Dodaj do ulubionych

optymalizacja

IP: *.chello.pl 06.03.07, 23:35
czy moze ktos mi pomóc w zadaniu:
W jakim punkcie paraboli y=(x^2) - 1, nalezy poprowadzic styczna, aby trójkat
ogranczony ta styczna i osiami układu współrzędnych miał najmniejsze pole??

Z góry dzieki za pomoc i mam nadzieje proste wytłumaczenie:D
Obserwuj wątek
    • ellipsis Re: optymalizacja 07.03.07, 00:46
      1. Ustalamy argument a.
      2. Wyznaczamy równanie stycznej w punkcie (a,a^2-1). Przyjmujemy początkowo, że
      jest to równanie
      y = mx + n.
      a) Współczynnik kierunkowy tej stycznej to pochodna naszej funkcji w punkcie x, tj.
      m = 2a
      b) Styczna przechodzi przez punkt (a,a^2-1), więc
      a^2-1 = ma + n
      Stąd
      n = a^2 -1 - ma = a^2 -1 - 2a^2 = -a^2 - 1
      Zatem styczna ma równanie
      (*) y = 2a x - a^2 -1
      3. Znajdujemy punkty przecięcia stycznej z osiami. Innymi słowy, podstawiamy w
      równaniu stycznej (*) najpierw x=0 i znajdujemy y (przecięcie z osią OY), a
      następnie y=0 i znajdujemy x (przecięcie z osią OX). Otrzymamy punkty
      (0,-a^2-1) i ((a^2+1)/(2a),0)
      Zauważamy przy okazji, że a musi być różne od 0. (Styczna w punkcie (0,-1) jest
      równoległa do osi OX.)
      4. Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a^2+1
      (pionowa) i (a^2+1)/(2|a|) (pozioma). Trójkąt ten ma pole
      P(a) = 1/2 * (a^2+1)^2 / (2|a|)
      5. Zauważamy, że funkcja P jest parzysta, wobec czego możemy założyć, że a>0.
      (Będziemy pamiętać, że symetryczne rozwiązanie otrzymamy rozważając punkt
      symetryczny względem osi OY.) Mamy zatem funkcję
      P(a) = (a^2+1)^2 / (4a)
      6. Obliczamy pochodną
      P'(a) = ...
      7. Przyrównujemy pochodną do zera, wyznaczając stąd a:
      P'(a) = 0 => ... => a = -1/V3 lub a = 1/V3.
      Rozwiązanie a = -1/V3 odrzucamy, bo założyliśmy,że a>0.
      8. Dowolnym sposobem (np. badając znak P') stwierdzamy, że funkcja P ma w
      punkcie 1/V3 minimum.
      9. Przypominając uwagę z p. 5 udzielamy prawidłowej (mam nadzieję...) odpowiedzi:
      (...) w punkcie (-1/V3, -2/3) lub w punkcie (1/V3, -2/3).
    • Gość: bimbek Re: optymalizacja IP: 195.117.116.* 07.03.07, 01:14
      Równanie stycznej do wykresy funkcji f(x) w punkcie o odciętej c ma postać:
      y-f(c)=f'(c)*(x-c)
      U ćiebie f(x)=x^2 -1; f'(x)=2x Równanie prostej przybiera postać
      y-c^2 +1=2c(x-c) <=> y=2cx - c^2 -1 prosta ta przecina osie układu w punktach
      A(0;-1-c^2), B((c^2+1)/2c;0) Pole trójkata ABO =[(c^2+1)^2]/4c
      Wyznacz ekstremum tej funkcji. Otrzymasz je dla c=V3/3 lub c=-V3/3

Popularne wątki

Nie pamiętasz hasła

lub ?

 

Nie masz jeszcze konta? Zarejestruj się

Nakarm Pajacyka