trójkąt na okręgu

IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 29.09.05, 22:24
Mam ciekawe zadanie dla ambitnych:
Wybieramy, w sposób losowy, trzy punkty na okręgu (nieskończona ilość
możliwości).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że te p-ty tworzą trójkąt rozwartokątny?

Dla ułatwienia dodam, że jest kilka sposobów rozwiązania.
    • Gość: Samouk Re: trójkąt na okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 30.09.05, 00:28
      Przekątna kazdego czworokąta wyznaczonego przez 4 punkty okręgu wyznacza dwa
      trójkąty, z ktorych jeden jest ostrokątny i drugi rozwartokątny lub dwa
      trójkąty proatokątne(gdy dwa niekolejne punkty sa końcami
      średnicy).Prawdopodobieństwo,że dwa punkty znajda się ma końcach tej samej
      srednicy jest równe 0 (prawd. geometryczne) Wniosek: Prawdop. otrzymania
      trójkata rozwartokątnego = 1/2

      • Gość: gama Re: trójkąt bez okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 30.09.05, 01:26
        Idziemy dalej - rezygnujemy z okręgu.
        Losujemy trzy p-ty z nieograniczonej płaszczyzny.
        Jakie jest teraz prawd. utworzenia trójkąta rozwartokątnego?
        • Gość: amator Re: trójkąt bez okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 30.09.05, 10:40
          Kazda trójka punktów wyznaczy albo tróikąt ostro, albo rozawrtokątny. Prawd że
          sa współliniowe lub tworza prostokatny jest zero, więć ze rozwartokątny - 1/2
          • Gość: gama Re: trójkąt bez okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 30.09.05, 11:25
            Skąd wiesz, że trójkątów rozwartokątnych
            jest dokładnie tyle samo, co ostrokątnych?
            • Gość: amator Re: trójkąt bez okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 30.09.05, 23:18
              Gość portalu: gama napisał(a):
              > Skąd wiesz, że trójkątów rozwartokątnych
              > jest dokładnie tyle samo, co ostrokątnych?
              Nie wiem i nie będę wiedział, bo jednych i drugich jest nieskończenie wiele,
              ale zakladam,że prawdopodobięństwo zdarzeń:"otrzymam trójkat ostrokątny"
              i "otrzymam trójk. rozwartokątny" są jednakowe. Przyjmuje również ze
              zrozmiałych powodów, że prawd. współliniowości i prostokątności sa równe 0.
              Jest to związane z mocą zbioru puntow plaszczyzny i mocą podzbiorów liniowych
              tej płaszczyzny.
              • Gość: PM Re: trójkąt bez okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 01.10.05, 00:48
                Obawiam się,że amator i jego poprzednik nie mają racji. Proponuję rozwiazac
                takie zadanie:
                W kwadracie o boku dł 1 m i środku S narysowano odcinek AB =20 cm, tak że S
                jest środkiem tego odcinka i odcinek jest rownoległy do boku kwadratu Jakie
                jest prawdopodobięństwo,że po losowym wybraniu w kwadracie punktu C , trójkąt
                ABC okaże się a) - ostrokątnym; b) - rozwartokątnym; c)- prostokątnym?
                Podpowiadam,że P(a)=0,1686
                Dojdziemy do ciekawych wnioskow
                • Gość: gama Re: trójkąt bez okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 01.10.05, 13:46
                  Dokładnie: P(a) = 0.2 - Pi/100
                  To zadanie jest 98.8 razy łatwiejsze:
                  - wszystko można łatwo narysować
                  - losujemy tylko jeden p-t
                  - ograniczony obszar
                  • Gość: PM Re: trójkąt bez okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 01.10.05, 15:47
                    O to chodziło, choć czemu to jest 98,8 razy łatwiejsze - nie wiem. Interesujące
                    jest to,że powiększając kwadrat zmniejszamy prawdopodobieństwo otrzymania
                    trójata ostrokątnego. Dla całej płaszczyżny otrzymanie trójkąta ostrokątnego o
                    danym z góry boku równe jest 0. Pytanie: Jeżeli dla każdego danego odcinka
                    prawdopodobieństwo zbudowania na nim trójkąta ostrokątnego jest 0, to takie
                    samo prawdopodobieństwo dotyczy trójkąta ostrokątnego wyznaczonego przez trzy
                    losowo dobrane punkty?
                    • Gość: gama Re: trójkąt bez okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 01.10.05, 16:57
                      To nie może być prawdą.
                      Proponuję spróbować inaczej:
                      - kwadrat, dla uproszczenia, zastępujemy kołem
                      - jeden p-t ustalamy - środek koła
                      - losujemy dwa pozostałe
                      - później będziemy powiększać promień koła
                      (jakiś limes powinien w tym pomóc), i wtedy ‘światłość się stanie’
    • Gość: gama Re: trójkąt na okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 01.10.05, 18:15
      Niestety, ale pierwsze rozwiązanie, które podał
      Samouk nie jest prawidłowe.
      Lekko mnie zmyliło rozumowanie z czworokątem - jest ono błędne.

      Wynik jest zupełnie inny.
    • Gość: PM Re: trójkąt na okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 02.10.05, 01:32
      Wprowadzenie koła zamiast kwadratu tylko utrudnia rachunki,(powierzchnie części
      koł)ale nie zmienia istoty zagadnienia - dla danego odcinka wynik będze podobny.
      Jeżeli dysponujesz metodą rozwiązania, nie wynikiem(ten może być otrzymany przy
      założeniach podobnych jak u samouka i amatora) bądx uprzejma ją zaprezentować.
      Nie znalazlem metod rowiązania tego typu zagadnień , gdy rozpatrywane zbiory
      maja nieskończoną liczbę elementów i nie sa mierzalne.
      Pozdrawiam!
      • Gość: gamoń Re: trójkąt na okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 02.10.05, 15:27
        Zadanie z trzema punktami A, B i C na okręgu.
        1.Dzielimy koło (360 stopni) na n części i numerujemy je od 0 do n-1
        2.Pierwszy p-t A umieszczamy w części nr 0 (koło możemy sobie obracać)

        3.Drugi p-t B może przyjmować położenia od 0 do n-1,
        z jednakowym prawdopodobieństwem p(B,k) = 1/n;
        4.Jeżeli B jest w k-tej części to, aby otrzymać trójkąt rozwartokątny
        p-t C musi być w jednej z (n-k) części. Daje to prawdop. p(C,k) = (n-k)/n
        dla k < n/2, dla k > n/2 sytuacja się powtarza...
        5.Z 3 i 4 mamy prawdop. warunkowe p(k) = p(B,k)*p(C,k) dla k < n/2,
        później dla k > n/2 będzie powtórka - dlatego ostateczny wynik podwoimy.

        Zatem wynik wygląda tak: 2*(p(1) + p(2) ... p(n/2));
        Wyjdzie tu szereg arytmet. łatwy do zsumowania.

        -----------
        Inny i ładniejszy sposób to zastosowanie całkowania.
        p(B, x) = dx; x = <0,1/2> - cały okrąg to 'odcinek' <0,1)
        p(C, x) = (1-x)
        zatem: p(rozwartego) = 2I(1-a)dx, w granicach 0 do 0.5; I - symbol całki
        ----------

        Oblicz i podaj mi wynik.
        • Gość: Wątpiący Re: trójkąt na okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 02.10.05, 22:35
          Zadanie sprowadzasz do zagadnienia: "jakie jest prawdopodobięństwo,że kąt
          wpisany oparty na cięciwie wyznaczonej przez dwa punkty(losowo dobrane) jest
          ostry?" - co nie jest równoważne ostrokątności trójkąta. Dla n=100 i punktow
          A(0), B(1) jest 98 trójkątów - 2 prostokątne i 96 rozwartokątnych, 0 ostr; dla
          A(0) B(2) " 98 " 2 ' 95 " 1 ' itd
          A(0) B(49) ' 98 " 2 " 48 " 48 "
          A(0) B(50) " 98 " 98 " 0 " 0 "
          i dalej te same liczby w odwrotnym porzadku
          Należy zwrocić uwagę,że przy n=2k+1 nie wystapia trójkaty prostokątne.
          Nawet po wprowadzeniu korekt zadanie dotyczy trójkatów o ustalonym wierzchólku.
          Oczywiście , idea rozwiązania jest słuszna, ale czy efektywna?
          • Gość: gamuś Re: trójkąt na okręgu IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 03.10.05, 00:17
            Interesują nas tylko trójkąty rozwartokątne.

            > Oczywiście , idea rozwiązania jest słuszna, ale czy efektywna?

            Jeżeli chodzi o problem z sumowaniem setek składników,
            to tego tak się nie robi.
            Tam jest szereg arytmetyczny, suma takiego szer. to (pierwszy+ostatni)*ilość/2
            Liczby n nie ruszamy (nie wstawiamy pod nią ani 100, ani 100001, ani 7,
            i 2 też nie), po przekształceniach n znika (skraca się).

            Tak dla formalności: z założenia n = nieskończoność, bo tyle jest punktów.
            Nieskończoność jest parzysta, czy raczej nieparzysta?

            Tak dla wprawy - rozwiąż wariant zadania z trójkątem na płaszczyźnie.
Inne wątki na temat:
Pełna wersja