pamusz 27.03.07, 01:05 Wykazać,że jeżeli na ścianach kąta trójściennego, które nie są katami prostymi, nakreślimy proste prostopadłe do przeciwległych krawedzi, to wszystkie te proste są równoległe do pewnej płaszczyzny. Odpowiedz Link Zgłoś czytaj wygodnie posty
pamusz Uścislenie 27.03.07, 01:25 Przepraszam, zamiast "które nie są kątami prostymi" powinno być: "z ktorych żadna nie jest kątem prostym". Odpowiedz Link Zgłoś
ellipsis A czy można stosować iloczyn wektorowy? 28.03.07, 15:27 Niech O będzie wierzchołkiem, a a, b i c wektorami kierunkowymi półprostych tego kąta. Zbierzmy informację o wektorze kierunkowym pierwszej z prostych wymienionych w zadaniu: a) przechodzi przez punkt O, b) jest prostopadły do wektora c, c) leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez punkt O i wektory a i b. Punkt c) można zapisać inaczej: c') jest prostopadły do wektora prostopadłego do płaszczyzny wyznaczonej przez punkt O i wektory a i b, albo jeszcze inaczej c'') jest prostopadły do wektora a x b. Łącząc b) i c'') otrzymamy d1) jest równoległy do wektora (a x b) x c. (Tutaj właśnie korzystamy z założenia, że żadna ze ścian naszego kąta trójściennego nie jest kątem prostym - dzięki temu powyższy iloczyn wektorowy nie jest wektorem zerowym i wyznacza jednoznacznie pierwszą prostą.) Podobnie otrzymamy, że wektor kierunkowy drugiej z prostych wymienionych w zadaniu: a) przechodzi przez punkt O, d2) jest równoległy do wektora (a x c) x b, a wektor kierunkowy trzeciej z prostych wymienionych w zadaniu: a) przechodzi przez punkt O, d3) jest równoległy do wektora a x (b x c). Trzy wektory zaczepione w jednym punkcie leżą w jednej płaszczyźnie, jeżeli iloczyn mieszany ich wektorów kierunkowych jest równy 0. Sprawdzamy (((a x b) x c) x ((a x c) x b)) . (a x (b x c)) = ... = = ... = = ... = = ... = 0. Zapewne istnieje prostsza (bardziej geometryczna) metoda rozwiązania tego zadania. Natomiast powyższa na pewno jest skuteczna, a przy tym pozwala poćwiczyć umiejętności upraszczania wyrażeń algebraicznych! ;) (Innymi słowy: jest dość żmudna... :( ) Odpowiedz Link Zgłoś
Gość: Joa Re: A czy można stosować iloczyn wektorowy? IP: 195.117.116.* 29.03.07, 01:51 Wydaje mi sie,że mozna też zrobić tak; Niech wierzchołkiem kąta trójsiennego będzie punkt A. Obierzmy na jednej z krawędzi punkt B i poprowadąmy na ścianach zawierających tę krawędź, proste prostopadłe do przeciwległych krawędzi. Proste te wyznaczają odcinki BC i BD na odpowiednich ścianach o krawedzi AB Płaszczyzna BCD odcina cczworościan ABCD przy czym wektor BC i AD sa prostopadłe,jak rownież wektory BD i AC Wykażemy,ze wektory CD i AB sa również prostopadłe Dla dowolnych czterech pynktów A,B,C,D zachodzi związek AB*CD+AC*DB+AD*BC=0 gdzie AB*CD oznacza iloczyn skalarny wektorów AB i CD itd .Ponieważ dwa ostatnie iloczyny skalarne w naszym czworościanie są równe zero(wektory sa prostopadłe), wiec i trzeci iloczyn skalarny jest zerem. a to oznacza,że wektory CD i AB są prostopadłe . Wektory BC,CD,DA leżą w jednej płaszczyźnie. Wszystkie proste spełniajace warunek zadania będą równoległe do tej płaszczyzny. Ta metoda nie jest tak przekształceniochłonna, za to utrwala przekonanie o pozytku plynacego z twierdzenia o "czterech punktach" Odpowiedz Link Zgłoś
pamusz Re: A czy można stosować iloczyn wektorowy? 31.03.07, 21:58 Bardzo ładne rozwiązania. To jeszcze jedno zadanie: Wykazać,że jeżeli dwusieczne dwóch katów płaskich kata trójściennego są prostopadłe, to i trzecia dwusieczna jest do nich prostopadła. Odpowiedz Link Zgłoś
ellipsis To łatwe... :) 02.04.07, 11:16 Oznaczmy _wersory_ (tj. wektory p długości 1) krawędzi naszego kąta trójściennego literami a, b i c. Wtedy: a . a = 1, b . b = 1, c . c =1. Wektory kierunkowe kątów płaskich będą równoległe do wektorów a+b (ściana wyznaczona przez wektory a i b), a+c (ściana wyznaczona przez wektory a i c), b+c (ściana wyznaczona przez wektory b i c). Z warunków zadania (a+b) . (a+c) = 0. Sprawdzamy teraz, czy wektory a+b i b+c są prostopadłe: (a+b) . (b+c) = a . b + a . c + b . b + b . c = = b . b + a . c + b . a + b . c = a . a + a . c + b . a + b . c = = (a+b) . (a+c) = 0. Podobnie możemy wykazać, że (a+c) . (b+c) = 0. Odpowiedz Link Zgłoś
pamusz Re: To łatwe... :) 02.04.07, 14:49 Oznaczmy _wersory_ (tj. wektory p długości 1) krawędzi naszego kąta > trójściennego literami a, b i c. Wtedy: > a . a = 1, > b . b = 1, > c . c =1. Nie bardzo rozumiem te zapisy. Czemu iloczyn dwóch wersorów ma byc równy 1? Oznaczmy wierzchołek kąta przez W,a końce wprowadzonych przez ciebie wersorów odpowiednio rzez A,B.C. Niech K,L,M będą odpowiednio środkami odcinków AB,BC,CA Odcinki WK,WL i WM sa dwusiecznymi odpowiednich katów trójkatów (wysokosci trójkatów równoran\miennych) Przy czym wektor WK=(a+b)/2, w.WL=(b+c)/2 i w.WM=(c+a)/2 zZałózmy że WK i WL sa prostopadłe- mamy wykazac że WK i WM są prostopadłe WK*WL=0 <=>(a+b)*(b+c)=0 <a*b+a*c+1+b*c=0 WK*WM=(a+b)*(c+a)/4=(a*c+1+b*c+b*a)/4=(a*b+a*c+1+b*c)/4=0( na podstawie poprzedniego) a to oznacza ze niezerowe wektory WK i WM sa prostopadłe. Identycznie WL*WM=0 Odpowiedz Link Zgłoś
ellipsis Re: To łatwe... :) 02.04.07, 18:12 Iloczyn skalarny wektora przez siebie to kwadrat jego długości... Odpowiedz Link Zgłoś
ellipsis Re: To łatwe... :) 02.04.07, 18:17 Iloczyn skalarny wektora przez siebie to kwadrat jego długości... Odpowiedz Link Zgłoś
pamusz Re: To łatwe... :) 02.04.07, 18:40 Oczywiście, sam to wykorzystuje w rozwiązaniu.Pisałem zaraz o tym po pierwszym poście, ale nie wkleił się, czego nie zauważyłem. Zasugerowałem się,że to iloczyn wersorów, a nie kwadrat wersora. Co to za pojęcie"wektor kierunkowy kata płaskiego"? Domyślam sie,że to wektor lezący na dwusiecznej kata, ale termin jest mi obcy. Wektor kierunkowy płaszczyzny jest do niej prostopadły, a ten -jak piszesz -jest równoległy. Jaki jest sens takiego pojęcia? Odpowiedz Link Zgłoś
ellipsis Re: To łatwe... :) 03.04.07, 00:09 > Co to za pojęcie"wektor kierunkowy kata płaskiego"? Chodziło mi oczywiście o wektor kierunkowy _dwusiecznej_ kata płaskiego... :( Ja podałem wektor a+b, Ty wolałeś wektor (a+b)/2... Odpowiedz Link Zgłoś