kula, objetosc, stosunek

[Gość: dominik]

w kule o promieniu R wpisano walec o najwiekszej objetosci. wyznacz stosunek
objetosci kuli do objetosci tego walca.

pomoze ktos...

[Gość: bimbek]

W koło o promieniu R wpisz prostokąt o jednym boku 2r (r-promień podstawy walca) i
drugim H - wysokośść walca.Jest przekrój osiowy walca i opisanej na nim kuli.
Między R,r i h zachodzi zwiazek 4R^2=h^2 + 4r^2
Do wzoru V=pi*r^2 *h wstaw r^2 wyliczone z poprzedniego równania - otrzymasz
funkcje zmiennej h i wyznacz ekstremum tej funkcji.Szukany stosunek objetosci
wynosi V3

[ellipsis]

Kula i walec to bryły obrotowe. Przetnijmy kulę o promieniu R z walcem o
promieniu podstawy r i wysokości h płaszczyzną zawierającą oś walca. Otrzymamy
prostokąt o bokach 2r i h wpisany w koło o promieniu R. Stąd otrzymasz zależność
między r i h, z której wyznaczysz np. r w zależności od h. (Można wyznaczać h w
zależności od r, ale tak będzie prościej.) Na zakończenie wstawiasz wyznaczoną
zależność do wzoru na objętość walca:
V_w = pi r^2 h = f(h),
otrzymując funkcję jednej zmiennej (dokładniej będzie to wielomian stopnia 3).
Przy użyciu pochodnej znajdujesz minimum wartości tej funkcji, gdy h zmienia się
między 0 a 2R.
Odp. (nie gwarantuję, że nie ma błędu) h = 2R/V3, r = R V(2/3), V_w = 4 pi R^3
/(3 V3), V_k/V_w = V3.