Wielomiany...

IP: 195.82.167.* 25.02.07, 15:35
Hej, mam tradycyjną prośbę o pomoc w zadanich. Nie jest to bynajmniej zadanie
domowe (toż to ferie mamy!), a araczej moje własne zboczenie domowe :)


Zadanie 1.
Rozłóz wielomian na czynniki:
a) x^6 + 1
b) x^8 + x^4 + 1
    • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 25.02.07, 15:39
      Zadanie 2.
      Rozłóz wielomian na czynniki:
      x^7 + 2x^6 + 6x^4 - 12x^3 + 9x + 18
      • Gość: bimbek Re: Wielomiany... IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 25.02.07, 17:15
        x^7 + 2x^6 + 6x^4 - 12x^3 + 9x + 18 sprawdź, czy przed 12 nie powinien byc + ,
        wtedy możesz pogrupować.I otrzymasz (x+2)(x^3 +3)^2
        • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 26.02.07, 18:07
          Rzeczywiście zrobiłam błąd w przepisywaniu. Tyle że przykład ten powinien
          wyglądać tak:
          x^7 + 2x^6 - 6x^4 - 12x^3 + 9x + 18

          Dzięki :]
          • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 26.02.07, 18:12
            Ale coś mi dalej nie idzie...
            Zrobiłam tak:

            x^7 + 2x^6 - 6x^4 - 12x^3 + 9x + 18 = (x+2)(x^6 - 6x^3 + 9) = (x+2)(x^2-V6x+3)
            ^2 ... a ma wyjść inny wynik... gdzie mam błąd?
            • Gość: Julka Re: Wielomiany... IP: *.internetdsl.tpnet.pl 26.02.07, 18:15
              (x+2)(x^6 - 6x^3 + 9) =(x+2)(x^3-3)^2 (w nawiasie jest kwadrat różnicy)
      • ellipsis Re: Wielomiany... 25.02.07, 23:06
        Istnieją metody rozkładu na czynniki dowolnego wielomianu stopnia niewiększego
        niż 4, ale już dla wielomianów stopnia 3 są one nieprzyjemne...
        www.math.us.edu.pl/~szyjewski/FAQ/wielomia/wzory.htm
        W ogólnym przypadku nie tylko nie ma metody rozkładu wielomianu na czynniki,
        ale wręcz udowodniono, że istnieją wielomiany o współczynnikach całkowitych,
        których _nie_da_się_ rozłożyć na czynniki, w których współczynniki są
        pierwiastkami z liczb wymiernych.
        Nie jesteśmy jednak całkowicie bezradni. Wiemy, że
        ,,jeżeli liczba postaci p/q (gdzie p i q są liczbami całkowite różnymi od zera
        i nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1) jest pierwiastkiem wielomianu
        a_n x^n + ... + a_0
        (gdzie liczby a_n, ..., a_0 są całkowite i a_n<>0), to
        p jest dzielnikiem współczynnika a_0,
        q jest dzielnikiem współczynnika a_n".
        W szczególności jeżeli a_n=1, to wszystkie wymierne pierwiastki danego
        wielomianu są całkowite.
        W Twoim przypadku
        x^7 + 2x^6 + 6x^4 - 12x^3 + 9x + 18
        podstawiamy kolejno -18, -9, -6, ..., 18, przekonując się, że podany wielomian
        nie ma żadnych pierwiastków wymiernych... :( Zapewne bimbek ma rację, że
        współczynnik przy x^3 powinien być równy 12...
    • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 25.02.07, 15:42
      Zadanie 3.
      Udowodnij, że wartość wielomianu x^5 - 5x^3 + 4x dla każdej liczby całkowitej
      jest liczbą podzielną przez 120.
      • Gość: Licealista Re: Wielomiany... IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 25.02.07, 22:24
        x^5 - 5x^3 + 4x =x(x^2-1)(x^2-4)=(x+1)(x+2)x(x-1)(x-2) Mamy iloczy 5. kolejnych
        liczb całkowitych w tym co najmniej jedna dzieli sie przez 2 i co najmniej jedna
        przez 4;co najmniejjedna - przez 3 i dokładnie jedna - przez 5.
        2*4*3*5=120
        • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 26.02.07, 19:16
          No tak, wielkie dzięki:)... ale jeśli dostanę takie zadanie na maturze, to
          chyba muszę to jakoś inaczej rozpisać, nie?...
    • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 25.02.07, 15:46
      Zadanie 4.
      Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej p liczba 1/24 p^4 + 1/4 p^3 + 11/24 p^2
      + 1/4 p jest całkowita.
      • Gość: Licealista Re: Wielomiany... IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 25.02.07, 17:07
        1/24 p^4 + 1/4 p^3 + 11/24 p^2 + 1/4 p =1/24(p^4 + 6p^3 +11p^2 +6p)=
        =1/24* p(p^3 +6p^2+11p +6)=1/24 *p(p+1)(p+2)(p+3)
        Wyrazenie ze zmiennymi jest podzielne przez 24, jeżeli p eC
    • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 25.02.07, 15:48
      Zadanie 5.
      Uzasadnij, że nie istnieje liczba naturalna dodatnia n, dla której liczba n^4 +
      4n^3 + 8n^2 + 16n + 16 byłaby kwadratem pewnej liczby naturalnej.
      • Gość: kolega Re: Wielomiany... IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 25.02.07, 22:31
        n^4 +4n^3 + 8n^2 + 16n + 16 =(n+2)^2 *(n^2 +4)
        n^2 +4 jest kwadratem jedynie dla n=0, a więc dla n >0 drugi czynnik tego
        iloczynu nie jest kwadratem
        • ellipsis Re: Wielomiany... 25.02.07, 23:06
          n^2 +4 jest kwadratem jedynie dla n=0, bo
          n^2 < n^2 + 4 < n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2, gdy n>=2,
          a dla n=1 mamy 1^2+4=5.
    • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 25.02.07, 15:50
      Zadanie 6.
      Rozwiąż równanie:
      a) x^3 - 5x + 2 = 0
      b) x^3 - 4x^2 + 9 = 0
      • ellipsis Re: Wielomiany... 25.02.07, 23:06
        a) Szukamy pierwiastka całkowitego (patrz odpowiedź do innego Twojego pytania;
        tutaj: x=2), a następnie dzielimy nasz wielomian przez x-2, otrzymując trójmian
        kwadratowy.
        b) Analogicznie...
    • Gość: eFF^ Re: Wielomiany... IP: 195.82.167.* 25.02.07, 15:52
      Zadanie ...
      Znajdź liczbę która spełnia oba równania:
      x^3 - 6x^2 + 11x = 6 i x^3 - 4x = 0


      Zrobiłam to i wyszły mi dwie liczby, z czego jedna po sprawdzeni nie spełnia
      tych równań... Gdzieś mam błąd i nie wiem gdzie...
      • Gość: bimbek Re: Wielomiany... IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 25.02.07, 17:19
        Wystarczy,że jedna spełnia - te masz znaleźć.To x=2
    • Gość: Julka Re: Wielomiany... IP: *.internetdsl.tpnet.pl 25.02.07, 21:57
      1) a)x^6 + 1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)
      b) x^8 + x^4 + 1= (x^4+1)^2-x^4=(x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2)

    • ellipsis Re: Wielomiany... 25.02.07, 23:06
      a) Zastosuj wzór skróconego mnożenia
      a^3 + b^3 = (a+b)*(a^2-ab+b^2)
      Skorzystaj z tego, że wielomian stopnia 2 jest nierozkładalny, gdy ma ujemny
      wyróżnik.
      Wielomiany bikwadratowe, tj. wielomiany postaci
      x^4 + b x^2 + c
      rozkładamy na czynniki w następujący sposób:
      1. Jeżeli b^2-4c>=0, to piszemy
      x^4 + b x^2 + c = (x^4 + 2 Vc x^2 + c) + b x^2 - 2 Vc x^2 =
      = (x^2 + Vc)^2 - (2 Vc - b) x^2 =
      = (x^2 + Vc)^2 - [V(2 Vc - b) x]^2 =
      = [x^2 + Vc + V(2 Vc - b) x] * [x^2 + Vc - V(2 Vc - b) x).
      Otrzymane wielomiany stopnia 2 rozkładamy ewentualnie (gdy ich wyróżnik jest
      nieujemny) na czynniki stopnia 1.
      - przykład -
      x^4 - x^2 + 1 = (x^4 + 2 x^2 + 1) + x^2 - 2 x^2 =
      = (x^2 + 1)^2 - x^2 =
      = (x^2 + 1 + x) * (x^2 + 1 - x).
      2. W przeciwnym przypadku albo rozwiązujemy podstawiamy t=x^2 i rozkłądamy
      wielomian
      t^2 + bt + c
      na czynniki (wyróżnik tego wielomianu jest dodatni!), albo piszemy
      x^4 + b x^2 + c = (x^4 + b x^2 + c^2/4) + c - b^2/4 =
      = (x^2 + b/2)^2 - [V(b^2/4-c)]^2 =
      = [x^2 + b/2 - V(b^2/4-c) x] * [x^2 + b/2 + V(b^2/4-c) x].
      b) Podstaw t=x^2 i zastosuj metodę z punktu a)2. Otrzymasz dwa wielomiany
      stopnia 2 zmiennej t, a więc stopnia 4 zmiennej x. Następnie jeszcze po dwakroć
      metoda z punktu a)2...
Inne wątki na temat:
Pełna wersja