Ogrodnik

13.08.02, 19:11
Pewien ogrodnik miał kwadratowy ogród o boku 102 m.
Z kwadratowych płyt o boku 1 m ułożył cztery chodniki.

Niestety, nie wiem, jak Wam to na forum narysować, więc spróbuję opisać
najlepiej jak potrafię:


Każdy chodnik zaczyna się od płyty położonej dokładnie w jednym z czterech
rogów ogrodu.

Każda następna płyta przylega do poprzedniej połową boku, a więc jest
przesunięta w stosunku do poprzedniej o 1 metr w jednym i o 0,5 metra w
drugim kierunku.

W efekcie taki chodnik idzie "mniej więcej" gdzieś pomiędzy symetralną kąta
a jednym jego bokiem.

Cztery takie chodniki wypuszczone z czterech rogów "wpadają na siebie" -
jeden kończy się na drugim, drugi na trzecim, trzeci na czwartym, a czwarty
na pierwszym - a plan ogrodu przypomina migawkę aparatu fotograficznego -
cztery trójkąty oparte na bokach i powstały w środku kwadrat.

To oczywiście tylko uproszczenie, bo ani trójkąty nie są de facto trójkątami,
ani kwadrat nie jest de facto kwadratem - są to bowiem figury "ząbkowane",
a ząbki wynikają z kształtu płytek tworzących chodniki. Te boki figur, które
na uproszczonym planie nie są równoległe do boków ogrodu, w rzeczywistości są
łamanymi składającymi się z mnóstwa odcinków równoległych do boków ogrodu,
gdyż tak położone są płytki.

Suma pól tych czterech "ząbkowanych trójkątów" i wewnętrznego "ząbkowanego
kwadratu" nie daje 10404 metrów kwadratowych (102 m x 102 m), gdyż trzeba
jeszcze uwzględnić pole chodników.

Zadanie polega na obliczeniu pola "wewnętrznego ząbkowanego kwadratu",
tzn. figury wyznaczonej przez wewnętrzne krawędzie płytek.
    • musztarda_po_obiedzie Re: Ogrodnik 14.08.02, 19:17
      reptar napisał:

      > Pewien ogrodnik miał kwadratowy ogród o boku 102 m.

      A czemu taki wielki?? Nie mieści mi się na żadnej kartce ;)
      Plątam się, ale walczę dalej :)

      pozdrawiam,
      m<p>o
      • reptar Re: Ogrodnik 14.08.02, 19:22
        musztarda_po_obiedzie napisał:

        > A czemu taki wielki?? Nie mieści mi się na żadnej kartce ;)


        No właśnie dlatego, żeby się nie mieścił ;)
    • musztarda_po_obiedzie Re: Ogrodnik 14.08.02, 20:35
      Uffffff,
      zabazgrałem pół zeszytu i doszedłem do wyniku....

      1926 m2.

      Jeśli się pomyliłem, to prędzej się zastrzelę, niż zacznę od nowa ;)

      Pozdrawiam,
      m<p>o
      • reptar Re: Ogrodnik 14.08.02, 21:24
        musztarda_po_obiedzie napisał:

        > Uffffff,
        > zabazgrałem pół zeszytu i doszedłem do wyniku....
        >
        > 1926 m2.



        Ja mam inny wynik. 1960. I też mi się nie chce za to więcej brać :(

        Może ktoś jeszcze by popróbował?
        • musztarda_po_obiedzie Re: Ogrodnik 14.08.02, 21:51
          reptar napisał:

          > Ja mam inny wynik. 1960.

          Ooooops.


          Jeśli spojrzymy na wydzielony w środku kwadracik jak na romb (ząbkowany
          oczywiście), to w najszerszym miejscu w linii poziomej ma 49,5 m

          Takich pasków po 49,5 metra jest 20. Ta część daje więc 990 m2

          Następnie paski zwężają się w górę i w dół o 2,5 m z każdym metrem - od 48m do
          0,5m w rożku. u góry mamy więc 485 m2 i na dole drugie 485 m2.

          Razem 1960 m2. Masz rację ! Dobrze kombinowałem, tylko pomyliłem się w...
          końcowym dodawaniu :p

          Pozdrawiam,
          m<p>o
          • reptar Warunek na bok ogrodu 15.08.02, 20:33
            W zadaniu bok ogrodu wynosił 102 m. Nieprzypadkowo.

            Czy dla każdej długości boku ogrodu (wyrażonej liczbą całkowitą) da się
            skonstruować takie kończące się na sobie nawzajem chodniki?

            • musztarda_po_obiedzie Re: Warunek na bok ogrodu 16.08.02, 08:07
              reptar napisał:

              > W zadaniu bok ogrodu wynosił 102 m. Nieprzypadkowo.
              >
              > Czy dla każdej długości boku ogrodu (wyrażonej liczbą całkowitą) da się
              > skonstruować takie kończące się na sobie nawzajem chodniki?
              >

              Nie.

              Na pewno płytki 'weszłyby' na siebie w przypadku boków postaci:
              5n + 3
              5n + 4

              (n = liczba naturalna)

              dla boków postaci 5n płytki zetkną się samymi rogami, więc nie wiem, czy można
              to uznać za zamknięte pole.

              Natomiast ładne, zamknięte pola w środku dadzą ogrody o bokach

              5n + 1
              5n + 2 --> i to jest właśnie sytuacja naszego ogrodnika.

              Zresztą, można znaleźć wzór na pole tego wewnętrznego ogródka:
              Dla 5n + 2 będzie to: (5n-2)*n

              Dla 5n + 1 nie chciało mi się liczyć :)
              pozdrawiam,
              m<p>o

Pełna wersja