Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4

13.10.03, 20:22
Poniżej czwarta zagadka z cyklu "Konkurs Łamigłówkarski...". Serdecznie
zapraszam wszystkich do wspólnej zabawy. Każdy łamigłówkowicz ma jeszcze
szansę wygrać główną nagrodę o wartości 200 PLN! A oto zadanie, które trzeba
w tym celu rozwiązać:

Pewien resolutny działkowicz miał na swojej działce kozę. Postanowił, że
zrobi dla kozy kwadratową zagrodę. Pamiętał jeszcze ze szkoły podstawowej, że
kwadrat to taka figura geometryczna, w której obie przekątne są sobie równe i
wzajemnie prostopadłe. Zabrał się więc za budowę ogrodzenia w następujący
sposób: znalazł wpierw gdzieś w przybudówce sznurek. Przeciął ten sznurek na
pół, rozciągnął obie połówki sznurka na działce tak, by przecinały się
dokładnie pod kątem prostym, po czym w punktach wyznaczonych przez cztery
końcówki tych połówek powbijał paliki i zaczął grodzić. Między pierwszym a
drugim palikiem zużył dokładnie 35 metrów bieżących siatki. Między palikiem
drugim a trzecim wyszło mu idealnie 34 metry siatki. Trochę się zdziwił, ale
grodził dalej. Na kolejny bok grodzonego pola wypadło mu natomiast co do
milimetra 37 metrów siatki. Podrapał się zafrasowany po głowie, mruknął pod
nosem coś w rodzaju "co ten kwadrat jakiś taki niekwadratowy?!" i poszedł się
z tym problemem zdrzemnąć.

Pytanie brzmi: Jaka była (z dokładnością do milimetra) długość sznurka?

Życzę wszystkim powodzenia w zmaganiach nad tą zagadką.

CdM


PS. Na koniec kilka regulaminowych uwag dotyczących tej zagadki i konkursu
(patrz wątek "Konkurs Łamigłówkarski..."):
1. Wszyscy łamigłówkowicze są proszeni o podawanie tylko liczbowych wyników
bez przedstawiania pełnego rozwiązania! Czyli odpowiedź powinna być na
przykład postaci "123,456 metrów" lub "78901 milimetra";
2. Pierwsza poprawna odpowiedź zostanie nagrodzona pięcioma punktami
konkursowymi;
3. Jury stwierdza, że ze względu na samą naturę zagadki, jak i sposób
przedstawiania rozwiązań, ma ograniczone możliwości do przydzielania punktów
za kolejne zajmowane miejsca. W związku z tym jury postanowiło co następuje:
w chwili, gdy pojawi się druga poprawna odpowiedź, czyli kolejny
łamigłówkowicz potwierdzi odpowiedź, która już wcześniej padła (musi się ona
zgadzać dokładnie co do jednego milimetra!), jury uzna zagadkę za zamkniętą i
za te drugie miejsce przyzna 3 punkty konkursowe. W ten sposób w niniejszej
zagadce punktacja będzie przedstawiać się następująco: pierwsze miejsce - 5
pkt, drugie miejsce - 3 pkt. (jest więc o co walczyć!);
4. Gdy potwierdzenie prawidłowego rozwiązania nie padnie w ciągu 24 godz.
jury samo zamknie zagadkę i przydzieli 5 pkt. (i na tym kwita!) dla autora
poprawnego rozwiązania. W związku z tym prosi się łamigłówkowicza, który poda
prawidłowe rozwiązanie, by - w razie czego jakby co - nie niecierpliwił się i
spokojnie przeczekał te 24 godziny!;
5. Jury jak zwykle zastrzega sobie prawo do poproszenia pierwszych dwóch
łamigłówkowiczów o zaprezentowanie pełnego rozwiązania (ale dopiero po
zapadnięciu klamki!) oraz tradycyjnie zastrzega sobie prawo do dokonania
zmian w regulaminie niniejszej zagadki, choć wiadomo, że i tak tego nie zrobi
(a już na pewno nie, jeśli chodzi o punktację). :)
    • Gość: pafcio 37,92097m IP: *.acn.waw.pl 13.10.03, 20:30
      • Gość: pafcio 37921mm IP: *.acn.waw.pl 13.10.03, 20:34
    • stomek Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 20:42
      101,672
      • uller Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 21:24
        stomek napisał:

        > 101,672
        Nie pozostaje mi nic innego jak pogratulować zwycięstwa w tej zagadce jak i w
        całym konkursie
        • uller dzielę skórę na niedźwiedziu 13.10.03, 21:34
          :-)
      • gosi-k Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 22:08
        gratuluję- szybki jestes :)
    • gosi-k Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 20:47
      100,6462m
      • gosi-k Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 20:52
        gosi-k napisała:

        > 100,6462m

        no- nie koniecznie dokładnie tyle :( - gdzieś się machnęłam
        • uller Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 21:12
          104,499m (104,49880382)
          • uller Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 21:22
            poprawka
            101,672m
            • gosi-k Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 22:11
              również gratuluję :)
              • Gość: pafcio Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 IP: *.acn.waw.pl 13.10.03, 22:22
                no tak, nie pierwszy i zapewne nie ostatni raz w życiu liczylem nie to co
                potrzeba:( oczywiście gratulacje
                pzdr
    • lotrzynapl Re: Działkowicz i koza - zadanie konkursowe nr 4 13.10.03, 21:22
      98,933 m

      pozdr.
      ALP
    • cardemon Koniec! - Re: Działkowicz i koza... 13.10.03, 21:32
      Ogłaszam zamknięcie zagadki! Padła już prawidłowa odpowiedź i jej
      potwierdzenie. Pięć punktów dla Stomka, trzy dla Ullera. Moje gratulacje!
      Jutro oficjalne wyniki i komentarz.

      CdM
      • cardemon Koniec! - Re: Działkowicz i koza... 14.10.03, 05:15
        Punkty w tej zagadce za prawidłowe rozwiązanie 101,672 m zdobyli:

        Stomek - 5 pkt.
        Uller - 3 pkt.

        Moje gratulacje! Więcej na temat konkursu na wątku "Konkurs Łamigłówkarski...".
        Muszę natomiast wyrazić w tym momencie moje zdumienie, że Stomek potrzebował
        jedynie 20 minut, by rozwiązać te zadanie. Czyżby było ono aż tak proste?!
        Muszę przyznać, że ja sam zmagałem się z tym problemem dużo dłużej. Tym
        bardziej więc doceniam rozwiązanie naszego laureata!
        Na końcu kilka ciepłych słów dla Pafcia. Bezbłędnie obliczyłeś długość
        czwartego boku dziwnego czworoboku działkowicza. Gdyby jury nie było takie
        bezduszne, to przyznałoby Ci 1 punkt w konkursie, ale niestety jest bezduszne i
        nic w związku z tym nie da. ;)

        Pozdrowienia, CdM
        • stomek Moje rozwiązanie 14.10.03, 09:45
          > Muszę natomiast wyrazić w tym momencie moje zdumienie, że Stomek potrzebował
          > jedynie 20 minut, by rozwiązać te zadanie. Czyżby było ono aż tak proste?!

          Oznaczmy przez kolejne A,B,C,D wierzchołki czworokąta, a przez O
          przecięcie jego przekątnych (czyli połówek sznurka).
          Wiemy, że |AB| = 35, |BC| = 34, |CD| = 37.
          Oznaczmy |AO| = a, |BO| = b, |CO| = c, |DO| = d.
          Połówki sznurka są równe więc a + c = b + d czyli d = a + c - b.
          Teraz z twierdzenia Pitagorasa:
          (1) a^2 + b^2 = 35^2 => a = sqrt(35^2 - b^2)
          (2) b^2 + c^2 = 34^2 => c = sqrt(34^2 - b^2)
          (3) c^2 + d^2 = 37^2
          Podstawiając do trzeciego równania za d, a i c dostajemy:
          (34^2 - b^2) + (sqrt(35^2 - b^2) + sqrt(34^2 - b^2) - b)^2 - 37^2 = 0.
          I tutaj kończy się to co w tej zagadce może sprawnie i szybko
          zrobić człowiek. Korzystając z funkcji "Szukaj wyniku" w Excelu
          szybko znajdujemy wartość b. Następnie podstawiając do (1) i (2)
          wyliczamy a i c, a rozwiązaniem jest 2*(a + c).

          Mam nadzieję, że Cardemon wybaczy mi tak brutalne rozwiązanie.

          Tomek
          • gosi-k Re: Moje rozwiązanie 14.10.03, 09:51
            no i tu był problem.
            Te równania miałam po 5 minutach. Tylko z obliczeniem był większy problem. No
            cóż, jak ktoś liczy na piechotę zamiast zastosować EXEL...to ma to co ma :)
            • lotrzynapl Re: Moje rozwiązanie 14.10.03, 10:13
              A ja jak widac wyszedlem ze zlego zalozenia co do tego jaki to czworobok :-)

              pozdr.
              ALP
          • uller Re: Moje rozwiązanie 14.10.03, 10:42
            Moje rozwiązanie wygląda następująco.
            x- długość sznurka
            po pierwsze oszacować wynik:
            35*pierwiastek z 2 * 2.
            Ma wyjść coś koło 100.

            a teraz liczymy:
            1) a + b =x/2 – gdzie a, b dwa odcinki tworzące jedną przekątną rozdzielone
            drugą przekątną
            2) c + d =x/2 – gdzie c, d analogicznie jak wyżej
            reszta z pitagorasa:
            3) a^2+c^2=35^2
            4) c^2+b^2=34^2
            5) b^2+d^2=37^2
            Mamy 5 równań z 5 niewiadomymi. W tym miejscu żałowałem że nie mam matlaba :-).
            Teraz 3 - 4
            a^2-b^2=35^2-34^2
            (a-b)(a+b)=69
            (a-b)x/2=69
            z 1 podstawiłem za b=x/2-a
            ax-x^2/4=69
            6) a=69/x+x/4 (w pierwszym rozwiązaniu w tym miejscu magicznie zmienił mi się
            znak na +x/4, dlatego później pojawiła się poprawka)
            Teraz 5 - 4
            a^2-b^2=35^2-34^2
            (a-b)(a+b)=69
            (a-b)x/2=69
            d^2-c^2=37^2-34^2
            (d-c)(d+c)=213
            (d-c)x/2=213
            z 2 podstawiłem za d=x/2-c
            x^2/4-cx=213
            7) c = x/4-213/x
            teraz podstawiłem 6 i 7 do 3
            (69/x+x/4)^2+ (x/4-213/x)^2=35^2
            Po prostych przekształceniach mamy równanie czwartego stopnia. Ale po
            podstawieniu za x^2 = Y mamy równanie kwadratowe. Następnie prosta delta,
            pierwiastek (wsparłem się kalkulatorem) i mamy wynik x=101,672 (reszta wyników
            odrzucona)
            • bbaju Re: Moje rozwiązanie 14.10.03, 16:10
              uller napisał:

              > Mamy 5 równań z 5 niewiadomymi. W tym miejscu żałowałem że nie mam matlaba :-
              ).

              Ja zrobilam podobnie (niestety wzielam sie za calosc po zamknieciu konkursu),
              ale tak:
              dlugosc sznurka oznaczylam przez 2A,
              odcinki a,b,c,d nazywaly sie odpowiednio:
              x, A-x, y, A-y

              Dalej jak Ty, przy czym natychmiast otrzymałam
              x=(A^2-213)/2A i y=(A^2-69)/2A

              Wielkości te wstawiłam do równania
              x^2 + y^2 = 34^2

              No i mamy rownanie na A, dwukwadratowe, więc już wiesz:
              podstawienie A^2 = t;
              rownanie kwadratowe i rozwiazanie przez delte;
              pierwiastek z t, mamy A;
              i na koniec 2A to nasza odpowiedź!

              A całość też jedynie z kalkulatorkiem w ręku.

              Pozdrawiam,
              Baj

          • uller Re: Moje rozwiązanie 14.10.03, 11:12
            > > Muszę natomiast wyrazić w tym momencie moje zdumienie,
            > > że Stomek potrzebował jedynie 20 minut,
            > > by rozwiązać te zadanie. Czyżby było ono aż tak proste?!
            >
            > (...) I tutaj kończy się to co w tej zagadce może sprawnie i szybko
            > zrobić człowiek. Korzystając z funkcji "Szukaj wyniku" w Excelu
            > szybko znajdujemy wartość b. (...)

            A ja tak sobie wyrzucam że zbyt powolnie rozwiązuje równania. No teraz to
            troszkę mnie podbudowało, że tak wspaniałe tempo osiągnąć można poprzez
            wsparcie Excela. Nie sądzę jednak że rozwiązanie zadania na piechotę zajęło by
            ci dużo więcej czasu. Jedyne co to zminimalizowałeś prawdopodobieństwo błędu
            rachunkowego.
            Pozdrawiam - uller.
            • cardemon Re: Moje rozwiązanie 22.10.03, 02:45
              uller napisał:

              (...)
              > Jedyne co to zminimalizowałeś prawdopodobieństwo błędu
              > rachunkowego.

              Ano właśnie! Wyjściowe dane były tak dobrane, by zminimalizować możliwość
              wystąpienia błędu rachunkowego. :)

              pzdr. CdM
    • cardemon Końcowe komentarze i jeszcze jeden drobiazg 22.10.03, 02:43
      Nie zamieściłem jak do tej pory komentarza do tej zagadki. Chyba wszystko przez
      to, że po zakmnięciu konkursu oddałem się natychmiast na zasłużony i z
      niecierpliwością oczekiwany odpoczynek. :)
      Rozwiązanie Stomka poprzez "brute force" zostało przeze mnie jak najbardziej
      uznane. Ale widzę, że będę się musiał bliżej przyjrzeć Excelowi, jaki diabeł
      jeszcze w nim siedzi, choć muszę przyznać, że sam pomogłem sobie za pomocą tego
      programu w doborze danych wyjściowych. :)
      Klasycznie natomiast zadanie te rozwiązuje się tak, jak zrobili to Uller i
      Bbaju. Czyli równianie dwukwadratowe, podstawienie, delta i dwa dodatnie
      rozwiązania.
      Ano właśnie, DWA rozwiązania! Co zatem reprezentuje sobą drugie rozwiązanie?
      (Szukając odpowiedzi na te pytanie nie należy zaglądać do treści zagadki, choć
      może tak tylko trochę. ;))

      pzdr. CdM
      • bbaju Re: Końcowe komentarze i jeszcze jeden drobiazg 22.10.03, 16:25
        cardemon napisał:

        > Ano właśnie, DWA rozwiązania! Co zatem reprezentuje sobą drugie rozwiązanie?

        Jak to co? Otrzymalismy dwa rozwiązania ALGEBRAICZNEGO układu równań,
        natomiast nasze - geometryczne- powinno zawierać dodatkowe założenie: xɬ,
        yɬ, A-xɬ i A-yɬ (dla Tomka a,b,c,d wszystkie dodatnie). I teraz mając
        wybór, sprawdzamy, które rozwiązanie założenia spełnia. I już!

        Pozdrawiam
        Baj
        • bbaju Re: Końcowe komentarze i jeszcze jeden drobiazg 22.10.03, 16:30
          te krateczki to "większe od zera" - nie wiem dlaczego tak głupio się pokazało.

          Baj

          • cardemon Re: Końcowe komentarze i jeszcze jeden drobiazg 22.10.03, 18:09
            Pozwól, że przytoczę to co napisałem wyżej: "Czyli równanie dwukwadratowe,
            podstawienie, delta i dwa DODATNIE rozwiązania". Całe równanie czwartego
            stopnia będące arytmetycznym rozwinięciem podanego problemu geometrycznego,
            posiada cztery rozwiązania: dwa w dziedzinie liczb dodatnich, dwa w liczb
            ujemnych.
            Moje pytanie brzmi: co w sensie geometrycznym stoi za tym drugim dodatnim
            rozwiązaniem?

            pzdr. CdM
            • bbaju Re: Końcowe komentarze i jeszcze jeden drobiazg 22.10.03, 20:13
              cardemon napisał:

              > posiada cztery rozwiązania: dwa w dziedzinie liczb dodatnich, dwa w liczb
              > ujemnych.
              > Moje pytanie brzmi: co w sensie geometrycznym stoi za tym drugim dodatnim
              > rozwiązaniem?

              Zgoda, dwa dodatnie, ale co jest niewiadomą? Otóż u mnie było nią A (połowa
              sznurka). Natomiast wyliczone x i y dla drugiego dodatniego A (3,114), z
              podanych onegdaj wzorów, są już ujemne.
              Odpada więc siłą rzeczy!

              Baj

              • Gość: krzysiek Re: Końcowe komentarze i jeszcze jeden drobiazg IP: *.acn.pl 22.10.03, 21:30
                wg mnie drugie rozwiazanie to 'strzałka' ABCD z wewnętrznymi bokami AB=34,
                BC=35 oraz zewnętrznymi DC=37 i DA=37,91 (jak obliczył pafcio)

                zaś odcinki, które były przekątnymi kwadratu: AC = BD = 3,114m, cały sznurek ma
                wtedy 6,229
                no i sa one prostopadłe, ale się nie przecinaja!
                ...dobrze myślę?


                a tak na marginesie to właśnie ten wynik podał mi excel podczas mojego 'brute
                force' - nie zauważyłem ze muszą być dwa rozwiązania i uznałem to za błąd przy
                przekształcaniu wzorów, i zacząłem sprawdzać wszystko na spokojnie i powoli,,,
                spóźniłem się 15 minut...


                • cardemon Re: Końcowe komentarze i jeszcze jeden drobiazg 23.10.03, 00:01
                  Gość portalu: krzysiek napisał(a):

                  > wg mnie drugie rozwiazanie to 'strzałka' ABCD z wewnętrznymi bokami AB=34,
                  > BC=35 oraz zewnętrznymi DC=37 i DA=37,91 (jak obliczył pafcio)
                  > zaś odcinki, które były przekątnymi kwadratu: AC = BD = 3,114m, cały sznurek
                  > ma wtedy 6,229 no i sa one prostopadłe, ale się nie przecinaja!
                  > ...dobrze myślę?

                  Bardzo dobrze! :)
                  A ponieważ się nie przecinają, to x i y, patrząc na oznaczenia Bbaju, są
                  ujemne.

                  Pozdrawiam, CdM
      • stomek Re: Końcowe komentarze i jeszcze jeden drobiazg 22.10.03, 19:06
        Tak sobie myśle, że to można było zrobić brutalnie również bez Excela.
        Na oko można było ocenić wynik z dokładnością do paru metrów.
        Potem tylko krótki programik (np. w Pascalu) sprawdzający kolejne
        wyniki co milimetr (albo nawet co 0.1mm) ...

        Tomek
Inne wątki na temat:
Pełna wersja