Kąt trójścienny i prostopadłe

27.03.07, 01:05
Wykazać,że jeżeli na ścianach kąta trójściennego, które nie są katami
prostymi, nakreślimy proste prostopadłe do przeciwległych krawedzi, to
wszystkie te proste są równoległe do pewnej płaszczyzny.
    • pamusz Uścislenie 27.03.07, 01:25
      Przepraszam, zamiast "które nie są kątami prostymi" powinno być: "z ktorych
      żadna nie jest kątem prostym".
    • ellipsis A czy można stosować iloczyn wektorowy? 28.03.07, 15:27
      Niech O będzie wierzchołkiem, a a, b i c wektorami kierunkowymi półprostych
      tego kąta. Zbierzmy informację o wektorze kierunkowym pierwszej z prostych
      wymienionych w zadaniu:
      a) przechodzi przez punkt O,
      b) jest prostopadły do wektora c,
      c) leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez punkt O i wektory a i b.
      Punkt c) można zapisać inaczej:
      c') jest prostopadły do wektora prostopadłego do płaszczyzny wyznaczonej przez
      punkt O i wektory a i b,
      albo jeszcze inaczej
      c'') jest prostopadły do wektora a x b.
      Łącząc b) i c'') otrzymamy
      d1) jest równoległy do wektora (a x b) x c.
      (Tutaj właśnie korzystamy z założenia, że żadna ze ścian naszego kąta
      trójściennego nie jest kątem prostym - dzięki temu powyższy iloczyn wektorowy
      nie jest wektorem zerowym i wyznacza jednoznacznie pierwszą prostą.)
      Podobnie otrzymamy, że wektor kierunkowy drugiej z prostych wymienionych w zadaniu:
      a) przechodzi przez punkt O,
      d2) jest równoległy do wektora (a x c) x b,
      a wektor kierunkowy trzeciej z prostych wymienionych w zadaniu:
      a) przechodzi przez punkt O,
      d3) jest równoległy do wektora a x (b x c).
      Trzy wektory zaczepione w jednym punkcie leżą w jednej płaszczyźnie, jeżeli
      iloczyn mieszany ich wektorów kierunkowych jest równy 0. Sprawdzamy
      (((a x b) x c) x ((a x c) x b)) . (a x (b x c)) = ... =
      = ... =
      = ... =
      = ... = 0.
      Zapewne istnieje prostsza (bardziej geometryczna) metoda rozwiązania tego
      zadania. Natomiast powyższa na pewno jest skuteczna, a przy tym pozwala
      poćwiczyć umiejętności upraszczania wyrażeń algebraicznych! ;) (Innymi słowy:
      jest dość żmudna... :( )
      • Gość: Joa Re: A czy można stosować iloczyn wektorowy? IP: 195.117.116.* 29.03.07, 01:51
        Wydaje mi sie,że mozna też zrobić tak; Niech wierzchołkiem kąta trójsiennego
        będzie punkt A. Obierzmy na jednej z krawędzi punkt B i poprowadąmy na ścianach
        zawierających tę krawędź, proste prostopadłe do przeciwległych krawędzi. Proste
        te wyznaczają odcinki BC i BD na odpowiednich ścianach o krawedzi AB
        Płaszczyzna BCD odcina cczworościan ABCD przy czym wektor BC i AD sa
        prostopadłe,jak rownież wektory BD i AC
        Wykażemy,ze wektory CD i AB sa również prostopadłe
        Dla dowolnych czterech pynktów A,B,C,D zachodzi związek AB*CD+AC*DB+AD*BC=0
        gdzie AB*CD oznacza iloczyn skalarny wektorów AB i CD itd .Ponieważ dwa
        ostatnie iloczyny skalarne w naszym czworościanie są równe zero(wektory sa
        prostopadłe), wiec i trzeci iloczyn skalarny jest zerem. a to oznacza,że wektory
        CD i AB są prostopadłe . Wektory BC,CD,DA leżą w jednej płaszczyźnie. Wszystkie
        proste spełniajace warunek zadania będą równoległe do tej płaszczyzny.
        Ta metoda nie jest tak przekształceniochłonna, za to utrwala przekonanie o
        pozytku plynacego z twierdzenia o "czterech punktach"
        • pamusz Re: A czy można stosować iloczyn wektorowy? 31.03.07, 21:58
          Bardzo ładne rozwiązania. To jeszcze jedno zadanie:
          Wykazać,że jeżeli dwusieczne dwóch katów płaskich kata trójściennego są
          prostopadłe, to i trzecia dwusieczna jest do nich prostopadła.
          • ellipsis To łatwe... :) 02.04.07, 11:16
            Oznaczmy _wersory_ (tj. wektory p długości 1) krawędzi naszego kąta
            trójściennego literami a, b i c. Wtedy:
            a . a = 1,
            b . b = 1,
            c . c =1.
            Wektory kierunkowe kątów płaskich będą równoległe do wektorów
            a+b (ściana wyznaczona przez wektory a i b),
            a+c (ściana wyznaczona przez wektory a i c),
            b+c (ściana wyznaczona przez wektory b i c).
            Z warunków zadania
            (a+b) . (a+c) = 0.
            Sprawdzamy teraz, czy wektory a+b i b+c są prostopadłe:
            (a+b) . (b+c) = a . b + a . c + b . b + b . c =
            = b . b + a . c + b . a + b . c = a . a + a . c + b . a + b . c =
            = (a+b) . (a+c) = 0.
            Podobnie możemy wykazać, że (a+c) . (b+c) = 0.
            • pamusz Re: To łatwe... :) 02.04.07, 14:49
              Oznaczmy _wersory_ (tj. wektory p długości 1) krawędzi naszego kąta
              > trójściennego literami a, b i c. Wtedy:
              > a . a = 1,
              > b . b = 1,
              > c . c =1.
              Nie bardzo rozumiem te zapisy. Czemu iloczyn dwóch wersorów ma byc równy 1?
              Oznaczmy wierzchołek kąta przez W,a końce wprowadzonych przez ciebie wersorów
              odpowiednio rzez A,B.C. Niech K,L,M będą odpowiednio środkami odcinków AB,BC,CA
              Odcinki WK,WL i WM sa dwusiecznymi odpowiednich katów trójkatów (wysokosci
              trójkatów równoran\miennych) Przy czym wektor WK=(a+b)/2, w.WL=(b+c)/2 i
              w.WM=(c+a)/2 zZałózmy że WK i WL sa prostopadłe- mamy wykazac że WK i WM są
              prostopadłe
              WK*WL=0 <=>(a+b)*(b+c)=0 <a*b+a*c+1+b*c=0
              WK*WM=(a+b)*(c+a)/4=(a*c+1+b*c+b*a)/4=(a*b+a*c+1+b*c)/4=0( na podstawie
              poprzedniego) a to oznacza ze niezerowe wektory WK i WM sa prostopadłe.
              Identycznie WL*WM=0
              • ellipsis Re: To łatwe... :) 02.04.07, 18:12
                Iloczyn skalarny wektora przez siebie to kwadrat jego długości...
              • ellipsis Re: To łatwe... :) 02.04.07, 18:17
                Iloczyn skalarny wektora przez siebie to kwadrat jego długości...
                • pamusz Re: To łatwe... :) 02.04.07, 18:40
                  Oczywiście, sam to wykorzystuje w rozwiązaniu.Pisałem zaraz o tym po pierwszym
                  poście, ale nie wkleił się, czego nie zauważyłem. Zasugerowałem się,że to
                  iloczyn wersorów, a nie kwadrat wersora.
                  Co to za pojęcie"wektor kierunkowy kata płaskiego"? Domyślam sie,że to wektor
                  lezący na dwusiecznej kata, ale termin jest mi obcy. Wektor kierunkowy
                  płaszczyzny jest do niej prostopadły, a ten -jak piszesz -jest równoległy. Jaki
                  jest sens takiego pojęcia?
                  • ellipsis Re: To łatwe... :) 03.04.07, 00:09
                    > Co to za pojęcie"wektor kierunkowy kata płaskiego"?
                    Chodziło mi oczywiście o wektor kierunkowy _dwusiecznej_ kata płaskiego... :(
                    Ja podałem wektor a+b, Ty wolałeś wektor (a+b)/2...
Inne wątki na temat:
Pełna wersja