geometria PILNE!!!

IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 06.01.08, 18:56
zad1
wyznacz te wartości parametru k dla których przekształcenie określone wzorem
P((x,y))= (ky, x+k) jest izometrią.


zad2
oblicz pole części koła ograniczonej prostą o równaniu y= sqrt(3)*x -
2*sqrt(3), obrazem tej prostej w symetrii względem osi OY i tą częścią okręgu
x^2+y^2=12, która leży ponad osią OX.


zad3
wyznacz figurę, która jest zbiorem środków cięciw paraboli y=x^2 -1
przechodzących przez początek układu współrzędnych.


zad4
znajdź zbiór środków wszystkich cięciw okręgu x^2+y^2+4*y+3=0, wyznaczone
przez proste przechodzące przez punkt P=(0,1).


zad5
wyznacz równanie zbioru środków wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do
okręgu x^2 +(y-2)^2=1 i stycznych do y=-2


zad6
znajdź zbiór środków wszystkich okręgów stycznych wewnętrznie do okręgu o
równaniu x^2+y^2=4 i stycznych do prostej o równaniu y=0.

zad7
znajdź równanie krzywej, którą tworzą wszystkie punkty jednakowo odległe od
okręgu x^2+y^2-2*y=0 i od prostej y+1=0.


z góry dziękuje za wszelkie wskazówki
    • tadpod Re: geometria PILNE!!! 06.01.08, 21:09
      Przesadziłaś olu. Przecież wystarczyło to włożyć np. w piątek. Ja
      pasuję! Idę oglądać TV. Dobranoc.
      • Gość: ola Re: geometria PILNE!!! IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 06.01.08, 21:58
        ale to nie jest na jutro:P :) po prostu chce to zrozumieć bo nie wiem nawet jak
        zacząć te zadania
    • Gość: kolega Re: geometria PILNE!!! IP: 195.117.116.* 07.01.08, 00:26
      W podanym przekształceniu Obrazami punktów A(a,b) , B(c,d) są odpowiednio punky
      A'(kb,a+k),B'(dk,c+k).
      Aby P było izometrią musi zachodzić warunek |AB|=|A'B'| <=>(po podniesieniu
      stronami do kwadratu)<=>(a-c)^2+(b-d)^2=(kb-kd)^2
      +(a+k-c-k)^2<=>(b-d)^2=k^2*(b-d)^2 <=>(b-d)(k^-1)=0 P jest izometria kiedy k=1
      v k=-1
      W 2) zauwaz że punkt przecięcia prostych jest wierzchołkiem trójkąta
      równobocznego wpisanego w kolo o danym równaniu ukręgu. Poszukiwane pole
      powierzchni - 4pi +6V3 (V oznacza tu sgrt)
      • Gość: kolega Re: geometria PILNE!!! IP: 195.117.116.* 07.01.08, 14:39
        >zad3
        >wyznacz figurę, która jest zbiorem środków cięciw paraboli y=x^2 -1
        >przechodzących przez początek układu współrzędnych.
        Wymienione cięciwy nalezą do prostej y=mx Prosta ta przecina parabole w
        punktach, których współrzędne spełniają układ równań
        y=x^2-1 i y =mx. Z równania x^2-mx-1=0 otrzymujesz x1=(m-V(m^2+4))/2;
        x2=(m+V(m^2+4))/2 oraz y1=m[m-V(m^2+4)]/2 ,y2=m[m+V(m^2+4)]/2.
        K(x1,y1),L(x2,y2) sa końcami dowolnej cięciwy o środku S(p,q) gdzie
        p=(x1+x2)/2=m/2; q=(y1+y2)/2=m^2/2 => m=2p i m^2=2q =>q=2p^2
        Poniewaz p i q to odcięta i rzędna punktu w układzie 0XY, równanie poszukiwanej
        krzywej można napisac w postaci y=2x^2
    • ellipsis Re: geometria PILNE!!! 07.01.08, 01:45
      Zad. 1.
      Przekształcenie P jest afiniczne (zachowuje proste), bo zależności ky i x+k są
      liniowe. Zatem przekształcenie to jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy
      przekształca jakiś dowolny ustalony trójkąt w trójkąt przystający.
      Rozważmy np. trójkąt o wierzchołkach A(0,0), B(1,0) i C(0,1). Obrazem tego
      trójkąta jest trójkąt o wierzchołkach A'(0,k), B'(0,k+1) i C'(k,k). Bezpośrednim
      rachunkiem sprawdzamy, że
      |A'B'| = 1 = |AB|;
      |A'C'| = |k|, |AC| = 1;
      |B'C'| = V(k^2+1), |BC| = V2.
      Z powyższego wynika, że przekształcenie P jest izometrią wtedy i tylko wtedy,
      gdy |k|=1 i V(k^2+1) = V2. Reszta jest oczywista.

      Zad. 2.
      a) Wykonaj rysunek(!) pamietając, że obrazem prostej o równaniu
      y = m x + n
      w symetrii względem osi OY jest prosta o równaniu
      y = -m x + n.
      b) Znajdź współrzędne punktów przecięcia wymienionych w zadaniu prostych z
      podanym w zadaniu okręgiem. Są to punkty
      A(0,...), B(-3,...), C(3,...).
      c) Zauważ, że poszukiwana figura jest sumą trzech prostszych figur:
      * trójkąta rozwartokątnego AOB, w którym łatwo wyznaczyć długość podstawy AO i
      wysokości opuszczonej na bok AO,
      * trójkąta rozwartokątnego ACO, przystającego do trójkąta AOB,
      * wycinka kołowego COB.
      Pole powyższego wycinka kołowego jest równe
      |kąt COB|/(360st.) * pi * r^2,
      gdzie r jest promieniem okręgu z zadania.
      d) Niech D(1,0). Oblicz tangens kąta COD jako iloraz rzędnej punktu C do jego
      odciętej i wyznacz stąd miarę kąta COD jako 30st.
      e) Wywnioskuj z powyższego, że |kąt COB| = 120st.
      f) Oblicz pole wycinka kołowego COB.
      Odp. 6V3 + 4 pi.

      Zad. 3.
      Rozważmy jeden koniec A takiej cięciwy. Skoro leży on na danej paraboli, to ma
      współrzędne A(x,x^2-1). Poszukajmy drugiego końca B(a,b).
      Wiemy, że drugi koniec także leży na podanej paraboli, wobec czego
      b = a^2-1.
      Z drugiej strony punkty A, B i O są współliniowe, więc
      x * b = (x^2-1) * a.
      (Powinniśmy także pamiętać, że punkt O ma należeć do odcinka AB, czyli
      x * a < 0.
      Ale to ,,samo" wyjdzie.) Rozwiązując powyższy układ równań względem a i b otrzymamy
      a = x, b = x^2 - 1
      lub
      a = -1/x, b = 1/x^2 - 1.
      Pierwszą możliwość oczywiście odrzucamy. (Podstawiając obliczoną wartość a
      zauważamy, że
      x * a = -1 < 0,
      a więc rzeczywiście punkty A i B leżą po przeciwnych stronach punktu O.)
      Środkiem odcinka AB jest punkt P(x) o współrzędnych
      ( (x - 1/x) /2, (x^2-1 + 1/x^2 -1) /2 ) = ... =
      = ( [(x^2-1) / x] /2, [(x^2-1)/x]^2 ).
      Zmienna x przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste z wyjątkiem 0.
      Pozostaje nam inaczej zapisać zbiór
      F = { ( [(x^2-1) / (2x)], 2*[(x^2-1)/(2x)]^2 ) | x e (-oo,0) u (0,oo) }.
      W tym celu rozważmy nową zmienną
      t = (x^2-1) / (2x).
      Dla x e (-oo,0) u (0,oo) przyjmuje ona wszystkie wartości rzeczywiste. Wobec tego
      F = { (t, 2 t^2) | t e R }
      jest parabolą położoną wewnątrz paraboli wyjściowej.

      Zad. 4.
      Postępujemy jak w zadaniu 3.

      Zad. 5.
      Rozważmy okrąg środku (a,b) i promieniu r. Okrąg ten jest styczny do prostej o
      równaniu y=-2 wtedy i tylko wtedy, gdy odległość jego środka od tej prostej jest
      równa promieniowi, tj. gdy
      }b - (-2)| = r.
      Okrąg ten jest styczny zewnętrznie do okręgu o równaniu x^2+(y-2)^2=1 wtedy i
      tylko wtedy, gdy odległość ich środków jest równa sumie promieni, tj. gdy
      V(a^2+(b-2)^2) = r + 1.
      Otrzymaliśmy zatem warunek:
      V(a^2+(b-2)^2) = |b+2| + 1.
      Rozwiążemy to równanie względem b. Najpierw podnosimy obustronnie do kwadratu:
      a^2+(b-2)^2 = (b+2)^2 + 2 |b+2| + 1,
      czyli
      a^2 = 2 |b+2| + 8b + 1.
      Jeżeli b<-2, to
      2 |b+2| + 8b + 1 = -2 (b+2) + 8b + 1 = 6b -3 < 0 <= a^2,
      a więc powyższa równość nie jest spełniona. Zatem b>=-2 i szukany zbiór
      F = { (a,b) | V(a^2+(b-2)^2) = |b+2| + 1 } =
      = { (a,b) | a^2 = 10 b + 5 }
      jest parabolą.

      Zad. 6.
      Postępujemy jak w zadaniu 5.

      Zad. 7.
      Rozważmy punkt o współrzędnych (a,b). Jego odległość od prostej o równaniu
      y+1=0 to |b+1|. Jego odległość od okręgu o równaniu x^2+y^2-2y=0 to
      |V(a^2+(b-1)^2)-1|. Mamy zatem warunek
      |V(a^2+(b-1)^2)-1| = |b+1|.
      Po podniesieniu do kwadratu
      a^2+(b-1)^2 - 1 = (b+1)^2,
      czyli
      a^2 - 1 = 4b.
      Ponownie otrzymaliśmy parabolę.
      • Gość: ola Re: geometria PILNE!!! IP: *.neoplus.adsl.tpnet.pl 07.01.08, 15:03
        dzięki wielkie:)
    • Gość: kolega Re: geometria PILNE!!! IP: 195.117.116.* 07.01.08, 15:39
      ad4
      znajdź zbiór środków wszystkich cięciw okręgu x^2+y^2+4*y+3=0, wyznaczone przez
      proste przechodzące przez punkt P=(0,1).
      Wymienione cięciwy nalezą do prostych o równaniu y=mx+1. Prosta ta przecina dany
      okrag w punktach o odciętych x1=[-3m-V(m^2-8)]/(m^2+1)
      x2=[-3m+V(m2-8)]/(m^2+1) kiedy m^2-8>0 (z wyróznika) Jak w poprzednim zadaniu
      środkiem cięciwy jest punkt (p,q) i p=(x1+x2)/2=-3m/(m^2+1) i
      q=(y1+y2)/2=3/(m^2+1) -2
      mamy wiec p=-3m/(m^2+1) i q+2=3/(m^2+1) stąd p/(q+2)=-m i wstawiając do
      p=-3m/(m^2+1) otrzymamy równanie okręgu p^2+q^2+q-2=0. Jest to okrag
      x^2+(y+0,5)^2=9/4 Uwzględniając warunek m^2-8>0 możemy okreslić
      w akim przedziale zmiennej x łuk znalezionego okręgu jest poszukiwanym zbiorem
      środków cięciw.
Pełna wersja