ciągi liczbowe !

[mici.a]

mam takie skromne pytanie, kiedy licze monotoniczność ciągu
(a)n= (-1)^n/n
(a)n+1= (-1)^n+1 / n+1

i:

(a)n+1 - (a)n = [(-1)^n+1 / n+1] - [(-1)^n/n] =
= [(-1)^n+1 * n - (-1)^n * (n+1)] / [(n+1)*n] =
= [(-1)^n * (-1) * n - (-1)^n * (n+1)] / [(n+1) * n] =
= {(-1)^n * [-n-(n+1)]} / [(n+1)*n] =
= [(-1)^n * (-n-n-1)] / [(n+1)*n] =
= (-1)^n * (-2n-1) / (n+1)*n

ogarniam to wszystko do drugiej linijki, czy ktoś jest w stanie mi
wytłumaczyć skąd się wzięło to pozostałe.. (ta 3 i 4) MASAKRA!

[tadpod]

Zauważ, że jest to ciąg naprzemienny to znaczy jego wyrazy
nieparzyste są ujemne, a parzyste dodatnie: -1,1/2,-1/3,1/4,...a
więc jest to ciąg ani rosnący ani malejący , po prostu nie jest
monotoniczny. Konie,kropka.
Ale możesz np. wykazać, że już ciąg wartości bezwzględnych to ciąg
malejący badając nie róznicę tylko iloraz: (a)n+1:(a)n=((-1)
^n+1/n+1):((-1)^n/n)=(((-1)^n*(-1))/(n+1))* (n/(-1)^n)=-n/
(n+1),czyli iloraz wartości bezwzględnych jest ułamkiem n/(n+1)<1 i
koniec , bo jest to ułamek właściwy dla każdego n ze zbioru N, wtedy
(mowa o ilorazie wartości bezwzględnych)(a)n+1<(a)n, czyli (a)n+1-(a)
n<0 - ciąg byłby malejący zgodnie z definicją.
Reasumując daj sobie spokój z tamtą masakrą...(?) Pozdrawiam ciepło.
Tu wygląda to wszyztko dość grożnie, ale jak sama napiszesz na
kartce to wszystko ,a dzielić ulamki to zapewne umiesz wszystko nie
będzie masakra

[ellipsis]

Jak już słusznie zauważył(a) tadpod, ciąg, którego wyrazy zmieniają znak
przynajmniej dwa razy na pewno nie jest monotoniczny. Spróbuję tutaj wyjaśnić
dokładniej przekształcenia z Twojego postu.
> a_n = (-1)^n/n
> a_(n+1) = (-1)^(n+1) / (n+1)
Należy stosować nawiasy!!
> a_(n+1) - a_n = [(-1)^(n+1) / (n+1)] - [(-1)^n / n] =
podstawiono wartości wyrazów ciągu
> = [(-1)^(n+1) * n - (-1)^n * (n+1)] / [(n+1)*n] =
sprowadzono do wspólnego mianownika
> = [(-1)^n * (-1) * n - (-1)^n * (n+1)] / [(n+1) * n] =
zamiast (-1)^(n+1) podstawiono (-1)^n*(-1)
> = {(-1)^n * [-n-(n+1)]} / [(n+1)*n] =
wyłączono przed nawias wspólny czynnik (-1)^n i wymnożono (-1)*n=-n
> = [(-1)^n * (-n-n-1)] / [(n+1)*n] =
opuszczono nawias przy -(n+1), zmieniając znaki
> = (-1)^n * (-2n-1) / (n+1)*n
uproszczono wyrażenie w nawiasie

Końcowy wniosek: różnica a_(n+1) - a_n jest dodatnia dla nieparzystych n i
ujemna dla parzystych n, wobec czego ciąg (a_n) nie jest monotoniczny