wielomiany

[Gość: komando010]

1. NIE wykonując dzielenia, wyznacz resztę z dzielenia wielomiano W(x) przez
wielomian P(x):
W(x)=x5 + 2x4 + 3x + 1 i P(x)= (x-2)(x-1)



2. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-1 jest równa 1, zaś
reszta z dzielenia tego wilomianu przez x-2 jest równa 4. Wyznacz resztę z
dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian x2 - 3x + 2


3. Wiedząc ze równanie x3 - 9x + 4 = 0 ustal ile ma dodatnich pierwiastków.



4. Oblicz sumę odwrotności kwadratów pierwiastków wielomianu W(x)= x3 - 2x2 -
3x + 6


5.Oblicz odwrotność sumy kwadratów pierwiastków wielomianu w(x) =2x3 + 3x3 -
9x - 10



6.Uzasadnij, że jeżeli współczynniki wielomianu W(x) są liczbami czałkowitymi
i W(1) jest liczbą nieparzystą, to liczba nieparzysta nie jest pierwiastkiem
wielomianu w(x)



7. Wielomian w(x)=x3 + ax2 + bx + c jest podzielny przez trojmian x2 - 3x + 2
i przydzieleniu przez dwumian x+1 daje resztę -24. Wyznacz współczynniki
a, b, c.



8. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x)= (x2 - 3x + 1)2005 przez
wielomian P(x)= x2 - 4x +3


9. Wykaż, że jeżeli wilomian w(x)=x3 + ax + b ma pierwiastek dwukrotny, to 4a3
+ 27b2 = 0


10. Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x)= 2x4 - 2x3 - 6x2 + 10x + m
ma pierwiastek trzykrotny?

[Gość: kolega]

1)W(x)=x5 + 2x4 + 3x + 1 i P(x)= (x-2)(x-1)
W(x)=Q(x)*P(x)+ax+b a,b?
W(2)=Q(2)*0+2a+b
W(1)=Q(1)*0+a+b ale
w(2)=71 i w(1)=7 mamy układ równań
2a+b=71
a+b=7
a=64, b=-57 R=64x-57
2)Podobnie jak 1)
3) 2
4) Załózmy,ze a,b,c to pierwiastki wielomianu i A,B,C,D kolejne współczynniki
wielomianu trzeciego stopnia x^3-2x^2+3x+6
1/a^2 +1/b^2 +1/c^2=
[(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2]/(abc)^2
...=[(ab+ac+bc)^2- 2abc(a+b+c)]/(abc)^2=stosujemy wzory Viete'a=
[(C/A)^2-2(-D/A)*(-B/A)]/(-D/A)=3^2-2*(-6)*2=33
5) podobnie jak 4), tylko zaczynasz od 1/(a^2+b^2+c^2)
6) wykorzystajfakt, ze liczba nieparzysta jest postaci 2k+1 i rozbi wielomian na
cżesc z potęgami liczby dwa i bez tych potęg.
7) Z tw o reszcie wyznaczysz trzy równania z niewiadomymi a,b,c. Znasz miejsca
zerowe dzielników.
8) podobnie jak w 1) i w 2)

Zad. 9.

[ellipsis]

Zad. 9.
Niech p będzie pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu w. Podzielmy wielomian w
przez dwumian (x-p). Otrzymamy:
w(x) = x^3 + ax + b = (x^2 + px + (p^2+a)) * (x - p) + p^3 + ap + b.
Wobec tego
(1) p^3 + ap + b = 0
oraz
(2) p^2 + p*p + (p^2+a) = 0.
Stąd
a = -3p^2
b = -p^3 - ap = 2p^3.
Wobec tego
4a^3 + 27b^2 = 4 * (-3p^2)^3 + 27 * (2p^3)^2 = 0
PS. Zależność (2) można także uzyskać natychmiast korzystając z twierdzenia o
pochodnej:
w'(p) = 3p^2 + a = 0.

Zad. 10.

[ellipsis]

Niech p będzie pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu W. Wtedy
W(p) = W'(p) = W''(p) = 0.
Otrzymujemy układ trzech równości:
(1) 2p^4 - 2p^3 - 6p^2 + 10p + m = 0
(2) 8p^3 - 6p^2 - 12p + 10 = 0
(3) 24p^2 - 12p - 12 = 0
Tylko pierwiastek p=1 równania (3) spełnia równanie (2). Podstawiając tę
wartość do równania (1) otrzymamy rozwiązanie:
m = -4.
Bezpośrednim rachunkiem sprawdzamy, że w takim przypadku
W(x) = 2 * (x-1)^3 * (x+2),
tj. p=1 jest pierwiastkiem dokładnie trzykrotnym wielomianu W.
PS. Zamiast stosowania pochodnych, możesz zastosować metodę z mojego
poprzedniego postu, tj. podzielenie wielomianu W przez (x-1)^3 i przyrównanie
współczynników reszty z tego dzielenia do 0. Otrzymasz wtedy dokładnie równości
(1), (2) i (3).