Tory nie do jazdy

Tory nie do jazdy

[michu76]

Bylem w Lodzi w sierpniu i dokładnie utkwił mi obraz właśnie tych torów i na tej
ulicy chyba Kilińskiego.Oczom nie wierzyłem w jakim stanie jest torowisko i że
po takich szynach jeżdżą tramwaje .Nieco dalej tory biegną poboczem na
wydzielonym pasie i tam jest jeszcze gorzej:jak jechała 805Na to bujało nią na
wszystkie strony.Jechałem też trasą linii 5 właśnie na Limanowskiego i kurczowo
musiałem trzymać się rury bo inaczej latałbym od drzwi do okna,a jaki huk w
czasie jazdy!!!Piszę o tym,bo sam prowadzę tramwaje w Bydgoszczy(ten sam rozstaw
torów 1000mm).Są odcinki zużyte ale nie do takiego stopnia co w Lodzi.Dziwię
się,że n natychmiast na ww ulicach MPK nie wycofa tramwajów.To po prostu zagraża
bezpieczeństwu pasażerów!!!Pozdrawiam.

Tory nie do jazdy

[Gość: zielony31]

Bylem w Lodzi w sierpniu i dokładnie utkwił mi obraz właśnie tych
torów i na tej
ulicy chyba Kilińskiego.Oczom nie wierzyłem w jakim stanie jest
torowisko i że
po takich szynach jeżdżą tramwaje .Nieco dalej tory biegną poboczem
na
wydzielonym pasie i tam jest jeszcze gorzej:jak jechała 805Na to
bujało nią na
wszystkie strony.Jechałem też trasą linii 5 właśnie na Limanowskiego
i kurczowo
musiałem trzymać się rury bo inaczej latałbym od drzwi do okna,a
jaki huk w
czasie jazdy!!!Piszę o tym,bo sam prowadzę tramwaje w Bydgoszczy(ten
sam rozstaw
torów 1000mm).Są odcinki zużyte ale nie do takiego stopnia co w
Lodzi.Dziwię
się,że n natychmiast na ww ulicach MPK nie wycofa tramwajów.To po
prostu zagraża
bezpieczeństwu pasażerów!!!Pozdrawiam

Cytat z tego forum....ja bym zmienił na byłem w grudniu i od
sierpnia nic się nie poprawiło tylko jeszcze bardziej spieprzyło....

Wesołych Świąt!

[Gość: Sowa]

Jest kwiecień 2009 roku i tramwaje na ul.Limanowskiego jadą 5km na
godzinę a w rozkładzie jazdy wszystko wygląda pięknie. Nic nie
słychać o remoncie, może by gazeta zainteresowała się? Czy wszyscy
czekają na ofiary wykolejenia się?

[Gość: Życzliwy]

> godzinę a w rozkładzie jazdy wszystko wygląda pięknie.

Pięknie jak pięknie. Od kwietnia wydłużono czas przejazdu o 5 minut.

> Czy wszyscy
> czekają na ofiary wykolejenia się?

ZDiT ma ważniejsze sprawy - np. wyremontowanie i poszerzenie Kilińskiego między
Wigury a Abramowskeigo (tak, dokładnie tego kawałka, który zrobiono 2 lata
temu). Witamy w Łodzi.

Pieniążki topimy w jakiś PKS'ik.....

[Gość: STUDI]

Zamiast pieniążki na remont torów poszły na zakup jakiegoś PKS'u. Wiadomo, że
ten arogancki prezes wyleci ze stołka niedługo więc musi mieć gdzie spaść.

[Gość: Życzliwy]

O, wywalili Cię z pracy?

[Gość: złośliwe bydlę]

Przecież Prokom nie istnieje?

[Gość: Życzliwy]

I może jeszcze napiszesz, że Lenin nie żyje?

[Gość: barnaba]

Lenin była kobietą!

Mało tego

[Gość: Kot Wąsowicza]

neoplus tez nie istnieje, bo przeciez to france telecom!

[michal_powolny12]

Nie jakiegoś tylko dwóch. I to takich których nikt nie chciał. I na
to MPK wzięło kredyciki poręczone przez.....miasto łódź, miasto łódź
poręczyło także Skarbowi Państwa że MPK Łódź wywiąże się z
olbrzymiego programu inwestycyjnego. Fajnie prawda? Dodajmy także to
że niemal cały majątek MPK jest zabezpieczeniem dla banków
(hipoteki/zastawy).

Poczytaj sobie

[Gość: NOP]

acierz – układ zapisanych w postaci prostokątnej tablicy danych nazywanych
elementami bądź współczynnikami będących elementami ustalonego zbioru, zwykle
liczbowego.

Określona na tym zbiorze struktura algebraiczna umożliwia wprowadzenie działań
algebraicznych na macierzach. Najczęściej współczynniki macierzy są elementami
pewnego ciała, bądź pierścienia przemiennego, jednak w ogólności wystarczy
dowolna abstrakcyjna struktura, której wielkości można dodawać i mnożyć.

W ten sposób macierze wykorzystuje się do opisu układów równań liniowych,
przechowywania współczynników przekształceń liniowych i w ogólności danych
zależnych od wielu parametrów. Macierze bada dział nazywany teorią macierzy.
Mogą być one dodawane, mnożone i rozkładane na wiele sposobów, co czyni je
kluczowym elementem w algebrze liniowej.

Słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową (tablicę
dwuwymiarową), jednak rozważa się również macierze wielowskaźnikowe (macierze
jednowskaźnikowe, czyli tablice jednowymiarowe utożsamia się zwykle z wektorami,
patrz niżej).
Spis treści
[ukryj]

* 1 Terminologia i oznaczenia
* 2 Definicja teoriomnogościowa
* 3 Przykład
* 4 Historia
* 5 Podstawowe pojęcia
* 6 Działania algebraiczne
o 6.1 Dodawanie i mnożenie przez skalar
+ 6.1.1 Przykład mnożenia przez skalar
+ 6.1.2 Przykład dodawania macierzy
o 6.2 Mnożenie
+ 6.2.1 Przykłady mnożenia macierzy
+ 6.2.2 Własności
+ 6.2.3 Potęgowanie macierzy
+ 6.2.4 Macierze diagonalne i skalarne
+ 6.2.5 Pierścienie nieprzemienne
o 6.3 Moduł i norma macierzy
* 7 Odwracalność i nieosobliwość
* 8 Przekształcenia i macierze elementarne
* 9 Algebra liniowa
o 9.1 Macierz przekształcenia liniowego
o 9.2 Układy równań liniowych
+ 9.2.1 Zapis
+ 9.2.2 Interpretacja geometryczna
o 9.3 Macierz przejścia
+ 9.3.1 Złożenie
o 9.4 Macierz endomorfizmu
o 9.5 Macierz Grama, macierz funkcjonału dwuliniowego
+ 9.5.1 Ortogonalność
+ 9.5.2 Przekształcenia liniowe
o 9.6 Rząd macierzy i jej minory
+ 9.6.1 Własności
+ 9.6.2 Pierścień ideałów głównych
* 10 Podstawowe relacje między macierzami
* 11 Funkcje macierzy
o 11.1 Funkcje wymierne
o 11.2 Granica ciągu i szeregi
o 11.3 Funkcje przestępne
* 12 Uogólnienia
* 13 Przypisy
* 14 Bibliografia
* 15 Zobacz też
* 16 Linki zewnętrzne

Terminologia i oznaczenia [edytuj]
Kolumny macierzy
Wiersze macierzy

Poziomy układ elementów znajdujących się w jednej linii nazywa się wierszem, a
pionowy – kolumną macierzy. Macierz o m wierszach i n kolumnach nazywa się m
\times n-macierzą lub macierzą typu bądź rzędu m \times n. Macierze, które mają
tyle samo wierszy i kolumn, a odpowiadające sobie w nich współczynniki są
równoważne, nazywa się równymi.

Elementy macierzy identyfikuje się przez podanie uporządkowanej pary liczb
nazywanej wskaźnikami lub indeksami, kolejno: numer wiersza i numer kolumny[1],
na przecięciu których znajduje się dany element. Zgodnie z tą konwencją, element
leżący na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny nazywa się elementem i,j,
(i,j) lub (i,j)-tym elementem macierzy.

Macierz oznacza się zwykle wielką literą, a jej elementy małą literą ze
wskaźnikami w indeksie dolnym. W informatyce odpowiednikiem macierzy jest
tablica dwuwymiarowa. Element tablicy A w wierszu i i kolumnie j oznaczany jest
w zależności od języka programowania np. A(i, j); A[i, j]; A[i][j]; A{i, j}.

Macierze prawie zawsze opisuje się wielkimi literami, do oznaczania jej
elementów korzysta się zaś z odpowiadających im małych liter wraz z dwoma
indeksami dolnymi[2]. Przykładowo (i,j)-ty element macierzy \mathbf A zapisuje
się często ai,j. Innymi metodami zapisu współczynników są \mathbf A[i,j] czy
\mathbf A_{i,j}. Dodatkowo wielu autorów oprócz wykorzystania dużych liter
stosuje do oznaczania macierzy także specjalny styl typograficzny, najczęściej
wytłuszczenie (bez pochylenia), aby odróżnić je od innych zmiennych. Zgodnie z
tą konwencją \mathbf A jest macierzą, zaś A jest skalarem. Innymi konwencją jest
oznaczanie typu macierzy pod ich symbolem, przykładowo \underset{m \times
n}{\mathbf A} dla m \times n-macierzy. Jak wspomniano wcześniej elementy
macierzy zwykle są liczbami rzeczywistymi, jednak można rozważać macierzy o
elementach z dowolnego pierścienia. Wtedy dla pierścienia R zbiór wszystkich m
\times n-macierzy o współczynnikach z R zapisuje się symbolem R^{m \times n} lub
Mm,n(R).

Aby zdefiniować macierz typu m \times n często pisze się \mathbf A :=
(a_{i,j})_{i = 1, \dots, m;\; j=1, \dots, n} lub \mathbf A := (a_{i,j})_{m
\times n}. W tym przypadku współczynniki ai,j są określone niezależnie dla
wszystkich liczb całkowitych 1 \leqslant i \leqslant m oraz 1 \leqslant j
\leqslant m. W niektórych językach programowania numerowanie wierszy i kolumn
rozpoczyna się zerem. W tekstach zawierających taki język naśladuje się często
tę konwencję, wtedy jest 0 \leqslant i \leqslant m-1 oraz 0 \leqslant j
\leqslant n-1.

Macierz, której jeden z rozmiarów jest równy jeden nazywa się często wektorem i
interpretuje się go jako element przestrzeni kartezjańskiej. Macierz typu m
\times 1 (jedna kolumna i m wierszy) nazywa się wektorem kolumnowym, a macierz
typu 1 \times n (jeden wiersz i n kolumn) nazywa się wektorem wierszowym.

Spotyka się różne sposoby oznaczania macierzy – przeważnie stosowane są nawiasy
okrągłe[3] lub kwadratowe, rzadko spotyka się jeszcze[4] zapis w podwójnych
pionowych kreskach (co może prowadzić do pomyłki, np. z wartość bezwzględną
wyznacznika, bądź normą), np.:

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1
\end{pmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1
& 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{Vmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1
\\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{Vmatrix}.

Definicja teoriomnogościowa [edytuj]

Macierzą \mathbf A typu m \times n, gdzie m, n \in \mathbb N, nazywa się funkcję

\mathbf A\colon \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} \to X,

gdzie X jest dowolnym niepustym zbiorem. Dziedzina \{1, 2, \dots, m\} \times
\{1, 2, \dots, n\} to iloczyn kartezjański zbiorów \{1, 2, \dots, m\} oraz \{1,
2, \dots, n\}.

O macierzy \mathbf A mówi się, że jest określona nad zbiorem X. Aby mieć algebrę
macierzy należy założyć o zbiorze X, aby był pierścieniem, a macierz \mathbf A
była kwadratowa (patrz niżej). Ponieważ zbiór wszystkich macierzy kwadratowych
nad pierścieniem również tworzy pierścień, to algebra macierzy nazywana jest
zwykle pierścieniem macierzy.

Przykład [edytuj]

Macierz

\mathbf A = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5
\end{bmatrix} lub \mathbf A = \begin{pmatrix} 9 & 8 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 &
2 \\ 6 & 0 & 5 \end{pmatrix}

jest typu 4 \times 3. Współczynnik a2,3 bądź \mathbf A[2,3] wynosi 7. Zgodnie z
wyżej daną definicją teoriomnogościową macierz ta jest funkcją \mathbf A\colon
\{1, 2, 3, 4\} \times \{1, 2, 3\} \to \mathbb R i przykładowo \mathbf A((2, 3))
= 7 oraz \mathbf A((3, 1)) = 4.

Macierz

\mathbf R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

to 1 \times 9-macierz lub 9-elementowy wektor wierszowy.

Historia [edytuj]

Pierwszymi macierzami były prawdopodobnie kwadraty magiczne 3×3, które w
literaturze chińskiej pojawiają się już ok. 650 p.n.e.[5].

Ważny chiński tekst matematyczny, powstały między III wiekiem p.n.e. a II
wiekiem n.e. Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki (Jiu Zhang Suan Shu) jest
pierwszym przypadkiem użycia macierzy

może zmądrzejesz

[Gość: NOP]

Ważny chiński tekst matematyczny, powstały między III wiekiem p.n.e. a II
wiekiem n.e. Dziewięć rozdziałów o sztuce matematyki (Jiu Zhang Suan Shu) jest
pierwszym przypadkiem użycia macierzy do rozwiązania układu równań liniowych[6]
W rozdziale siódmym, Zbyt dużo i nie wystarczająco po raz pierwszy wprowadzono
koncepcję wyznacznika, prawie 2000 lat przed jego publikacją przez japońskiego
matematyka Kōwę Sekiego w 1683 i niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza w 1693.

Kwadraty magiczne były znane także arabskim matematykom, prawdopodobnie już w
VII wieku, kiedy Arabowie podbili północnozachodnie części subkontynentu
indyjskiego i przejęli zdobycze matematyki i astronomii hinduskiej. Być może
idea ta dotarła do nich przez Chiny. Pierwsze kwadraty magiczne rzędu 5 i 6
pojawiły się w Encyklopedii Bractwa Czystości (arab. رسائل أخوان الصفا و خلان
الوفا) z Bagdadu około 983 roku. Prostsze kwadraty magiczne były znane wielu
wcześniejszym matematykom arabskim[5].

Po opracowaniu teorii wyznaczników (dzisiaj mówimy o wyznacznikach macierzy)
przez Sekiego i Leibniza pod koniec XVII wieku, Cramer rozwinął ją dalej w XVIII
wieku, znajdując, w roku 1750, wzory na rozwiązania układów równań liniowych,
nazwane później wzorami Cramera. Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan
opracowali, na początku XIX wieku, metodę rozwiązywania układów równań
liniowych, zwaną dziś metodą eliminacji Gaussa-Jordana

W XIX wieku znano wyznaczniki i oczywiście kwadraty magiczne, dopiero jednak
James Joseph Sylvester i Arthur Cayley wprowadzili macierze dwuwskaźnikowe jako
sposób przejrzystego zapisu dużej liczby powiązanych strukturalnie danych –
współrzędnych wektorów w ustalonej bazie przestrzeni liniowej czy współczynników
układu równań.

Termin „macierz” pojawił się po raz pierwszy w 1848, użyty przez Jamesa J.
Sylvestera. Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand
Georg Frobenius i John von Neumann przyczynili się do rozwoju teorii macierzy.

Podstawowe pojęcia [edytuj]

Sposób strukturyzacji danych w postaci macierzy pozwala na łatwą organizację i
zmianę danych poprzez przestawianie, łączenie, wydzielanie itp. Niech A = (aij)
będzie macierzą o n wierszach i m kolumnach:

* Macierzą transponowaną (przestawioną) do A, oznaczaną AT, nazywamy macierz
o m wierszach i n kolumnach, której wiersze są kolumnami danej macierzy A, a
kolumny są wierszami macierzy A. Geometrycznie odpowiada to obrotowi macierzy
wokół osi przechodzącej przez lewy górny i prawy dolny róg. Formalnie wzór na
macierz przestawioną B do macierzy A przedstawia się następująco:

(b_{ij}) = (a_{ij})^T \iff b_{ij} = a_{ji} dla każdych i,j.

* Macierz A nazywamy kwadratową, gdy ma tyle samo wierszy, co kolumn, czyli
m = n. Zamiast „macierz kwadratowa o n wierszach i n kolumnach” mówi się
„macierz kwadratowa stopnia n”. Macierz, która nie jest kwadratową, nazywa się
prostokątną. Główną przekątną macierzy kwadratowej A nazywamy wektor (a_{11},
a_{22}, \dots, a_{nn}).
* Podmacierz macierzy A to dowolna macierz powstająca z danej macierzy przez
skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn.
* Macierz klatkowa to macierz z wprowadzonym dodatkowym podziałem wierszy i
kolumn na grupy kolejnych wierszy i kolumn. Obrazowo macierz klatkowa to
macierz, w której poprowadzono poziome i pionowe linie wzdłuż jej wierszy lub
kolumn dzielące ją tym samym na podmacierze nazywane wówczas klatkami. Dzięki
temu podziałowi możliwe jest również rozważanie macierzy, której elementami są
podmacierze (klatki).
* Odwrotnie, mając dany zestaw „pasujących” macierzy można zestawiać z nich
macierze klatkowe. Jeśli dane są na przykład macierze:

A o n wierszach i m kolumnach, B o n wierszach i k kolumnach,
C o l wierszach i m kolumnach i D o l wierszach i k kolumnach,

to można z nich zestawić macierz klatkową

\begin{pmatrix}\frac{A\, |\, B}{C\, |\, D} \end{pmatrix}.

Wzór na elementy takiej macierzy jest mniej komunikatywny niż obrazek.

Działania algebraiczne [edytuj]

Jeżeli zbiór, z którego pochodzą elementy macierzy R jest pierścieniem
przemiennym z jedynką (w szczególności – ciałem, takim jak liczby rzeczywiste),
to mówimy wtedy o macierzy nad R. Można wtedy w zbiorze R^m_n = M_{n \times
m}(R) wszystkich macierzy o n wierszach, m kolumnach i elementach z pierścienia
R określić pewne działania. Dalej będziemy przyjmować, o ile nie powiedziano
inaczej, że macierze są określone właśnie nad pierścieniem.

Macierze A = (aij) oraz B = (bij) nazywa się równymi, jeśli mają tę samą liczbę
wierszy oraz kolumn oraz odpowiadające sobie elementy są równe, tzn. aij = bij
dla wszystkich i,j.

Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie niezerowe
elementy znajdują się wyłącznie na głównej przekątnej. Innymi słowy: macierz A =
(aij) jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy aij = 0 dla i \ne j. Często dla
oszczędności miejsca macierz diagonalną stopnia n zapisuje się jako
\operatorname{diag}(a_{11},a_{22}, \dots, a_{nn}).

Macierz jednostkowa I jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej, która
na przekątnej ma same jedynki. Macierz zerowa Θ to macierz złożona z samych zer.
Niekiedy do symbolu tych macierzy w indeksie dolnym dodaje się ich stopień.

Dodawanie i mnożenie przez skalar [edytuj]

Osobne artykuły: dodawanie macierzy, mnożenie macierzy.

Mnożenie macierzy przez stałą (skalar, element pierścienia) oraz dodawanie
macierzy definiuje się następująco:

* a \cdot (a_{ij}) = (a \cdot a_{ij})
* (aij) + (bij) = (aij + bij).

Słownie: mnożenie macierzy przez skalar polega na wymnożeniu przez niego
wszystkich jej elementów, a dodawanie macierzy na dodaniu odpowiadających sobie
elementów. Analogicznie definiuje się różnicę macierzy.

Zbiór R^m_n z dodawaniem jest grupą przemienną: łączność i przemienność działań
w pierścieniu przenosi się na działania na macierzach, elementem neutralnym jest
macierz zerowa Θ o wszystkich elementach równych 0 \in R, elementem przeciwnym
do macierzy A jest macierz -1 \cdot A \overset\underset\mathrm{ozn}\ = -A, którą
nazywa się macierzą przeciwną do A. Oczywiście jest A − B = A + ( − B) o ile
macierze te są zgodnego typu.

Mnożenie przez skalar spełnia warunki:

* (a + b) \cdot A = a \cdot A + b\cdot A,
* a \cdot (A + B) = a \cdot A + a\cdot B,
* (ab) \cdot A = a \cdot (b\cdot A),
* 1 \cdot A = A,

zatem zbiór R^m_n z dodawaniem i mnożeniem przez skalary jest modułem nad
pierścieniem R. Moduł ten jest wolny rangi mn

Jeśli pierścień R jest ciałem, to zbiór R^m_n z powyższymi działaniami staje się
przestrzenią liniową nad ciałem R o wymiarze nm.

Szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnych są macierze postaci a \cdot I_n
nazywane macierzami skalarnymi. W szczególności:

(a \cdot I_n) \cdot A = a \cdot A = A \cdot (a \cdot I_m).

Przykład mnożenia przez skalar [edytuj]

3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & -4 & 9 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 0\\ 3 \cdot (-1) & 3 \cdot (-4)
& 3 \cdot 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 \\ -3 & -12 & 27 \end{bmatrix}

Przykład dodawania macierzy [edytuj]

\begin{bmatrix} 1,3 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1,2 &
2 & 11 \\ 3 & -4 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2,5 & 4 & 14 \\ 4 & -2 & 16
\end{bmatrix}

Mnożenie [edytuj]

Osobny artykuł: mnożenie macierzy.

Elementy mnożonych macierzy, składające się na wynik w danej komórce

Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, jednak niżej
określone, nazywane mnożeniem Cauchy'ego, ma wiele zastosowań w algebrze
liniowej, w któr

[Gość: magik]

> Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, jednak niżej
> określone, nazywane mnożeniem Cauchy'ego, ma wiele zastosowań w algebrze
> liniowej, w któr

No i wykład się skończył w połowie zdania.
Napisz coś jeszcze.

[Gość: michal_powolny12]

To nie wykład z matematyki lecz forum Komunikacja trollu.

[Gość: Yhy]

Ale mu dogadałeś, ho-ho.

[Gość: NOP]

Bujaj się, pedziu.

[Gość: STUDI]

O umiemy używac Ctrl-C i Ctrl-V... Gratulacje z okazji poznania niesamowitej
funkcji Windowsów.