Zadania-podejscie analityczne

[ewelinusek7]

Punkty A=(3,-1) i B=(8,2) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD. Jeden z
pozostałych wierzchołków tego rombu należy do prostej o równaniu x=1. Wyznacz
pozostałe wierzchołki rombu ABCD.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania

[Gość: Joa]

Jeżeli ABCD jeat rombem, to AiB nie moga byc przeciwległe - cos pokręciłaś.

[ewelinusek7]

no wlasnie nie tak mam w zadaniu. JAk ja to nartsowalam to wychodzilo mi ze to
bedzie kwadrat a nie romb

[Gość: Joa]

Nie rozumiesz. Jezeli A i B to przeciwległe wierzchołki, to AB nie jest bokiem,
tylko przekatną i czworokat powinien być ACBD, a nie ABCD. Może w ksiazce jest
błąd, albo źle przepisujesz.

[Gość: szinak]

Moze.narysuj sobie owy rysunek..z rysunku widać ze mozna do wzoru na odległośc
punktu od prostej..podstawic dane. Po podstawieniu otzrymamy..odległość punktu
c od prostejx=1.gdzie punkt c jest prostopadaly do prostej x=1 inaczej nie
byłby to romb.,lub mozna wyznaczyć rówanie prostej zaiwerajcej punkt c
prostopadlej do prostej x=1 i wyznaczyc ich punkt wspolny.reszta
aanalogicznie..:)

[ellipsis]

Każdy kwadrat jest rombem!

[Gość: szinak]

Treść zadnia.powinna wyglądać tak: Punkty A(4,0) i C(5,1) sa przeciwległymi
wierzchołkami rombu ABCD.Jeden z pozostałych wierzchołkow nalezy do prostej o
równaniu x=1.Wyznacz pozostałe wierzcholki:):*

Dwa zadania, dwa rozwiązania...

[ellipsis]

Chyba Autor miał na myśli drugą wersję...
_________________

Wersja 1. Przyjmijmy, że w zadaniu chodzi istotnie o punkty A i B, a zbędne
jest słówko ,,przeciwległymi".
Niech wierzchołek, o którym mowa, ma współrzędne (1,y). Rozważamy dwa przypadki.
1a) Tym wierzchołkiem jest punkt C. Skoro odcinki AB i BC mają tę samą długość, to
(8-3)^2 + (2-(-1))^2 = (1-8)^2 + (y-2)^2,
czyli
25 + 9 = 49 + (y-2)^2
i ostatecznie
(y-2)^2 = -15,
co jest niemożliwe.
1b) Tym wierzchołkiem jest punkt D. Skoro odcinki AB i AD mają tę samą długość, to
(8-3)^2 + (2-(-1))^2 = (1-3)^2 + (y-(-1))^2,
czyli
25 + 9 = 4 + (y+1)^2
i ostatecznie
(y+1)^2 = 30.
Wobec tego
y = -1 - V(30)
lub
y = -1 + V(30).
Wierzchołek C można teraz wyznaczyć np. przykładając w punkcie D wektor AB.
Otrzymamy
C(6,3-V(30))
lub
C(6,3+V(30)).
Uwaga. W pierwszym przypadku należałoby raczej mówić o rombie ADCB (odwrotna
kolejność wierzchołków.)
_________________

Wersja 2.
Przyjmijmy, że w zadaniu chodzi w istocie o punkty A i C.
Przypomnijmy, że przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym. Środek E
odcinka AB ma współrzędne
E(11/2, 1/2).
Prosta zawierająca odcinek AC ma równanie
y = 3/5 * x - 14/5.
Prosta prostopadła do powyższej, przechodząca przez punkt E, ma równanie
y = -5/3 * x + 29/3.
Trzeci wierzchołek rombu ma odciętą x=1, a zatem ma współrzędne
(1,8).
Z rysunku odczytujemy, że jest to wierzchołek D. Wierzchołek B można teraz
wyznaczyć np. przykładając w punkcie A wektor DC. Otrzymamy
B(10,-7).
_________________

PS. W żadnym przypadku otrzymany romb _nie_ jest kwadratem...