różne zadanie z egzamiów wstępnych...

IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 21.02.08, 19:23
zad1
wykazać, że trójki liczb (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) są jedynymi rozwiązaniami układu równań

x+ y+ z=1
x^2+ y^2+ z^2= 1
x^3+y^3+z^3=1


zad2
niech H oznacza punkt przecięcia się wysokości trójkąta ABC. wykazać, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ABC, AHB, BHC, AHC są równe.


zad3

15 dziewcząt, biorących udział w wycieczce, zakwaterowano(w sposób losowy) w pięciu trzyosobowych pokojach. obliczyć prawdopodobieństwo, że trzy przyjaciółki:Halszka, Beatka, iBasia znajdą się w tym samym pokoju.

zad4
w czworościanie foremnym ABCD punkty P, Q,R,S są środkami krawędzi różnych od AB i CD.
udowodnić, że punkty te leżą na jednej płaszczyźnie dzielącej czworościan na dwie bryły o równych objętościach.

zad5 na okręgu umieszczono 8 różnych punktów. kreślimy losowo cztery różne odcinki o końcach w tych punktach. obliczyć prawdopodobieństwo, że narysujemy czworokąt wypukły


z góry dziękuje.
    • ellipsis Re: różne zadanie z egzamiów wstępnych... 21.02.08, 22:50
      Zad. 1.
      Zauważ, że
      (*) xy + xz + yz = 1/2 * [(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)] = 0,
      wobec czego
      xyz = 1/3 * [(x^3+y^3+z^3) + 3*(xy+xz+yz)*(x+y+z) - (x+y+z)^3] = 0.
      Zatem
      x = 0 lub y = 0 lub z = 0.
      Przyjmijmy, że x=0. (Pozostałe przypadki są analogiczne.) Wtedy z (*)
      yz = 0,
      a więc dodatkowo
      y = 0 lub z = 0.
      Niech np. y=0. (Drugi przypadek jest analogiczny.) Pozostaje nam sprawdzić, że
      tylko z=1 spełnia układ
      z = 1
      z^2 = 1
      z^3 = 1
      • pam31 Re: różne zadanie z egzamiów wstępnych... 22.02.08, 20:57
        Wszystkich odcinków wyznaczonych przez te 8 punktów jest C(2 z 8)=28 a
        wszystkich czwórek odcinków C(4 z 28) Każdy czworokąt o wierzchołkach w danych
        punktach wyznaczony jest przez 4 cięciwy okręgu, które mają kolejne końce
        wspólne. Ponumerujmy punkty na okręgu1,2,3 ...8 i każdy czworokąt opisany jest
        podzbiorem niemalejących numerów , np czworokąt 3578 wyznaczony jest przez
        cięciwy łączące punkty 35,57,78,83. czworokąt 8542 to ,oczywiście 2458.
        Czworokątów (sprzyjających czwórek) jest tyle ile kombinacji C(4 z 8) i szukane
        prawdopodobieństwo wynosi C(4 z 8)/C(4 z 28)=2/585
    • ellipsis Re: różne zadanie z egzamiów wstępnych... 21.02.08, 23:10
      Zad. 3.
      Przyjmijmy, że pokoje są numerowane, a miejsca w pokojach nie. Wtedy
      Omega = { ({x_1,x_2,x_3}, ..., {x_13, x_14, x_15}) | {x_1, ..., x_15 = {1, ...,
      15} }.
      Aby wyznaczyć moc zbioru Omega, wybieramy najpierw 3 osoby z 15 do pierwszego
      pokoju, potem kolejne 3 do drugiego pokoju spośród pozostałych 12, potem kolejne
      3 do trzeciego pokoju spośród pozostałych 9 i na koniec kolejne 3 do czwartego
      pokoju spośród pozostałych 6. (Pozostałe 3 osoby umieszczamy w piątym pokoju.)
      Liczby te mnożymy.
      Aby obliczyć moc zdarzenia sprzyjającego najpierw ustalamy dowolny pokój z
      pięciu dla przyjaciółek, a następnie analogicznie jak wyżej rozmieszczamy
      pozostałe 12 osób w czterech pozostałych pokojach.
      Odp. P(A) = 1/91.
    • pam31 Re: różne zadanie z egzamiów wstępnych... 22.02.08, 16:58
      zad2
      >niech H oznacza punkt przecięcia się wysokości trójkąta ABC. >wykazać, że
      promienie okręgów opisanych na trójkątach ABC, AHB, BHC, >AHC są równe.
      Niech AA', BB', CC' będa wysokościami trójkąta ABC. W czworokącie A'CB'H kat
      <A'HB'=pi-<A'CB'=pi-<C
      |BC|/sin(<A'HB'))=|BC|/sin(pi-C)=|BC|/sinC=2R o to oznacza( z tw sinusów),że
      okrąg opisany na trójkącie AHB ma średnicę taka, jak okrąg opisany na trójkacie
      ABC. Analogicznie dla pozostałych trójkątow
      zad4
      >w czworościanie foremnym ABCD punkty P, Q,R,S są środkami krawędzi >różnych od
      AB i CD.
      >udowodnić, że punkty te leżą na jednej płaszczyźnie dzielącej >czworościan na
      dwie bryły o równych objętościach.
      Niech P,Q.R,S będa odpowiednio środkami krawedzi AD, BD, BC, BA
      W trójkącie ABD mamy PQ||AB i |PQ|=|AB|/2 (tw o odcinku łączącym środki dwóch
      boków trójkata). podobnie w tr.ABC; SC||AB i |SC|=|AB|/2
      mamy więc PQ||SR i |PQ|=|SR|tzn czworokąt PQRS jest równoległobokiem, wiec jego
      wierzchołki leża w jednej płaszczyźnie.ponieważ |QR|=|PS|=|DC|/2=|AB|/2 -
      przekrój jest rombem. Ponieważ AB i DC są prostopadłe - PQSR jest
      kwadratem.Otrzymane bryły maja jednakowe objętości, gdyż jedna z nich jest
      obrazem drugiej w złożeniu obrotu i symetrii
      zad5
      > na okręgu umieszczono 8 różnych punktów. kreślimy losowo cztery >różne odcinki
      o końcach w tych punktach. obliczyć >prawdopodobieństwo, że narysujemy czworokąt
      wypukły
      Nie jest jasne, czy boki czworokąta mają być cięciwami, czy mogą być odcinkami
      cięciw.
    • tadpod Re: różne zadanie z egzamiów wstępnych... 22.02.08, 19:01
      5.Zauważ , że każde 4 punkty okręgu są wierzchołkami 3-ech różnych
      czworokątów, z których tylko jeden jest wypukły, zatem wzystkich
      czworokątów mamy 3(C8po4), wśród których C8po4 jest wypukłych, zatem
      szukane prawdopodobieństwo p=(C8po4):(3C8po4)=1:3 (jedna trzecia)
      • Gość: kolega Re: różne zadanie z egzamiów wstępnych... IP: 195.117.116.* 22.02.08, 19:38
        Punkty ABCD na okręgu dają dokładnie jeden czworokąt wypukły. ACDBA jest łamaną
        wiązaną zamkniętą i brzeg nowo otrzymanej figury nie dzieli płaszczyzny na dwa
        obszary.Można powiedzieć,ze wybor czterech punktów jest wyborem sześciu
        cięciw(bo o cięciwach tu mówimy)z których tylko cztery wyznaczaja
        czworokąt.Problem w tym,ze niektóre czwórki punktów maja po Trzy wspólne odcinki
        - np z kolenych punktów A,B,C,D,E czworokąty ABCD i ABCE mają wspólne AB ,AC i
        BC - zaś inne tylko jeden lub dwa. Mam inny wynik, ale jeszcze go sprawdzam.
        • pam31 Re: różne zadanie z egzamiów wstępnych... 22.02.08, 21:05
          Ładpodzie! Twój wynik 1/3 byłby do przyjęcia, gdyby wybierano cztery punkty, a
          nie cztery odcinki. Przy wyborze czterech odcinków mogą być zaangażowane 4
          punkty, ale także 5,6,7 i nawet 8 punktów i czworokąt w ogóle nie
          wystąpi.Obejrzyj rozwiazanie pam31.
Pełna wersja