmetykę pełną wyjątków i dziwnych, nieintuicyjnych
reguł, nie bardzo dającą się stosować do niczego mającego choć minimalny związek
z rzeczywistością. Oczywiście wiem, że Kagan zaraz to odrzuci, piszę dla innych.

Argument ciągłości też można wykorzystać do bezpośredniego pokazania, że 1/0 nie
może być równe zeru, jeśli działania arytmetyczne mają być ciągłe (a tylko takie
są użyteczne). Wystarczy zauważyć, że 1/(1/n)=n, po lewej stronie wraz ze
wzrostem n mianownik 1/n dąży do zera, więc ułamek powinien dążyć do 1/0
(ciągłość dzielenia), ale prawa strona rośnie do nieskończoności. System
liczbowy, w którym 0=nieskończoność, nie wydaje się specjalnie przydatny, więc
równość 1/0=0 bezpiecznie można odrzucić. W ten sam sposób 1/0 nie może być w
żadnym sensownym systemie arytmetycznym równa żadnej skończonej liczbie.

[zomo-ormo]

No wiec ile to jest 1/0, skoro "1/0 nie może być w żadnym sensownym
systemie arytmetycznym równa żadnej skończonej liczbie"? Jesli 1/0
nie rowna sie żadnej skończonej liczbie, to czemu sie rowna? Czy nie
lepiej wiec zrezygnowac z zera i w ten sposob pozbyc sie przy okazji
tych bezsensownych nieskonczonosci??

[winoman]

Rezygnując z zera musiałbyś zrezygnować z jedynki, albo z odejmowania, bo czemu
byłoby równe 1-1?

[zomo-ormo]

Zakazal bym takiego odejmowania, jak dzis zakazuje sie dzielenia
przez zero. Rzymianie (starozytni) zera nie znali, a Rzym
wybudowali... Grecy (starozytni) tez go nie znali, a jaka filozfie i
kulture stworzyli!
Pozdr. :)

[europitek]

winoman napisał:
> Bo z wielu powodów (ciągłość, elementarne własności dodawania i
> mnożenia ...) 0.0 MUSI się równać 0.

To obowiązuje dla każdego n: n*0=0. A teraz spróbuję wykręcić kota ogonem i wmówić, że to łeb.
1) n*0=0
2) n=0/0
3) dzielenie przez 0 jest zakazane (niewykonalne)
4) n jest zakazane (nie istnieje)
5) nie istnieje takie n, które pomnożone przez 0 daje wynik 0

Czy mógłbyć w jakiś inny sposób uzasadnić, że 0*0=0?

> Wystarczy zauważyć, że 1/(1/n)=n, po lewej stronie wraz ze
> wzrostem n mianownik 1/n dąży do zera, więc ułamek powinien dążyć > do 1/0 (ciągłość dzielenia), ale prawa strona rośnie do
> nieskończoności.

Moim zdaniem nie wystarczy, ponieważ "dążyć do" to nie to samo co "osiągnąć". Nawet (1/oo)=/=0 (jeden podzielone przez nieskończoność nie równa się zero).
Natomiast dla n=0 dostaniesz 0=0, gdy 1/0=0.

> A dzielenie MUSI być zdefiniowane jako odwrotność mnożenia.

W jakim sensie "odwrotność"?

[winoman]

> Moim zdaniem nie wystarczy, ponieważ "dążyć do" to nie to samo co "osiągnąć".

Sens matematycznego pojęcia ciągłości kryje się właśnie w tym, że dla obiektów
ciągłych "dążyć do" implikuje "osiągać". Funkcja
f:X->Z jest ciągła na zbiorze X, jeśli dla każdego x w X i dla y dążących w X do
x wartość f(y) dąży do liczby równej f(x).
W tym sensie działania arytmetyczne są ciągłe wszędzie tam, gdzie mają zwykły
sens: y dążące do x implikuje 1/y dążące do 1/x. Ciągłość operacji
arytmetycznych jest tak fundamentalna, że wykorzystuje się ją do definiowania
tych operacji na liczbach, na których pierwotna definicja nie ma sensu, na
przykład potęgę o wykładniku niewymiernym definiuje się poprzez aproksymację
potęgami o wykładnikach wymiernych:

2^Pi (2 do potęgi Pi) jest granicą ciągu liczb 2^3; 2^3,1; 2^3,14, 2^3,141; ...

(oczywiście najpierw sprawdza się, że wynik nie zależy od tego jaki ciąg
przybliżeń wykładnika weźmiemy)

> Nawet (1/oo)=/=0 (jeden podzielone przez nieskończoność nie równa się zero).

To akurat ma sens i jeśli czemuś miałoby się równać, to właśnie zeru, na mocy
ciągłości: x dążące do nieskończoności implikuje 1/x dążące do zera.


> > A dzielenie MUSI być zdefiniowane jako odwrotność mnożenia.
>
> W jakim sensie "odwrotność"?

Dzielenie przez liczbę a jest operacją odwrotną do mnożenia przez x, a więc
wykonanie najpierw jednej operacji, a potem drugiej (w dowolnej kolejności)
przywraca stan początkowy. Formalnie, funkcje f:X->Y i g:Y->X są do siebie
odwrotne, jeśli f(g(y))=y i g(f(x))=x dla wszystkich x w zbiorze X i y w zbiorze
Y. Tak jest w szczególności, gdy X=Y=R (zbiór liczb rzeczywistych, f jest
operacją mnożenia przez liczbę k, zaś g operacją dzielenia przez k (oczywiście
dla k różnego od zera :-) ). Mnożenie przez zero nie ma funkcji odwrotnej, więc
nie definiuje się dzielenia przez zero, bo nie ma jak.

Pozdrawiam!

[zomo-ormo]

Skad wiesz, ze dana funkcja jest ciagla w rejonie bliskim
nieskonczonosci? Jak to zweryfikujesz empirycznie? Przeciez moze ona
zmianic swe wlasciwosci w takim ekstremalnym regionie, podobnie jak
zmieniaja swe wlasnosci niektore materialy w poblizu absolutnego
zera (0 stopni K)!

Matematycy mają za dużo wyobraźni

[europitek]

winoman napisał:
> Sens matematycznego pojęcia ciągłości kryje się właśnie w tym, że
> dla obiektów ciągłych "dążyć do" implikuje "osiągać".

Typowo matematyczne (dedukcyjne) uzasadnianie twierdzeń niższego poziomu ogólności twierdzeniami poziomu wyższego. Mnie to jednak nie zadowala, ponieważ zawsze prowadzi do większej utraty dokładności niż metoda indukcyjna (od szczegółu do ogółu), a mnie nie podoba się nieustanne kumulowanie błędów uogólniania.

Skoro jednak tak, to czy przedział dodatnich liczb rzeczywistych <0,a) jest obiektem ciągłym, czy nie? Jeśli tak, to zgodnie z tym co napisałeś w kwestii "dążenia do" i "osiągania" jest on przedziałem <0,a>.

> Dzielenie przez liczbę a jest operacją odwrotną do mnożenia przez
> x, a więc wykonanie najpierw jednej operacji, a potem drugiej (w
> dowolnej kolejności) przywraca stan początkowy.(...)

> Mnożenie przez zero nie ma funkcji odwrotnej, więc
> nie definiuje się dzielenia przez zero, bo nie ma jak.

Tak więc jest to odwrotność tylko dla klasy liczb różnych od 0. Zatem musi istnieć taka reguła (uogólnienie) wyższego rzędu (poziomu ogólności), która będzie uogólnieniem odwrotności tych działań dla wszyskich liczb różnych od 0 plus ono samo. W przeciwnym wypadku:
- uogólnienie o odwrotności tych działań dla liczb różnych od 0 jest fałszywe lub
- 0 nie jest liczbą lub
- tylko 0 jest liczbą
Pewnie gdybym "się sprężył" to wykombinowałbym jeszcze jakieś równie ekstrawaganckie propozycje. Istotne jest tu jednak to czy istnieje takie uogólnienie wyższego poziomu, które opisuje odwrotność mnożenia i dzielenia dla wszystkich liczb (z 0 włącznie).

Podchodząc do tego z innej strony, przykład ten pokazuje, gdzie szukać przyczyn takiego stanu rzeczy. Właściwości działań arytmetycznych zależą nie tylko od specyfiki własnego mechanizmu, lecz również od właściwości konkretnych liczb, na których są wykonywane. Mechanizm, moim zdaniem, powinien być uniwersalny a obserwowalne różnice efektów działań zależne od właściwości konkretnych liczb, na których są one wykonywane. Znów dochodzimy do tego samego punktu, co w poście równoległym (poniżej).

A teraz z czystej i bezinteresownej złośliwości: jeśli przyjmiemy, że dzielenie przez zero jest dopuszczalne i n/0=0 dla każdego n, to z braku jego odwrotności uzyskamy w efekcie zakaz mnożenia przez 0. W związku z tym ciśnie się na usta pytanie, dlaczego mnożenie ma większe "chody" w matematyce niż dzielenie?

[zomo-ormo]

europitek napisał: teraz z czystej i bezinteresownej złośliwości:
jeśli przyjmiemy, że dzielenie przez zero jest dopuszczalne i n/0=0
dla każdego n, to z braku jego odwrotnośc i uzyskamy w efekcie zakaz
mnożenia przez 0. W związku z tym ciśnie się na usta pytanie,
dlaczego mnożenie ma większe "chody" w matematyce niż dzielenie?
- Odp. jest prosta: matematyka jest do kitu, jest niespojna,
nielogiczna i pelna sprzecznosci wewnetrznych. Pytanie jest wiec:
czemu uwaza sie ja wciaz za nauke, skoro ma tyle wspolnego z nauka
co religia (oparta sa obie na nieudowadnialnych aksjomatach)...

[winoman]

> Skoro jednak tak, to czy przedział dodatnich liczb rzeczywistych <0,a) jest
> obiektem ciągłym, czy nie? Jeśli tak, to zgodnie z tym co napisałeś w kwestii
> "dążenia do" i "osiągania" jest on przedziałem <0,a>.

Pojęci ciągłości odnosi się do funkcji, nie do zbiorów (a w tym przypadku raczej
przestrzeni topologicznych). Matematycy mówią, że przedział <0,a) nie jest
zupełny i nie jest zwarty. W oczywisty sposób nie jest on równy przedziałowi
<0,a>, liczba a do <0,a) nie należy.

>
> > Dzielenie przez liczbę a jest operacją odwrotną do mnożenia przez
> > x, a więc wykonanie najpierw jednej operacji, a potem drugiej (w
> > dowolnej kolejności) przywraca stan początkowy.(...)
>
> > Mnożenie przez zero nie ma funkcji odwrotnej, więc
> > nie definiuje się dzielenia przez zero, bo nie ma jak.
>
> Tak więc jest to odwrotność tylko dla klasy liczb różnych od 0. Zatem musi istn
> ieć taka reguła (uogólnienie) wyższego rzędu (poziomu ogólności), która będzie
> uogólnieniem odwrotności tych działań dla wszyskich liczb różnych od 0 plus ono
> samo. W przeciwnym wypadku:
> - uogólnienie o odwrotności tych działań dla liczb różnych od 0 jest fałszywe l
> ub
> - 0 nie jest liczbą lub
> - tylko 0 jest liczbą

Niestety znów nie rozumiem.

> Pewnie gdybym "się sprężył" to wykombinowałbym jeszcze jakieś równie ekstrawaga
> nckie propozycje. Istotne jest tu jednak to czy istnieje takie uogólnienie wyżs
> zego poziomu, które opisuje odwrotność mnożenia i dzielenia dla wszystkich licz
> b (z 0 włącznie).

Asteroida pokazał kiedyś jak, jeśli ktoś bardzo chce, można tak zmodyfikować
pojęcie liczby, by dzielić przez zero się dało. Rzecz w tym, że takie nowe
liczby nie byłyby do niczego przydatne.

>
> Podchodząc do tego z innej strony, przykład ten pokazuje, gdzie szukać przyczyn
> takiego stanu rzeczy. Właściwości działań arytmetycznych zależą nie tylko od s
> pecyfiki własnego mechanizmu, lecz również od właściwości konkretnych liczb, na
> których są wykonywane. Mechanizm, moim zdaniem, powinien być uniwersalny a obs
> erwowalne różnice efektów działań zależne od właściwości konkretnych liczb, na
> których są one wykonywane. Znów dochodzimy do tego samego punktu, co w poście r
> ównoległym (poniżej).
>
> A teraz z czystej i bezinteresownej złośliwości: jeśli przyjmiemy, że dzielenie
> przez zero jest dopuszczalne i n/0=0 dla każdego n, to z braku jego odwrotnośc
> i uzyskamy w efekcie zakaz mnożenia przez 0. W związku z tym ciśnie się na usta
> pytanie, dlaczego mnożenie ma większe "chody" w matematyce niż dzielenie?

Z fałszywej przesłanki wszystko wynika, nawet zakaz mnożenia przez zero. A to,
że mnożenie jest bardziej "pierwotne" niż dzielenie, to nawet Kagan zauważył: do
definicji mnożenia wystarczy dodawanie, dzielenie wymaga istnienia mnożenia,
albo, co najmniej, odejmowania.

[winoman]

> Czy mógłbyć w jakiś inny sposób uzasadnić, że 0*0=0?

Bo jak sam napisałeś, dla dowolnego n (powiedzmy różnego od zera) na pewno n*0=0. Jeśli przyjmujemy ten fakt, i jeśli prawo rozdzielności (a+b)*c=a*c+b*c ma zachodzić, nie ma innego wyjścia, jak przyjąć 0*0=0, jak to pisałem wcześniej.

Można jeszcze inaczej. Zgodzisz się zapewne z tym, że 0+0=0. Jeśli tak, to 0*0 =(0+0)*0 = 0*0+0*0. Teraz od obu stron odejmujemy 0*0.

[zomo-ormo]

Czemu 0+0=0? A czemu nie zakazac KAZDEJ opreracji z uzyciem samego
zera? I czemu zakazuje sie TYLKO dzielenia przez zero?

[europitek]

Metoda Twojej argumentacji jest bardzo "dołująca" - "nie ma innego wyjścia".
Ja zgadzam się z tym, że n*0=0, ale też nie mam nic przeciwko stwierdzeniu, które sam spłodziłem, że nie istnieje żadne n, dla którego zaszłoby n*0=0. Gdyby istniało n, to niewątpliwie taka zależnośc by zachodziła. Na razie stan (wyprowadzony z tej zależności) jest taki, że jeśli zależność ta zachodzi dla jakiegoś n, to jest to n nieistniejące.

Tłumaczenie oparte na konieczności zgodności z rozdzielnością nie jest dobre, ponieważ prawo to jest uogólnieniem wyższego rzędu i jeśli chcemy zachować wysoką precyzję wnioskowania, to kierunek dowodzenia może być tylko przeciwny. Dedukcja jest przydatna, gdy nie możemy sformułować wniosków z powodu braku wystarczającej informacji z niższych poziomów ogólności. W naszym przypadku wiedzą taką są właściwości liczb, a w szczególności liczby 0 i właśnie z nich należy wyprowadzać n*0=0.

[winoman]

> Metoda Twojej argumentacji jest bardzo "dołująca" - "nie ma innego wyjścia".
> Ja zgadzam się z tym, że n*0=0, ale też nie mam nic przeciwko stwierdzeniu, któ
> re sam spłodziłem, że nie istnieje żadne n, dla którego zaszłoby n*0=0. Gdyby i
> stniało n, to niewątpliwie taka zależnośc by zachodziła. Na razie stan (wyprowa
> dzony z tej zależności) jest taki, że jeśli zależność ta zachodzi dla jakiegoś
> n, to jest to n nieistniejące.

Ja jestem prosty matematyk i zaczynam się gubić, ale Twoje "wyprowadzenie" było
niepoprawne z punktu widzenia elementarnej logiki, spróbuję to odnaleźć i uzasadnić.

>
> Tłumaczenie oparte na konieczności zgodności z rozdzielnością nie jest dobre, p
> onieważ prawo to jest uogólnieniem wyższego rzędu i jeśli chcemy zachować wysok
> ą precyzję wnioskowania, to kierunek dowodzenia może być tylko przeciwny. Deduk
> cja jest przydatna, gdy nie możemy sformułować wniosków z powodu braku wystarcz
> ającej informacji z niższych poziomów ogólności. W naszym przypadku wiedzą taką
> są właściwości liczb, a w szczególności liczby 0 i właśnie z nich należy wypro
> wadzać n*0=0.

Też nie bardzo rozumiem. Prawo rozdzielności, fundamentalne i (chyba się z tym
zgodzisz) bezwarunkowo prawdziwe dla liczb naturalnych (całkowitych większych od
zera) jest tak istotne, że wszystkie w jakikolwiek sposób przydatne uogólnienia
pojęcia liczby też to prawo zakładają jako jeden z aksjomatów. Kto nie chce
rozdzielności, może się bawić w jej odrzucanie, ale nikt jeszcze nie pokazał
sensowności takich rozważań. Zresztą bez aksjomatu rozdzielności też można się
obejść, wychodząc z pojęcia liczb naturalnych można skonstruować wszystkie inne
rodzaje liczb i rozdzielność będzie równie bezwarunkowo obowiązywać.

[europitek]

winoman napisał:
> Też nie bardzo rozumiem. Prawo rozdzielności, fundamentalne i
> (chyba się z tym zgodzisz) bezwarunkowo prawdziwe dla liczb
> naturalnych (całkowitych większych od zera) jest tak istotne, że
> wszystkie w jakikolwiek sposób przydatne uogólnienia pojęcia
> liczby też to prawo zakładają jako jeden z aksjomatów. Kto nie chce
> rozdzielności, może się bawić w jej odrzucanie, ale nikt jeszcze
> nie pokazał sensowności takich rozważań. Zresztą bez aksjomatu
> rozdzielności też można się obejść, wychodząc z pojęcia liczb
> naturalnych można skonstruować wszystkie inne rodzaje liczb i
> rozdzielność będzie równie bezwarunkowo obowiązywać.

Wiem, że się nie rozumiemy i nad tym usilnie pracuję.
Na początek powiem to jasno, że nie jest moim celem obalanie czegokolwiek, jeśli się tak zdarzy to będzie to skutek uboczny moich działań. Zresztą szczerze wątpię w zaistnienie takiej sytuacji, chociaż tego nie wykluczam. Ale nawet jeśli by do tego doszło, to raczej nie będzie moja robota (i zasługa lub wina).
Mnie interesuje skąd się ten cały "towar" bierze i jakim prawidłowościom strukturalnym podlega (oczywiście mogę się wykłucać o jakieś nieistotne szczegóły). Odnosząc to do konkretów, czyli np. tego co napisałeś o rozdzielności, warto zuważyć, że skoro "wszystkie w jakikolwiek sposób przydatne uogólnienia pojęcia liczby też to prawo zakładają jako jeden z aksjomatów", to oznacza istnienie pewnej hierarchii uogólnień (reguł), w której jedne z nich budowane są przez uogólnianie innych. I tak piętro, po piętrze, coraz wyżej (lub niżej jeśli chcemy sięgnąć podstawy). Prawdziwość, czy uznanie fundamentalności nie ma tu wiele do rzeczy.
Jednak, wracając do rozdzielności, to jest ona uogólnieniem (regułą) wyższego poziomu ogólności niż nawet uogólnione pojęcia liczby, o czym świadczy jej aksjomatyczna pozycja w stosunku do tych pojęć. Aksjomaty są regułami używanymi do dedukcyjnego formułowania reguł niższych poziomów ogólności w przypadku trudności w sformułowaniu tych reguł metodą indukcyjną (oczywiście nie chodzi o indukcję matematyczną), czyli od szczegółu do ogółu. W rzeczywistości te uogólnione pojęcia liczb są uogólnieniami mniej ogólnych pojęć liczb, a te jeszcze mniej ogólnych. I tak aż do arytmetyki pierwotnej, od której cały ten "liczbowy interes" się zaczął.

Możesz spytać: po co komu indukcyjne sprawdzanie poprawności wniosków dedukcyjnych? A ja odpowiem: po to by wyłapać ewentualne błędy wynikające z zastosowania mniej dokładnej (dedukcyjnej) metody rozumowania. Sam proces tworzenia uogólnień - niezależnie od użytej metody - oznacza utratę pewnej ilości infomacji. Jednak dedukcje oznaczają możliwość popełnienia znacznie większych błędów, które w dodatku będą niewykrywalne (dopóki nie przeprowadzisz indukcyjnej "rewizji" lub nie natrafisz na sprzeczność wniosków) ze względu na bezpowrotną utratę nieznanej informacji z poziomu niższego. Indukcje też powodują stratę informacji, lecz jest to informacja nam znana, więc zawsze mamy możliwość dokonania korekt w kierunku minimalizacji jej strat, a więc i uzyskania większej dokładności uogólnień wyższego poziomu.
Jeśli, jak piszesz, jesteś w stanie wychodząc od jakichś bardziej "pierwotnych" (niskouogólnionych) pojęć liczb (np. naturalnych) wyprowadzić pojęcia bardziej ogólne, a z nich rozdzielność, to jest to właśnie metoda weryfikacji od szczegółu do ogółu. Oczywiście po warunkiem, że nie będziesz próbował definiować tych pojęć pierwotnych dedukcyjnie, choć bez odwołań do rozdzielności. Jeśli zrobisz to bez jakichkolwiek aksjomatów i odwołań do uogólnień wyższych rzędów niż aktualnie rozpatrywany to tym samym uda Ci się ujawnić jedną z empirycznych podstaw matematyki abstrakcyjnej.

[winoman]

> Jeśli, jak piszesz, jesteś w stanie wychodząc od jakichś bardziej "pierwotnych"
> (niskouogólnionych) pojęć liczb (np. naturalnych) wyprowadzić pojęcia bardziej
> ogólne,

To nie ja, to już 150 lat temu Kronecker powiedział, że liczby naturalne stworzył Bóg, a cała reszta jest dziełem człowieka.

Żeby zbudować cały (OK, niemal cały, ale wszystkie rzeczy istotne dla 99% zawodowych matematyków będą w nim zawarte) dzisiejszy gmach matematyki, trzeba dysponować tylko teorią zbiorów w wersji Zermelo-Fraenkla

pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomaty_Zermelo-Fraenkela
z dołączonym tzw. pewnikiem wyboru (to będą narzędzia) i zbiorem liczb naturalnych (który jest już de facto zawarty w tej teorii zbiorów, ale wygodnie będzie mieć go osobno, w postaci konkretnego modelu, realizującego aksjomatykę Peano).

Zaczynając od artykułu w wiki opisującego liczby naturalne i postulaty Peano

pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_naturalne
można dalej prześledzić formalną konstrukcję kolejnych rodzajów liczb:

pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite
pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_wymierne
pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_rzeczywiste
pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone
Więcej informacji jest w artykule

pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb
Pozdrawiam!

[petrucchio]

winoman napisał:

> To nie ja, to już 150 lat temu Kronecker powiedział, że liczby
> naturalne stworzył Bóg, a cała reszta jest dziełem człowieka.

Johnny Von Neumann właściwie pokazał, że albo Kronecker się mylił, albo Bóg
niepotrzebnie się wysilał. Mógł stworzyć tylko zero (reprezentowane jako zbiór
pusty), a cała reszta daje się skonstruować w ramach teorii mnogości.

[europitek]

Jak można tak nieuważnie czytać posty człowieka, z którym się dyskutuje? W ramach pomsty za te niecne uczynki nie przeczytam żadnego z tych linków, czego drugim powodem jest "tytuł" pierwszego z nich.
Przecież ostatnie zdanie mojego porzedniego postu brzmiało:
> Jeśli zrobisz to bez jakichkolwiek aksjomatów i odwołań do
> uogólnień wyższych rzędów niż aktualnie rozpatrywany to tym samym > uda Ci się ujawnić jedną z empirycznych podstaw matematyki
> abstrakcyjnej.

Powtórzę więc jeszcze raz: zero aksjomatów!
Albo inaczej: wszystkie, których zechcesz użyć najpierw _udowodnisz_.

[winoman]

> Przecież ostatnie zdanie mojego poprzedniego postu brzmiało:
> > Jeśli zrobisz to bez jakichkolwiek aksjomatów i odwołań do
> > uogólnień wyższych rzędów niż aktualnie rozpatrywany to tym samym > u
> da Ci się ujawnić jedną z empirycznych podstaw matematyki
> > abstrakcyjnej.
>
> Powtórzę więc jeszcze raz: zero aksjomatów!

Jeśli mam zacząć od czegoś, to na czymś muszę się oprzeć, inaczej gdy ja napiszę
"siedem", Ty możesz zrozumieć to jako "pięć" (oczywiście nie dosłownie.
Aksjomaty, z których chciałem skorzystać, pozwalają ustalić czym są (a
dokładnie, jakie własności mają) takie obiekty, jak liczby naturalne, zbiory
liczb, uporządkowane pary liczb, zbiory takich par i ich podzbiory, nieskończone
ciągi elementów zbioru, zbiory takich ciągów, oraz pewne zbiory zbiorów. Bez
takich ustaleń dalsza rozmowa może przypominać dyskusję ślepych o kolorach, ale
cóż, jeśli chcesz ...

Właściwie wszystko, co napiszę teraz, znalazłbyś bez trudu w tekstach, do
których podałem linki (jeśli na słowo "aksjomat" reagujesz alergicznie, możesz
pominąć dwa pierwsze). Nie mam czasu na bardzo szczegółowe wywody (a nie chce
mi się przeklejać tu większych kawałków tekstów z wiki), więc będę bardzo skrótowy.

Liczba całkowita to tak naprawdę "różnica dwóch liczb naturalnych", a
"formalnie" robi się to mniej więcej tak: liczbą całkowitą nazywamy parę (m,n)
liczb naturalnych, przy czym dwie pary (m,n) i (m',n') wyznaczają tę samą liczbę
całkowitą, jeśli m+n'=m'+n (a więc jeśli m-n=m'-n', ale wolę pierwszy zapis, bo
pokazuje, że definicja liczb całkowitych nie wymaga odejmowania). Liczby
reprezentowane przez pary (m,0) nazywamy nieujemnymi, a postaci (0,n)
niedodatnimi. Na przykład -2=(2,0)=(3,1)= ... = (m+2,m)= ...

Bez zera można się też obejść, można liczby naturalne zacząć od jedynki, wtedy
zerem będzie każda para (m,m) (a więc zero, wbrew temu, co się wydaje Kaganowi,
istnieje i ma sens).

Liczby wymierne, to pary liczb całkowitych (a więc formalnie rzecz biorąc, pary
klas par) o niezerowym drugim członie, przy czym pary (a,b) i (a',b') wyznaczają
tę samą liczbę wymierną, jeśli a*b'=a'*b (innymi słowy, jeśli a/b = a'/b').

Liczby rzeczywiste są wyznaczone przez ciągi liczb wymiernych o odpowiednich
własnościach (tak zwane ciągi fundamentalne,albo ciągi Cauchy'ego), a idea jest
taka, że liczbę rzeczywistą utożsamiamy z jej wszystkimi ciągami przybliżeń
wymiernych, na przykład liczba Pi będzie reprezentowana przez ciąg nieskończony
(3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... ). Jest inna metoda, w niej liczbą
rzeczywistą jest tak zwany przekrój Dedekinda, a więc pewien zbiór liczb
wymiernych, np. (intuicyjnie) Pi = zbiór wszystkich liczb wymiernych mniejszych
od Pi.

Liczby zespolone są parami liczb rzeczywistych (już w ścisłym sensie, jedna para
= jedna liczba), ale można i inaczej, można zamiast par wziąć odpowiednie macierze.

[europitek]

winoman napisał:
> Jeśli mam zacząć od czegoś, to na czymś muszę się oprzeć, inaczej > gdy ja napiszę "siedem", Ty możesz zrozumieć to jako
> "pięć" (oczywiście nie dosłownie). Aksjomaty, z których chciałem
> skorzystać, pozwalają ustalić czym są (a dokładnie, jakie
> własności mają) takie obiekty, jak liczby naturalne, zbiory
> liczb, uporządkowane pary liczb, zbiory takich par i ich
> podzbiory, nieskończone ciągi elementów zbioru, zbiory takich
> ciągów, oraz pewne zbiory zbiorów. Bez takich ustaleń dalsza
> rozmowa może przypominać dyskusję ślepych o kolorach, ale cóż,
> jeśli chcesz ...

Teraz to jest "inna rozmowa". Mnie się udało uratować przed pomieszaniem zmysłów, które byłoby pewnym skutkiem kontaktu z takim nagromadzeniem tajemnych hieroglifów, a Tobie (dzięki brakowi czasu) sformułować wyjaśnienia "jadalne" dla publiki (w tym i mnie).
Zniknęła mi z pola widzenia chmara wrażych stworów-aksjomatów, ale czuję, że cwańsza część tych kreatur jeszcze się tu gdzieś ukrywa.

Przyjmijmy jednak, dla uproszczenia sprawy, że przedstawione rozumowanie jest całkowicie indukcyjne za wyjątkiem wspomnianych "aksjomatów początkowych". Czy jako matematyk nie wolałbyś działać w środowisku, w którym i ich by nie było jako arbitralnych nakazów zachowania, a zamiast tego odpowiadające im reguły można by wyprowadzać "z niczego" (to oczywiście metafora empirii, której nie ma zwyczaju kwestionować)? A jakby Kagan przyszedł i znów oświadczył "nie ma zera", to byś mu w odpowiedzi pokazał tegoż zera "akt urodzenia". I on by musiał przełknąć tą gorzką pigułkę, bo choć bywa trochę narwany, to nie będzie dyskutował z empirią. Z nią się nie da dyskutować - jest "jaka jest".

[winoman]

> Teraz to jest "inna rozmowa". Mnie się udało uratować przed
> pomieszaniem zmysłów, które byłoby pewnym skutkiem kontaktu z
> takim nagromadzeniem tajemnych hieroglifów, a Tobie (dzięki
> brakowi czasu) sformułować wyjaśnienia "jadalne" dla publiki (w
> tym i mnie).
> Zniknęła mi z pola widzenia chmara wrażych stworów-aksjomatów, ale
> czuję, że cwańsza część tych kreatur jeszcze się tu gdzieś ukrywa.

Gdybyś jednak zechciał się z nimi bliżej poznać, stwierdziłbyś, że nic bardziej
naturalnego i oczywistego ludzkość dotąd nie wymyśliła.

> Czy jako matematyk nie wolałbyś działać
> w środowisku, w którym i ich [aksjomatów] by nie było jako
> arbitralnych nakazów
> zachowania, a zamiast tego odpowiadające im reguły można
> by wyprowadzać "z niczego" (to oczywiście metafora empirii, której
> nie ma zwyczaju kwestionować)?

Nie traktuję aksjomatów jako "arbitralnych nakazów zachowania", te z którymi
zetknąłem się jako matematyk, z empirii właśnie się brały. Cała historia
matematyki pokazuje jednak dobrze, jakie niebezpieczeństwa czyhają na zbyt
swobodny umysł, pozbawiony rygorów teorii aksjomatycznej.

> byś mu w odpowiedzi pokazał tegoż zera "akt urodzenia". I on by
> musiał przełknąć tą gorzką pigułkę, bo choć bywa trochę narwany,
> to nie będzie dyskutował z empirią.

Tego nie jestem pewien, w końcu to on wychwalał gospodarczy geniusz Gierka ...

[europitek]

winoman napisał:
> Nie traktuję aksjomatów jako "arbitralnych nakazów zachowania", te
> z którymi zetknąłem się jako matematyk, z empirii właśnie się
> brały.

Toś mnie zaciekawił! Możesz podać jakieś proste (jak najprostsze) przykłady?

> Cała historia matematyki pokazuje jednak dobrze, jakie
> niebezpieczeństwa czyhają na zbyt swobodny umysł, pozbawiony
> rygorów teorii aksjomatycznej.

I myślisz, że te "niebezpieczeństwa" i "swoboda" są pochodnymi empirii?

Wychwalanie geniuszy to ryzykowne zajęcie ... zwłaszcza tych politycznych i gospodarczych. Dużo też zależy od tego co uznaje sie za sukces, a co za klęskę. Gdybyśmy tak zignorowali różne ideologiczne wartościowania i np. spróbowali oceny z punktu widzenia demograficznego, to czas Gierka był jednym z najlepszych. A twórców naszego obecnego ustrojstwa powinniśmy skrócić o głowy, zanim zdąża jeszcze coś "ciekawego" wymyśleć. Nic nie jest proste i jednoznaczne (a statystyka jest pierwszą z nauk politycznych - tak ponoć mawiał W.I.Lenin) ... może za wyjątkiem aksjomatów.

[winoman]

> > Nie traktuję aksjomatów jako "arbitralnych nakazów zachowania", te
> > z którymi zetknąłem się jako matematyk, z empirii właśnie się
> > brały.
>
> Toś mnie zaciekawił! Możesz podać jakieś proste (jak najprostsze) przykłady?

Przecież cała geometria Euklidesowa na empirii jest oparta, teoria liczb
naturalnych zresztą też.

Aksjomatyka liczb naturalnych jest szczególnie prosta, streścić można ją tak:

- 1 jest liczbą naturalną,
- każda liczba naturalna ma dokładnie jedną liczbę następną (intuicyjnie, po n
następuje n+1),
- każda liczba naturalna różna od 1 jest następnikiem dokładnie jednej liczby
naturalnej,
- jeśli zbiór zawiera liczbę 1 i wraz z każdą liczbą naturalną zawiera liczbę
następną, to zawiera wszystkie liczby naturalne (zasada indukcji).

To wszystko. Przecież każde z tych stwierdzeń ma źródło w empirii, w
codziennych doświadczeniach z liczeniem. I matematyka nie potrzebuje niczego
więcej, poza liczbami naturalnymi i zbiorami, których aksjomatyka też jest
naturalna, "empirycznie uzasadniona", choć trochę bardziej skomplikowana.

> > Cała historia matematyki pokazuje jednak dobrze, jakie
> > niebezpieczeństwa czyhają na zbyt swobodny umysł, pozbawiony
> > rygorów teorii aksjomatycznej.
>
> I myślisz, że te "niebezpieczeństwa" i "swoboda" są pochodnymi empirii?

Tak, w sensie "robiłem tak setki razy i nic się nie stało, więc jestem
bezpieczny". Różne paradoksy, będące konsekwencją braku krytycznej refleksji
nad podstawami matematyki, pojawiły się po kilkuset latach jej burzliwego i
niczym nie zmąconego rozwoju, po okresie naprawdę wielkich triumfów w XIX wieku.

[europitek]

Teraz rozumiem, ale to jest empiryzm w wersji "lekkiej", Jesteśmy blisko empirii, czuć jej silny "zapach", ale jeszcze jej w pełni nie doświadczamy. To jest, jak sam zauważyłeś, "oparcie na", ale jego sposób jest niejawny. Czujemy, że to "oparcie" jest, ale czy potrafisz je jakoś opisać odwołując się do czegoś konkretniejszego niż fakt istnienia pewnych intuicji.
Na przykład, z czego wynika, że 1 jest liczbą naturalną? Czy istnieje <liczba> (bezprzymiotnikowa)? Dlaczego liczby naturalne mają się różnić o <1> (to intuicyjne n+1)?

A mówiąc ogólniej: dlaczego matematyka ma być zbudowana (a to wielkie gmaszysko) na garści intuicji? Przecież dokładność intuicji jest poza naszą kontrolą.

[petrucchio]

europitek napisał:

> Na przykład, z czego wynika, że 1 jest liczbą naturalną? Czy
> istnieje <liczba> (bezprzymiotnikowa)? Dlaczego liczby naturalne
> mają się różnić o <1> (to intuicyjne n+1)?

Mogę się wtrącić jako lingwista? Jeśli z badania najprostszych systemów
liczebników i z eksperymentów przeprowadzanych na użytkownikach języków ludów
"prymitywnych" coś wynika, to jest to przypuszczenie, że po przodkach
odziedziczyliśmy następujące zdolności wrodzone:

(a) Rozróżnienie trzech nieostrych pojęć kwantyfikujących, które można by
określić jako "mało", "trochę" i "dużo".

(b) Zdolność do szybkiego bezpośredniego porównywania liczebności niewielkich
zbiorów, np. pięciu kamieni i palców jednej ręki. Porównywanie takie działa
uniwersalnie mniej więcej w zakresie 1-3; dla większych zbiorów zdolność
tworzenia klas równoważności zależy od indywidualnych uzdolnień oraz treningu
kulturowego i szybko maleje ze wzrostem liczby elementów.

Pod względem (a) i (b) nie różnimy się zbytnio jako gatunek od wielu ssaków i
ptaków. To "organiczne" liczenie (a właściwie ocena liczby/ilości) wydaje się
naturalną konsekwencją faktu, że układ nerwowy posługuje się raczej rozmytą
logiką sieci neuronowych niż sztywnymi aksjomatami i regułami wnioskowania.


W rozwoju sposobów liczenia widać tendencję do konkretyzacji pojęć z punktu (a),
tak że system "mało, trochę, dużo" ewoluuje w kierunku "jeden, dwa, więcej niż
dwa". Reliktem tego stanu rzeczy jest częste występowanie we fleksji różnych
grup języków kontrastu między liczbą pojedynczą, podwójną i mnogą.

Liczebniki powyżej 2 musiały się konkretyzować stopniowo, w miarę jak nauczono
się nadawać językowe etykietki kolejnym klasom równoważności: 3, 4, 5, np.
wykorzystując nazwy palców ręki. Kolejny przełom to odkrycie dodawania, a zatem
także możliwości addytywnego definiowania liczebników (np. 4=2+2), najpierw w
niewielkim zakresie, potem coraz śmielej, w miarę jak oswojono się z "wielkimi
liczbami". Stąd już bliżej do wykorzystania podstawy liczbowej (zwykle piątkowej
lub dziesiętnej) do definiowania liczebników w sposób już całkiem abstrakcyjny,
np. 6 = 5+1, 7=5+2, ... 10=5+5=2*5 (hej! wynaleźliśmy mnożenie!), 11=2*5+1, I
TAK DALEJ (dopóki się nie pogubimy). Wydaje mi się natomiast, że intuicje
następnika, zera itp., choć elementarne z punktu widzenia systemów
aksjomatycznych, są historycznie dość młode. Ludzie dość późno zdali sobie
sprawę, że liczyć można bez ograniczenia, o ile tylko się wie, jak rozszerzać
system w konsekwentny sposób. Do dziś pamiętam wstrząs intelektualny, jaki
przeżyłem jeszcze w przedszkolu, kiedy dotarło do mnie, że n+1 to ZAWSZE więcej
niż n, i że wynika stąd, że nie może istnieć największa liczba (mój tata,
nauczyciel matematyki, przedstawił mi dowód nie wprost tego nadzwyczajnego faktu).

> A mówiąc ogólniej: dlaczego matematyka ma być zbudowana (a to
> wielkie gmaszysko) na garści intuicji? Przecież dokładność
> intuicji jest poza naszą kontrolą.

Ja widzę liczby naturalne jako coś w rodzaju "twardych" atraktorów, do których w
sposób nieunikniony dążą "miękkie" procesy opisane powyżej.

[europitek]

Właśnie próbowałem "turlać się " powolutku w zbliżonym kierunku, bo bałem się zrazić Winomana. Poziom, który zaproponował jako empiryczny jest rzeczywiście niedaleko od empirii, ale to jednak nie to samo ("prawie robi różnicę"). Dla osób przyzwyczajonych do ciągłego obracania się wśród wielopiętrowych abstrakcji to rzeczywisćie może wyglądać, jak "dno". Ale nim nie jest.

Z drugiej strony na to patrząc, to empiria nie musi być "płaska", jednopoziomowa, lecz może zawierać w sobie pewną liczbą poziomów ogólności, np. aż do momentu, gdy przestajemy operować na obiektach mentalnych mających swoje desygnaty rzeczywiste. A i tu pewnie można się spierać, bo taka granica nie musi być ostra jak żyletka, ale może generować wokół siebie jakiś "pas ziemi niczyjej", na którym jest trochę abstrakcji i trochę konkretności.

[winoman]

Nie bardzo mam czas i siły na kontynuowanie tej rozmowy, jej temat skręca w
stronę daleką od moich obecnych zainteresowań (zawodowym matematykiem byłem
przez ponad 20 lat, ale to już przeszłość), ale te pytania poniżej są na tyle
ciekawe, że kilka słów poświęcę na komentarz.

> Na przykład, z czego wynika, że 1 jest liczbą naturalną? Czy istnieje <licz
> ba> (bezprzymiotnikowa)? Dlaczego liczby naturalne mają się różnić o <1
> > (to intuicyjne n+1)?

Liczby naturalne służą do liczenia, wzięły się zapewne (choć tu petrucchio
pewnie jest bardziej kompetentny) z wyabstrahowania pojęcia równoliczności.
Dlatego też i 1 jako liczba naturalna i fakt różnienia się "kolejnych" liczb
naturalnych o 1 są raczej oczywiste. Pytanie o liczbę bezprzymiotnikową jest
ciekawsze. W myśl dzisiejszej matematyki nie ma czegoś takiego. Obiekty
matematyczne określa się przez podanie ich własności, a własności liczby zależą
od tego, w jakom kontekście tę liczbę rozpatrujemy, jakiego zbioru elementem
jest ta liczba (zbioru liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, zespolonych,
a może liczb "modulo n"). To samo 1 ma w każdym z tych zbiorów zupełnie różne
własności. Matematyka jest bardziej nauką o relacjach między obiektami, a nie o
samych obiektach.

> A mówiąc ogólniej: dlaczego matematyka ma być zbudowana (a to wielkie gmaszysko
> ) na garści intuicji? Przecież dokładność intuicji jest poza naszą kontrolą.

Tyle, że są to intuicje weryfikowane od tysięcy lat i leżące u samych podstaw
naszego widzenia i opisu świata fizycznego.

Pozdrawiam!

[europitek]

winoman napisał:
> Nie bardzo mam czas i siły na kontynuowanie tej rozmowy

Wielka szkoda, ponieważ różna wątpliwości pozostaną. Na przykład:

> Pytanie o liczbę bezprzymiotnikową jest ciekawsze. W myśl
> dzisiejszej matematyki nie ma czegoś takiego.

Brak liczb bezprzymiotnikowych oznacza, że wszystkie uznane w matematyce rodzaje liczb przymiotnikowych nie mają żadnych cech wspólnych, na podstawie których można by utworzyć jedną kategorię obejmującą je wszystkie. Jeśli tak, to pierwszy człon ich nazw jest bez sensu (nie ma żadnej konkretnej treści).

Nie uda się nam też wyjaśnić, dlaczego stwierdzenie:
> Matematyka jest bardziej nauką o relacjach między obiektami, a nie
> o samych obiektach.

jest częściowo błędne.

Szkoda, ale jakoś to przeżyję.

[petrucchio]

europitek napisał:


> Brak liczb bezprzymiotnikowych oznacza, że wszystkie uznane w
> matematyce rodzaje liczb przymiotnikowych nie mają żadnych cech
> wspólnych, na podstawie których można by utworzyć jedną kategorię
> obejmującą je wszystkie. Jeśli tak, to pierwszy człon ich nazw
> jest bez sensu (nie ma żadnej konkretnej treści).

Przesada. Z logicznego punktu widzenia mamy prototyp (liczby naturalne i
elementarne działania, które można na nich wykonywać), po czym dokonujemy
kolejnych rozszerzających uogólnień (zarówno liczb, jak i działań), z których
każde następne zawiera poprzednie. Z punktu widzenia ewolucji memetycznej,
wszystkie liczby "pochodzą" od niewielkich liczb naturalnych (bez zera), które
odkryto najwcześniej. Zatem pojęcie liczby ma sens choćby ewolucyjno/rozwojowy

[europitek]

petrucchio napisał:
> Przesada.

Oczywiście. I wyjaśniłeś dlaczego tak nie jest - nie można wykonać uogólnień informacji całkowicie różnych. Zatem wszystkie liczby przymiotnikowe muszą mieć pewne wspólne cechy, a uogólnienie opisujące tylko te cechy wspólne można nazwać <liczbą> (bezprzymiotnikową).

[winoman]

> Oczywiście. I wyjaśniłeś dlaczego tak nie jest - nie można wykonać
> uogólnień informacji całkowicie różnych. Zatem wszystkie liczby
> przymiotnikowe muszą mieć pewne wspólne cechy, a uogólnienie
> opisujące tylko te cechy wspólne można nazwać <liczbą>
> (bezprzymiotnikową).

Wypowiadasz pewne sądy kategoryczne, ale mam wrażenie, że nie do końca wiesz, o
czym mówisz. Liczby w matematyce (i nie tylko w matematyce) do czegoś służą.
Początkowo zapewne służyły do liczenia, a dokładniej do zliczania różnych
obiektów, to pierwotna funkcja liczb naturalnych, później uogólnionych do liczb
kardynalnych (niektórzy rozszerzają to do liczb porządkowych, ale moim zdaniem
to już jest nieco naciągane). Innym zastosowaniem liczb jest mierzenie, tu po
raz pierwszy pojawiły się liczby niewymierne (Pitagoras), by w końcu doprowadzić
do powstania pojęcia liczby rzeczywistej. Inny obszar, w którym pojawiały się
nowe pojęcia liczb jest rozwiązywanie równań, z liczbami algebraicznymi i
zespolonymi, ale też liczbami p-adycznymi i liczbami modularnymi (liczby "modulo
n"). Pod wieloma względami te bardzo naturalne kierunki rozwoju, czy też
ewolucji, pojęcia liczby, są do siebie ortogonalne i nie potrafię sobie
wyobrazić sensownego pojęcia <liczby>, które by je wszystkie obejmowało, a nie
włączałoby do świata liczb obiektów w oczywisty sposób nie będących liczbami.

[europitek]

winoman napisał:
> Wypowiadasz pewne sądy kategoryczne, ale mam wrażenie, że nie do
> końca wiesz, o czym mówisz.

Więc spróbujmy to ustalić. Zamiast kategorycznych sądów postawię pytanie.
Czy znasz taki rodzaj liczb, które nie mają nic wspólnego ze wszystkimi innymi rodzajami liczb? To znaczy, że nie posiadają one żadnych cech wspólnych z jakimkolwiek innym rodzajem liczb lub ewentualnie istnieje jakaś rodzina rodzajów liczb, która nie ma żadnych cech wspólnych ze wszystkimi rodzajami do niej _nie_należącymi.

Chcę też zwrócić uwagęn a fakt, że aktualny brak zunifikowanego pojęcia <liczby> nie musi oznaczać teoretycznej niemożności jego sformułowania, lecz jedynie jest określonym bieżącym stanem naszej wiedzy. Stanem niekoniecznie niezmiennym.

[winoman]

> Chcę też zwrócić uwagę na fakt, że aktualny brak zunifikowanego
> pojęcia <liczby> nie musi oznaczać teoretycznej niemożności jego
> sformułowania, lecz jedynie jest określonym bieżącym stanem naszej
> wiedzy. Stanem niekoniecznie niezmiennym.

Jest zupełnie inaczej. Pojęcie liczby ma po prostu charakter umowny, ten sam
obiekt raz jest nazywany liczbą, innym razem może być czymś zupełnie innym.
Może bardziej charakterystycznym przykładem jest pojęcie punktu. Czasem
wygodnie jest całkiem skomplikowane obiekty geometryczne (na przykład krzywe)
traktować jako punkty w zupełnie innej przestrzeni, jeśli interesuje nas nie
krzywa jako taka, a jej specyficzne miejsce w pewnym zbiorze krzywych, który w
jakiś naturalny sposób ma charakter geometryczny i poprzez geometrię można go
badać (taki zbiór krzywych określonego rodzaju jest zwykle - nieco to upraszczam
- nazywany przestrzenią moduli krzywych). Najprostszym przykładem będzie tu
przestrzeń rzutowa, w której punktami są proste w innej przestrzeni. Podobnych
przykładów są w matematyce setki.

[europitek]

Rozumiem, że próbujesz uniknąć udzielenia jednoznacznej odpwoeidzi na postawione pytanie. Ze względu na dziedziczną upierdliwość (fakt empiryczny) powtórzę je w innej formie.
Czy mógłbyś potraktować te krzywe jako punkty w zupełnie innej przestrzeni, gdyby te obie przestrzenie nie miały żadnych cech wspólnych, a krzywe i punkty też nie miałyby takich wspólnych cech?