wyrażenie, sinus, cosinus

[Gość: Matka Chrzestna]

Dane jest wyrażenie
-4cosx*siny+2cosx+1,
gdzie x,y należą (0;pi>

a) wyznacz największa wartość tego wyrażenia wiedząc, że
sin^x+siny=3/4

b) wyznacz x i y, dla których wyrażenie przyjmuje tę największą wartość.

---
podpunkt a chyba umiem rozwiazać i mniej więcej rozumiem
wychodzi ze największa wartosć = 2

ale nie wiem jak sie zabrać za podpunkt b
prosze o wyjaśnienia i pomoc w rozwiazaniu :)
dzięki :)
pozdrawiam

[Gość: Matka Chrzestna]

sin^2 x+siny=3/4

[Gość: Joa]

Masz w=2cosx(1-2siny)+1 i siny=3/4 - (sinx)^2 stad W=cosx[2(sinx)^2-1/2]+1=
cosx*[2-2(cosx)^2-1/2]+1= -2c^3+3c/2+1 W'(c)=-6c^2+ 3/2; w'(c)=0 <=>c=1/2 v
c=-1/2 w''(c)=-12c wiec W(1/2)=max=-1/4+3/4 +1=3/2
cosx=1/2 => siny =3/4-1/4=1/2 x=pi/3 i (y =pi/6 v y= 5pi/6)
Sprawdź - może gdziesjest pomyłka, ale idea jest taka, jak wyżej

Poprawka...

[ellipsis]

Mamy znaleźć największą tego wyrażenia w podanym zbiorze. Zauważmy, że skoro
sin^2 x + sin y = 3/4,
to
(*) - 4 sin y = 4 sin^2 x - 3 = 4(1-cos^2 x) - 3 = 1 - 4 cos^2 x.
Równocześnie ponieważ y e (0,pi>, więc sin y >= 0, a to zachodzi wtw, gdy
sin^2 x <= 3/4
i ostatecznie, uwzględniając ograniczenie x e (0,pi>, otrzymamy, że x należy do
zbioru
(**) (0,pi/3> u <2pi/3,pi>.
Podstawiając (*) do wyjściowego wyrażenia otrzymamy
W(x) = -4 cos x * sin y + 2 cos x + 1 =
= cos x * (1 - 4 cos^2 x) + 2 cos x + 1 =
= -4 cos^3 x + 3 cos x + 1.
Mamy znaleźć największą wartość funkcji W w zbiorze (**). Mamy pewien niewielki
problem - ten zbiór nie jest domknięty... Dlatego wyznaczymy największą wartość
funkcji W w zbiorze <0,pi/3> u <2pi/3,pi>.
Wyznaczamy pochodną W' i przyrównujemy ją do 0, aby znaleźć punkty ze zbioru
(0,pi/3) u (2pi/3,pi), w których funkcja W ma ekstrema lokalne:
W'(x) = -12 cos^2 x * (-sin x) - 3 sin x = 3 sin x * (4 cos^2 x - 1) = 0,
skąd
(x = 0 + k pi) lub (x = pi/3 + 2k pi) lub (x = 2pi/3 + 2k pi).
Żaden z powyższych punktów nie należy do zbioru (0,pi/3) u (2pi/3,pi), wobec
czego funkcja W nie ma żadnych ekstremów lokalnych wewnątrz swojej dziedziny.
Zatem funkcja W przyjmuje największe i najmniejsze wartości w zbiorze <0,pi/3> u
<2pi/3,pi> w którymś z punktów brzegowych: 0, pi/3, 2pi/3, pi. Obliczamy
bezpośrednio:
W(0) = -4*1^3 + 3*1 + 1 = 0,
W(pi/3) = -4*(1/2)^3 + 3*1/2 + 1 = 2,
W(2pi/3) = -4*(-1/2)^3 + 3*(-1/2) + 1 = 0,
W(pi) = -4*(-1)^3 + 3*(-1) + 1 = 2.
Wartość funkcji W w (dopisanym) punkcie 0 jest taka sama, jak w punkcie 2pi/3,
więc ostatecznie:
funkcja W przyjmuje największą wartość w zbiorze (**) dla x = pi/3 i x = pi;
jest to wartość 2;
funkcja W przyjmuje najmniejszą wartość w zbiorze (**) dla x = 2pi/3; jest to
wartość 0.
Dla pełności znajdźmy jeszcze z warunku (*) odpowiadające tym x-om y-i:
dla x=pi/3 mamy sin x = V3/2, wobec czego sin y = 0, a zatem y=pi;
dla x=pi mamy sin x = 0, wobec czego sin y = 3/4, a zatem y=y_0 lub y=pi-y_0,
gdzie sin y_0 = 3/4 i y_0 e (0,pi/2).
Odpowiedzi. a) Największą wartością tego wyrażenia w podanym zbiorze jest 2.
b) Podane wyrażenie przyjmuje największą wartość w podanym zbiorze dla
następujących argumentów: (pi/3,pi), (pi,y_0), (pi,pi-y_0).

Można znacznie prościej...

[ellipsis]

Wystarczy przypomnieć, że
cos 3x = 4 cos^3 x - 3 cos x,
wobec czego
W(x) = 1 - cos 3x.
Po naszkicowaniu wykresu powyższej funkcji w zbiorze (**) bez trudu
stwierdzamy, że funkcja W w każdym z przedziałów <0,pi/3> i <2pi/3,pi> rośnie od
0 do 2, a zatem największą wartość w zbiorze (**) przyjmuje dla x = pi/3 i x =
pi - jest to wartość 2, a najmniejszą wartość w zbiorze (**) przyjmuje dla x =
2pi/3 - jest to wartość 0. Dalej bez zmian...