Koza, stajnia i trawa

03.04.05, 04:40
Na pastwisku stoi stajnia o wymiarach 30x30 m z wejsciem w strone Polnocy.
Z polnocno -wschodniego rogu tej stajni mamy plot w kierunku wschodnim o
dlugosci 40m.Do poludniowo- wschodnieo rogu stajni przywiazana jest koza
sznurem dlugosci 100m.
Znalesc powierzchnie trawy dostepnej dla kozy.
    • Gość: absinth1234 Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.internetdsl.tpnet.pl 03.04.05, 12:26
      Moim zdaniem jest za mało danych.
      Brakuje mi:
      1. czy koza jest wewnątrz czy zewnątrz stajni
      2. czy trawa jest też w stajni
      3. jakiej wielkości i w którym miejscu na północnej ścianie umieszczone są drzwi
      • Gość: eMPiotr Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.pl / *.zlo.cxt.pl 03.04.05, 16:28
        Uważam, że koza przymocowana jest na zewnatrz stajni(i tak moze do niej wejsc,
        bez względu na to gdzie na pn. scianie sa drzwi), a w stajni trawa nie rośnie.
        Stąd tez wielkość drzwi jest nieistotna. Pozdrawiam PM.
        • Gość: eMPiotr Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.pl / *.zlo.cxt.pl 03.04.05, 20:24
          Koza na pewno uwiązana jest na zewnątrz.
          Bo:
          "Z polnocno-wschodniego rogu tej stajni mamy płot ...'
          a
          "Do poludniowo-wschodniego rogu stajni przywiazana jest koza..."

          płot jest na zewnątrz to i koza też jest na zewn.

          Zresztą jakby była uwiązana wewnątrz to byłaby przymocowana
          do kąta stajni. Pzdr. PM
          • republican Re: Koza, stajnia i trawa 03.04.05, 21:01
            Masz racje Piotrus.
            Paswisko jest idealnie plaskie, sznur nieskonczenie gietki i
            nierozciagalny,plot i stajnia sa nieskonczenie sztywne.Koza jest idealnym
            punktem bez wymiarow.
    • Gość: Apocal Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.crowley.pl 04.04.05, 11:43
      Mi wyszło 27367,47 cm*cm

      dobrze czy źle?
      • Gość: Apocal Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.crowley.pl 04.04.05, 11:45
        Oczywiście, m*m
        • republican Re: Koza, stajnia i trawa 06.04.05, 02:03
          Cieplo, ale powiedz nam jak doszedles do tej odpowieedzi?
          • Gość: Apocal Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.crowley.pl 06.04.05, 09:55
            Rysunek tego zadania wyglada tak:

            +---+--------
            | |
            +---*

            gdzie * to koza

            teraz bierzemy kartke w kratke i rysujemy odpowiednie ćwiartki okręgów.
            wszyskie wymiary w zadaniu są tak wybrane, że najważniejsze punkty zawsze
            wychodzą na przecięciu linii. problem pojawia sie dopiero na górze stodoły
            gdzie koza ma dostęp zarówno z lewej jak i z prawej strony.

            trochę trudno to oddac na rysunku

            teraz dotrzymany obszar należy podzielić na obszary łatwe do całkowania -
            oczywiście nie wszystko trzeba całkować, te obszary to:
            obszar pod stodołą:
            0,5 pola koła o promieniu 100

            obszar na lewo od stodoły:
            0,25 pola koła o promieniu 70

            teraz pole częsci koła, które znajduje się dokładnie nad stodołą:
            całka od 0 do 30 z f-cji sqrt(40^2-x^2) po dx

            pole nad płotem
            całka od 0 do 40 z f-cji sqrt(50^2-x^2) po dx

            pole prostokata pod plotem
            30 * 40

            teraz rysujemy wirtualne przedłużenie płotu w tym samym kiedynku o 40 m

            pole nad wirtualnym płotem jest takie samo jak nad płotem rzeczywistym
            pole pod wirtualnym płotem jest takie samo jak pod płotem rzeczywistym

            otsatni fragment jaki nam został to
            całka od 80 do 100 z f-cji sqrt(100^2-x^2) po dx

            zakładamy, że w stodole nie ma trawy

            po wycałkowaniu i dodaniu otrzymamy pole trawy.

            dla ułatwienia dodam, że:

            całka sqrt(a^2 - x^2) = 0,5*(x*sqrt(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin(x/a))

            możliwe, że popełniłem jakieś błędy przy obliczeniach ale idea wydaje mi się
            być dobra - jesli nie to proszę mi powiedzieć gdzie jest błąd.

            pozdrawiam

            • republican Re: Koza, stajnia i trawa 07.04.05, 02:56
              Bravo!
              Roznica jeat nieistotna , zaledwie 3 m*m. Byc moze ze Twoja odpowiedz jest
              poprawna.
              Pozdr
              R
            • bbaju Re: Koza, stajnia i trawa 08.04.05, 20:09
              Z przykrością muszę wtrącić swoje zastrzeżenia.
              Otóż założyłeś błędnie, że nad stodołą okręgi zakreślone raz z końca płotu, raz
              zza pn-zach rogu stodoły przecinają sie dokładnie na przedłużeniu sciany
              wschodniej stodoły. A one niestety przecinają się nieco na lewo. Moim zdaniem
              wystarczy policzyć pola wycinków koła:
              1. ćwiartka o r=70 m
              2. ćwiartka o r=40 m
              3. wycinek o kącie 180+x i r=100 m [x=arctg(4/3)]
              4. wycinek kolowy o takim samym kącie i r=50 m.

              Ponieważ, jak zauważyłeś, nad stodołą fragmenty dwóch kół się pokrywają,
              wystarczy tylko scałkować po tym jednym obszarze i wynik odjąć od sumy wczesniej
              obliczonych pól. Nie można tylko zapomnieć o polu trójkąta między stodołą a
              płotem i też odjąc. I zapewne to lekkie przesunięcie punktu przecięcia
              wspomnianych okręgów daje różnicę, o której wspominał Republican.

              Za calkę może się wezmę, wtedy zobaczę.

              Pozdrawiam, Baj
              • Gość: eMPiotr Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.pl / *.zlo.cxt.pl 08.04.05, 23:18
                Całkować mi się nie chce, ale zupełnie nie rozumiem dlaczego chcesz
                odejmować pole trojkąta miedzy stodołą a płotem ???
                TRZEBA JE WŁAŚNIE DODAĆ. Pozdrawiam PM.
                • bbaju Re: Koza, stajnia i trawa 09.04.05, 00:00
                  Gość portalu: eMPiotr napisał(a):

                  > Całkować mi się nie chce, ale zupełnie nie rozumiem dlaczego chcesz
                  > odejmować pole trojkąta miedzy stodołą a płotem ???
                  > TRZEBA JE WŁAŚNIE DODAĆ. Pozdrawiam PM.

                  Jasne! To zwykły lapsus. Sorry i dziękuję za zwrócenie uwagi.

                  Baj
              • Gość: Apocal Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.crowley.pl 11.04.05, 09:56
                Po zastanowieniu muszę przyznać Ci rację. Okręgi nie przecinają się dokładnie
                nad ścianą stodoły. Jak znajdę siły to policzę zadanie jeszcze raz. Natomiast w
                Twoim rozwiązaniu brakuje połowy pola koła o promienu 100.

                Pozdrawiam
                • Gość: Apocal Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.crowley.pl 11.04.05, 09:58
                  Przeczytałem Twoje rozwiązanie jeszcze raz i znalazłem tę połowę koła :]
    • Gość: Apocal Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.crowley.pl 11.04.05, 16:00
      Dzięki uwagą bbaju mogłem poprawić swoje obliczenia i teraz dysponuję wynikiem:
      27370,01 m*m

      W moim poprzednim rozumownaiu trzeba było zmienić granice całkowania, oto
      poprawiony ciąg rozumowania:

      obszar pod stodołą:
      0,5 pola koła o promieniu 100

      obszar na lewo od stodoły:
      0,25 pola koła o promieniu 70

      teraz pole częsci koła, które znajduje się nad stodołą:
      całka od 0 do 28,57 z f-cji sqrt(40^2-x^2) po dx

      pole nad płotem
      całka od 0 do 41,43 z f-cji sqrt(50^2-x^2) po dx

      pole prostokata pod plotem
      30 * 40

      teraz rysujemy wirtualne przedłużenie płotu w tym samym kierunku o 40 m

      pole nad wirtualnym płotem:
      całka od 0 do 40 z f-cji sqrt(50^2-x^2) po dx

      pole pod wirtualnym płotem jest takie samo jak pod płotem rzeczywistym

      otsatni fragment jaki nam został to
      całka od 80 do 100 z f-cji sqrt(100^2-x^2) po dx
      • pam31 Re: Koza, stajnia i trawa 11.04.05, 17:22
        Gość portalu: Apocal napisał(a):

        > Dzięki uwagą bbaju mogłem poprawić swoje obliczenia i teraz dysponuję
        wynikiem:
        > 27370,01 m*m
        >
        > W moim poprzednim rozumownaiu trzeba było zmienić granice całkowania, oto
        > poprawiony ciąg rozumowania:
        Dziwi mnie w tym rozwiązanu koniecznośc całkowania. Pole "soczewki" (wspólnej
        czesci kół) mozna wyliczyc calkiem elementarnie. Znając promienie kół i
        odległośc srodkow znamy katy środkowe(tw. cos). Różnica pól wycinka kolowego i
        trójkąta równoramiennego o ramieniu r daje poszukiwane pole jednej czesci
        soczewki . To jedyna trudnośc w tym zadaniu.Oczywiście, całkowanie nie jest
        mankamentem, ale nie wszyscy doszli do tego stopnia wtajemniczenia.
        Podobnie ciekawe jest szukanie maksymalnej długości drogi jaką zrobi koza na
        naprężonej lince, kiedy po żeżarciu wszystkiej trawy wraca i próbuje skubnąć
        niedostępną.
        • Gość: kujonik Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 11.04.05, 19:37
          Rzeczywiście całkowanie jast zbędne. Idąc od lewej strony mamy kolejno :
          Cwierć koła o promieniu 40;
          ćwierć koła o promieniu 70
          poł koła o promieniu 100
          wycinek koła o promieniu 100 opartego na kacie, którego tangens jest3/4;
          (0,6435rad)
          Trojkąt prostokątny 3x4
          pół koła o promieniu 5 bez wycinka kołowego o takim samym kącie srodkowym jak
          wyżej
          Od sumy ww części trzeba odjąć "soczewkę" o ktorejn pisze wyżej pam31,
          właściwie jej połowe. Występujące tam kąty srodkowe to 0, 5942 rad i 0,7752 dla
          okręgów odpowiednio o promieniach 50 i 40.Ta część wspolna ma powierzchie
          3,85m^2
        • Gość: Apocal Re: Koza, stajnia i trawa IP: *.crowley.pl 12.04.05, 10:07
          Oczywiście masz racje. Całkowanie było zbędne i można było wyliczyć wymagane
          pole w prostszy sposób. Pytanie tylko dlaczego mam sie męczyć i wymyślać jakieś
          obejścia, kiedy całka oznaczona jest wręcz stworzona do obliczania pola
          powierzchni. Po rozwiązaniu pewnej ilości zadań tego typu pierwsze co
          przychodzi na myśl to całka.

          A swoją drogą ciekawe czemu tyko ja zamieściłem wynik…

          pozdrawiam
          • Gość: Kujonik Do Apocala IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 12.04.05, 18:30
            Sprowokowałes mnie do obliczeń. Mój wynik jest troszkę większy od twojego i
            wynosi 27370,9387 m^2.Rozwiązywanie tego typu zadań jest ciekawe na etapie
            dochodzenia do metody rozwiązania. Póxniej jest tylko dosyć nużące
            rzemiosło.Końcowewgo wynik może satysfakcjonować tylko w sensie sprawdzenia,
            czy jestem uważny w rachunkach, ale to już nie jest takie ważne, jesli nie
            buduję akurat mostu.Wtedy sprawdzać nalezy skrupulatnie. Pozdr
            • Gość: Apocal Do Kujonika IP: *.crowley.pl 13.04.05, 08:47
              Zgadzam się w 100 %

              Pozdr
Inne wątki na temat:
Pełna wersja