optymalizacja

[Gość: gosc]

zadanie:
znajdz ten stożek o tworzącej długości l, ktorego objętość jest najwieksza.

Prosze was o pomoc z tym zadaniem

[Gość: Julka]

Trzeba napisać wzór funkcji: objętość zależna od promienia podstawy lub
wysokości stożka i zbadać tę funkcję.
V=(1/3)pir^2*H
z Pitagorasa r^2=l^2-H^2
podstawiamy do wzoru na objętość
V(H)=(1/3)(l^2-H^2)*H
Obliczamy pierwszą pochodną
V`(H)=(1/3)pil^2-piH^2
Warunek konieczny: miejsca zerowe pochodnej
V`(H)=0 <=> H=lV3/3 v H=-lV3/3 (drugi nie należy do dziedziny)
Warunek wystarczajacy: pochodna zmienia znak z + na - przy przejściu przez
swoje miejsce zerowe (H=lV3/3), stąd dla H=lV3/3 objętość jest największa.
Nalezy jeszcze wyliczyć r=lV(2/3)

[Gość: gosc]

wydawaloby sie ze za mało danych a jednak wychodzi... Dzieki!!

[Gość: gosc]

ale tego to juz nie przejde... W kule o promieniu R wpiasno stozek o najwiekszej
objetosci. Wyznacz wymiary tego stozka.

moge prosic o wskazówki??
(tylko poczatkowe obliczenia i pokazanie sposobu a dalej to juz sobie poradze)

[Gość: Julka]

Można oznaczyć promień podstawy stożka r, Wysokość stożka H i różnicę między
wysokością stożka i promieniem kuli x.
Otrzymujemy
R+x=H => x=H-R
i z Pitagorasa x^2+r^2=R^2
Podstawiamy x z pierwszego do drugiego, liczymy r^2, podstawiamy do wzoru na
objętość. Otrzymujemy funkcję trzeciego stopnia zmiennej H. Pochodna itd...
(Wyszło mi H=(4/3)*R, r=...

[pam31]

Oznacz kąt tworzącej z wysokością przez x, wtedy
l=Rcosx, h=2R(cosx)^2 ;r=2Rcosxsinx gdzie l,h,r -tworzaca. wysokośc promoeń
stożka V=8/3 *pi*R^3 *(cosx)^4 *(sinx)^2
Przyimij (cosx)^2 =t i wyznacz maksimum funkcji f(t)=t^2(1-t).
Otrzymasz maksimum dla t=2/3 tzn dla cosx=V(2/3) i Vmax=32/81*pi*R^3
To samo zadanie możesz rozwiązać wykorzystując poprzednie zadanie ( z danym l)
tylko musisz znaleźć zależność między R i l - najwygodniej przez wprowadzenie kata