Racjonaliści, jak rozumiecie twierdzenia Gödla?

[wawrzanka]

Chciałam ten wątek założyć na forum "Nauka", ale tu spodziewam się więcej interesujących mnie odpowiedzi. Myślę, że w kontekście istnienia/nieistnienia Boga (tylko na litość boską przestańcie utożsamiać "Boga" z jednym mitem! Mitów są tysiące, a bogów jeszcze więcej, chodzi konkretnie o Waszego Boga, nawet jeśli w niego nie wierzycie, czyli w tym przypadku o antyboga, ideę braku Boga, ateizm, agnostycyzm, co chcecie) te rozważania mogą być pomocne. Zatem małe usystematyzowanie przed dyskusją:

I. Twierdzenie o niezupełności (pierwsze)
W każdym wystarczająco złożonym systemie logicznym istnieją zdania, które są prawdziwe, ale których nie da się w tym systemie udowodnić. Czyli:

Żaden system oparty na regułach nie potrafi wyjaśnić w pełni samego siebie. To tak, jakby powiedzieć:
„maszyna licząca nie może w 100% opisać swojej własnej prawdziwości”.

II. Twierdzenie o niezupełności (drugie)
Taki system nie może udowodnić swojej własnej niesprzeczności. Czyli:
Nie możesz z wnętrza systemu dowieść, że wszystko działa poprawnie. System nie potrafi sam sobie dać gwarancji stabilności.

III. Twierdzenie o pełności (to wcześniejsze, w logice pierwszego rzędu)
Jeśli coś jest prawdziwe w każdym możliwym modelu, to jest też udowadnialne. Czyli:
logika pierwszego rzędu (tak dziś działa AI, na podstawie matematyki obliczeniowej) jest kompletna: prawda = dowód, ale arytmetyka, która używa tej logiki, już nie jest kompletna, bo jest „za bogata”. Gdy system potrafi mówić o własnej strukturze — staje się na tyle „duży i żywy”, że nigdy nie da się go zamknąć jednym zestawem reguł.

Do czego zmierzam: często tu zastanawiamy się co jest prawdą. I czasem ktoś chce "dowodu", by tę prawdę potwierdzić. Ale prawda nie wymaga dowodu w świetle twierdzeń Gödla, ponieważ prawda przekracza reguły dowodliwości. Czy zgodzicie się ze mną? A jeśli nie... to co? ;-)

[privus]

Potrafisz zaskakiwać tematami swych wątków, na które niejednokrotnie nie mam jednoznacznej odpowiedzi. Tak samo i w tym wypadku. Trudno mi ustosunkować się do twierdzenia Gödla, ponieważ nie zajmowałem się tym i mało wiem na ten temat, ale - jak mi się wydaje - już w samej konstrukcji tego twierdzenia tkwi także niezupełność, której jest formalnie trudno w takim ujęciu o wewnętrznej niedowodliwości niesprzeczności dowodzić. Bo co tu w końcu dowodzić? Niesprzeczność niesprzeczności pierwszego rzędu? A co z następnymi rzędami?

A jak ustosunkować się do tego twierdzenia z punktu widzenia kluczowych problemów semantyki?

Być może w samym założeniu mojego rozumowania tkwi poważmy błąd, którego nie dostrzegam.
Ale co np. może wynikać z samej arytmetyki w kontrze do matematyki czy tablicy Mendelejewa w kontrze do chemii?
Chyba tylko to, że jedno i drugie jest zarówno niepełne jak i niezupełne, a jednak sprawdza się w dalszych procedurach i zastosowaniach.

Dlaczego?
Bo jedno i drugie jest zaledwie jakimś tam etapem do dalszych rozważań, naukowych badań i prac w danej dziedzinie. To samo można by było powiedzieć o twórcy pierwszego alfabetu, którego pogląd na rzeczywiste efekty swojej pracy też był zapewne niepełny i niezupełny.

Podobne wnioski można wyciągnąć także na bazie sugestii Gödla wprowadzającego systemy pierwszego rzędu a wiec i kolejne następne, które w stosunku do swego pierwszym rzędu wcale nie muszą być takie niesprzeczne i nieudowadnialne. W tej materii chyba coś do powiedzenia będą mieli fizycy.

W każdym bądź razie poruszyłaś w tym wątku kolejny ciekawy i intrygujący problem do rozważenia.

[jamrozy1970]

privus napisał:
> .............Trudno mi ustosunkować się do twierdzenia Gödla, ponieważ nie zajmowałem się tym i mało wiem na ten temat,
----------------------
Niestety :-( - co do cytatu powyzej to moge powiedziec to samo o sobie :-(
Tematyka jak dla mnie ogolnie bardzo trudna :-( ; analiza jej wymaga bardzo duzego skupienia :-( i byc moze wejscia na poziom pewnych abstrakcji ( ? ) .

Ja ze swej strony na tym etapie moge powiedziec w swoim imieniu: "za trudne; wymiekam" :-(

Ale moze jednak cos mi przyjdzie do glowy w tym zakresie - wowczas sie odezwe poprzez kolejny wpis

[wawrzanka]

privus napisał:

> Ale co np. może wynikać z samej arytmetyki w kontrze do matematyki czy tablicy
> Mendelejewa w kontrze do chemii?
> Chyba tylko to, że jedno i drugie jest zarówno niepełne jak i niezupełne, a jednak sprawdza się w dalszych procedurach i zastosowaniach.
>
> Dlaczego?

> Bo jedno i drugie jest zaledwie jakimś tam etapem do dalszych rozważań, naukowych badań i prac w danej dziedzinie.

No właśnie, zastanówmy się dlaczego jest zaledwie jakimś etapem. Co lub kto sprawia, że pora/można przejść do kolejnego etapu? Moim zdaniem sprawia to świadomość. Moment, w którym rozumiesz, że to koniec jakiegoś etapu i rozumiesz dlaczego. Żadna maszyna tego nie rozumie, choć pokaże ci to w obliczeniach. Ale nie zdecyduje za Ciebie czy to koniec etapu.

[privus]

I tu właśnie w moim przekonaniu należy gonić swobodnie sobie hasającego króliczka, który też miał dosyć ciasnej nory :)

[jamrozy1970]

privus napisał:
> I tu właśnie w moim przekonaniu należy gonić swobodnie sobie hasającego królicz
> ka, który też miał dosyć ciasnej nory :)

------------------------
Czyli sugerujesz ze "kroliczka" sie nie dogoni
?
:-)

[wawrzanka]

privus napisał:

> I tu właśnie w moim przekonaniu należy gonić swobodnie sobie hasającego króliczka,
> który też miał dosyć ciasnej nory :)

Jakiego znowu króliczka? Świadomość?

[privus]

Króliczek chyba świadomie opuszcza z jakichś powodów swoje ciasne podziemia i nie robi tego bez świadomości swego postępowania. Ma przecież świadomość tego, że chce opuścić dotychczasowy poligon doświadczeń i jednocześnie niepewność, czy nowa przestrzeń potwierdzi słuszność domniemań i pozwoli spojrzeć inaczej na dotychczasowe przekonania.

[wawrzanka]

privus napisał:

> Króliczek chyba świadomie opuszcza z jakichś powodów swoje ciasne podziemia i n
> ie robi tego bez świadomości swego postępowania. Ma przecież świadomość tego, ż
> e chce opuścić dotychczasowy poligon doświadczeń i jednocześnie niepewność, czy
> nowa przestrzeń potwierdzi słuszność domniemań i pozwoli spojrzeć inaczej na
> dotychczasowe przekonania.

Brawo Króliczek! Tak właśnie działa odwaga: króliczek działa, choć nie jest jeszcze gotowy. Ale za to jest świadomy tego, że dopiero suma: działanie + refleksja = doświadczenie.

[privus]

Żartobliwie to ująłem, a Ty z wielka kulturą słowa podsumowałaś.

Dzięki za wkład.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

> Do czego zmierzam: często tu zastanawiamy się co jest prawdą. I czasem ktoś chce
> "dowodu", by tę prawdę potwierdzić. Ale prawda nie wymaga dowodu w świetle
> twierdzeń Gödla, ponieważ prawda przekracza reguły dowodliwości.

Czy zgodzicie się ze mną? A jeśli nie... to co? ;-)

Twierdzenie Gödla mówi (cytując za Wikipedią), że każdy niesprzeczny system formalny
pierwszego rzędu, zawierający w sobie aksjomaty Peana, musi być niezupełny.
Oznacza to, że żaden system formalny pierwszego rzędu nigdy nie „pokryje” w całości zbioru
wszystkich twierdzeń arytmetyki.

Ale twierdzenie Gödla nie podaje przykładów takich twierdzeń arytmetyki ani metody ich uzyskiwania.
Gdyby podawało - zapewne dodatkowy aksjomat dawałby lepszy system formalny rozstrzygający
prawdziwość takiego twierdzenia (i twierdzeń pochodnych).
Tak długo jak długo nie podamy jakiegoś twierdzenia możemy uważać, że jego prawdziwość
jest nierozstrzygalna albo wręcz przyjmować je za prawdziwe (bo negacja jest nierozstrzygalna).

Coś podobnego jak z liczbami przestępnymi - wiemy, że jest ich nieprzeliczalnie wiele, są przykłady
rodzin takich liczb, np. liczba π (pi) czy e i ich wielokrotności będące liczbami arytmetycznymi,
ale jest ich tylko przeliczalnie dużo. Jak dotąd nie ma ogólnego wzoru na liczbę przestępną.
Na lepiej i od dawna znane liczby pierwsze - również.

Nieskończoność kryje w sobie bardzo dużo niespodzianek.

[wawrzanka]

Wszystko się zgadza, nie mam nawet co zacytować, zgadzam się w całości.

To jest jednak raczej wykład z logiki formalnej niż próba zmierzenia się z pytaniem, które zadałam. Oczywiście, przywołujesz tu czysto techniczne aspekty twierdzenia Gödla, być może nawet precyzyjniej niż ja. Ale nie o to przecież chodziło.

Nie pytałam czym są twierdzenia Gödla, lecz co z nich wynika dla naszego sposobu myślenia o prawdzie.

Bo jeśli każdy system formalny jest z definicji niezupełny, to znaczy, że nigdy nie dowiedziemy w jego ramach wszystkiego, co prawdziwe. Nauka, choć fascynująca, też jest takim systemem — samowystarczalnym tylko w swoich granicach. A przecież to człowiek wyznacza te granice i decyduje, co jest dowodem, co zaś przesądem.

I tu właśnie wracamy do sedna:
Czy człowiek jest istotą skończoną w swojej mądrości, inteligencji i nieomylności, by móc uznać własne reguły dowodzenia za ostateczne?
Czy może jednak prawda istnieje poza tym, co rozumiemy, mierzymy i opisujemy?

Bo jeśli tak — jeśli prawda przekracza ramy dowodliwości — to być może Bóg (czy jakkolwiek go nazwiemy: Absolut, Źródło, Sens, Świadomość) nie jest kwestią wiary, lecz właśnie skutkiem niezupełności naszego poznania.

Więc powtórzę pytanie, którego – przyznaj – zręcznie uniknąłeś:
Jeśli prawda nie wymaga dowodu, bo leży poza systemem, który dowody wytwarza — to gdzie właściwie przebiega granica nauki, a gdzie zaczyna się poznanie?

I żeby ułatwić Ci zmierzenie się z pytaniem, które tu stawiam — a nie z tym, którego nie stawiam — dorzucę jedną pomocniczą myśl.

Skoro sam powołujesz się na Gödla, to zauważ, że jego twierdzenia nie mówią tylko o arytmetyce. One mówią o granicach każdego systemu tworzonego przez umysł ludzki. A skoro tak, to spróbujmy logicznie — w końcu to Twój żywioł — zrobić krok dalej:

Jeśli system nie potrafi udowodnić własnej niesprzeczności, to czy człowiek — jako twórca systemu — potrafi udowodnić swoją? Jeśli system nie potrafi udowodnić wszystkich własnych prawd, to czy człowiek, który system tworzy, potrafi udowodnić wszystkie prawdy o rzeczywistości?

A jeśli nie potrafi — to czy nie warto przynajmniej dopuścić możliwości, że prawda wykracza poza to, co aktualnie potrafimy sformalizować?

To nie jest pytanie religijne. To pytanie o horyzont ludzkiego poznania.
Spróbuj je potraktować jak zadanie z logiki rozszerzonej poza zbiór, który zwykle przyjmujesz za domknięty.

Bo dopiero tu zaczyna się rozmowa człowieka z człowiekiem.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

Nie pytałam czym są twierdzenia Gödla, lecz co z nich wynika dla naszego sposobu myślenia o prawdzie.

To, że wszystko co do tej pory okazało się prawdą, dalej będzie prawdą, a to co okazało się
nieprawdą fałszem już pozostanie. Natomiast to, czego jeszcze nie wykazano do tej pory lub
czego dotychczas nie postulowano i nie dowodzono, może być zarówno prawdą, fałszem
jak i problemem nierozstrzyganym, z tym że każdą z tych ewentualności też należy dowieść.

> Bo jeśli każdy system formalny jest z definicji niezupełny, to znaczy, że nigdy nie dowiedziemy
> w jego ramach wszystkiego, co prawdziwe.

Oczywiście.

Rozszerzanie systemu o kolejne aksjomaty pozwala rozwiązać niektóre nierozwiązywalne problemy
(jak np. w teorii mnogości aksjomatyka ZFC z aksjomatem wyboru względem aksjomatyki ZF bez niego)
ale dalej pozostawia inne nierozwiązywalne problemy, gdyż system ciągle jest niezupełny (tw. Gödla).
Próby rozwiązania problemu nie można zastąpić tezą, iż istnieją problemy nierozwiązywalne.
Zapytam więc w drugą stronę - czy na pewno chcemy i musimy znać odpowiedzi na pytania,
których nawet nie potrafimy postawić?

> Czy człowiek jest istotą skończoną w swojej mądrości, inteligencji i nieomylności, by móc uznać własne
> reguły dowodzenia za ostateczne?

Gdyby człowiek był istotą skończoną w swojej mądrości, inteligencji i nieomylności zapewne uznałby
rzeczywistość za nieistotną, a reguły dowodzenia za zbędne. Po co dowodzić, skoro wie się wszystko?

> Czy może jednak prawda istnieje poza tym, co rozumiemy, mierzymy i opisujemy?

A jaka to prawda, żeby nie podnosić poziomu abstrakcji zbyt wysoko?
Czy chociaż prawdziwa, czy tylko subiektywna?

> jeśli prawda przekracza ramy dowodliwości — to być może Bóg (czy jakkolwiek go nazwiemy:
> Absolut, Źródło, Sens, Świadomość) nie jest kwestią wiary, lecz właśnie skutkiem niezupełności naszego
> poznania.

Oczywiście dodanie pewnika (aksjomatu) o istnieniu Boga i działań zwanych Cudami za jego pomocą
jest niezbędne w teologii ("Bóg czyni cuda"), to z jego pomocą nie stworzymy systemu zupełnego.
Próbowaliśmy, ale zamiast prawdziwych odpowiedzi był zakaz zadawania nieprawdziwych pytań.

Pojęcia Wiary ("Wiara czyni cuda") w psychologii czy socjologii wydają się równie przydatne.
Ale subiektywna prawda jaką proponują ma jedynie wartość lokalną.

Nauki ścisłe nie wprowadzają powyższych pewników, bo generalnie nie są antropocentryczne.

> Jeśli prawda nie wymaga dowodu, bo leży poza systemem, który dowody wytwarza — to gdzie właściwie
> przebiega granica nauki ...

Kiedy potrafimy wykazać (a więc udowodnić), że coś leży poza systemem, który te dowody wytwarzał
i zaproponować nowy, który będzie je wytwarzał lepiej. Hipotezy można mieć, a dowody musi się mieć.

[olszak-przytycki]

Wariant dobrze podsumował.
Też uważam,że prawda nie jest relatywna.

[wawrzanka]

Mam wrażenie, że znowu odruchowo wskoczyłeś do ulubionego basenu: formalnych systemów logicznych. Pływasz tam świetnie, nikt Ci tego nie odbiera, tylko… ja pytam, czy kiedykolwiek pływałeś w morzu, a Ty udajesz, że nie słyszysz i robisz salto w basenie.

> Zapytam więc w drugą stronę - czy na pewno chcemy i musimy znać odpowiedzi na pytania,
> których nawet nie potrafimy postawić?

Nie chodzi o to, czy chcemy czy musimy. Chodzi o to, że nasza niewiedza nie unieważnia istnienia tych pytań.
Niemowlę nie potrafi postawić pytania o śmierć, a jednak śmierć istnieje. Plemiona prehistoryczne nie potrafiły zapytać o grawitację, a jednak grawitacja działała. Ludzkość przez większość swojej historii nie potrafiła postawić pytania o istnienie liczb niewymiernych, fraktali, promieniowania mikrofalowego czy czarnych dziur, a one były faktem.

> Gdyby człowiek był istotą skończoną w swojej mądrości, inteligencji i nieomylno
> ści zapewne uznałby rzeczywistość za nieistotną, a reguły dowodzenia za zbędne. Po co dowodzić, sko
> ro wie się wszystko?

Nie pytam, co zrobiłby wszechwiedzący człowiek, lecz czy człowiek - jako gatunek - nie przecenia swoich narzędzi poznawczych, kiedy traktuje logikę i dowód jako ostateczne miary prawdy. Twój argument sprowadza się do banału: „gdybyśmy wiedzieli wszystko, nie musielibyśmy niczego udowadniać”. Oczywiście. Tylko że nikt nie twierdzi, że człowiek wie wszystko. Wręcz przeciwnie: ja twierdzę, że nie wie i że ta niewiedza powinna prowadzić do pokory, a nie do absolutyzowania systemu, który człowiek sam skonstruował.

> A jaka to prawda, żeby nie podnosić poziomu abstrakcji zbyt wysoko?
> Czy chociaż prawdziwa, czy tylko subiektywna?

Prawdziwa, ale... słabe jest to pytanie. Nadal pływasz w basenie. Zakładasz, że prawda musi mieścić się w tym, co człowiek potrafi udowodnić, a to jest założenie metafizyczne, a nie logiczne. Zakładasz, że rzeczywistość jest dokładnie taka, jak język, którym ją opisujesz. Dopóki mieszasz granice ludzkiego poznania z granicami świata, dopóty Twoje rozróżnienie „prawda czy subiektywność” pozostaje tylko pytaniem o to, co da się zmieścić w Twoim własnym systemie — a nie o prawdę.

Twoje pytanie — „czy prawda jest prawdziwa czy tylko subiektywna” — zakłada, że człowiek ma dostęp do narzędzi, które pozwalają mu odróżnić jedno od drugiego. Żeby odróżnić „prawdę prawdziwą” od „subiektywnej”, musisz przyjąć, że ludzka logika jest w stanie uchwycić prawdę absolutną. A to jest teza metafizyczna, a nie logiczna. Pytanie, które mi zadałeś, spada jak siatka na twój basen. I nie ma żadnej mocy rozstrzygającej. Bo prawda jest po prostu taka, jaka jest. Ale z basenu tego nie widać.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

> Nie chodzi o to, czy chcemy czy musimy. Chodzi o to, że nasza niewiedza nie
> unieważnia istnienia tych pytań.

Niewiedza nie, ale wiedza już tak - zadawanie pytań na które nie ma odpowiedzi nic nie daje.

Weźmy jakiś prosty przykład z zastosowaniem twierdzenia Gödla:
Mamy pudełko z kotem Schrödingera, jest zamknięte, czy potrafimy dowieść, że kot żyje?
Skoro nie, to na pewno jest martwy? Nie - tego też nie potrafimy wykazać.
Eksperyment myślowy Schrödingera miał na celu zilustrować zasadę nieoznaczoności Heisenberga.
Ta została wyprowadzona matematycznie w oparciu o tradycyjną aksjomatykę, więc stanowi
przedmiot rozważań Gödla i jest prawdziwa. Ale konkluzją nieoznaczoności jest superpozycja,
stan który ani nie jest prawdą, ani fałszem, a jednocześnie jest oboma na raz.
A że cząstek elementarnych których dotyczy superpozycja jest we wszechświecie dużo, dostajemy
całą rodzinę twierdzeń, które są nierozstrzygalne. Zapewne część z nich może okazać się prawdziwa
a część fałszywa, jeśli zbadamy cząsteczkę zmieniając jednocześnie jej stan.

Jeśli zmodyfikujemy eksperyment Schrödingera tak, by cały czas obserwować kota przez okienko,
to okaże się, że on nigdy nie był w superpozycji i albo jest żywy albo martwy. Ale w oryginalnym
eksperymencie Schrödingera nie potrafimy tego stwierdzić póki nie otworzymy pudełka.

> Nie pytam, co zrobiłby wszechwiedzący człowiek, lecz czy człowiek - jako gatunek
> nie przecenia swoich narzędzi poznawczych, kiedy traktuje logikę i dowód jako ostateczne
> miary prawdy.

Oczywiście - w matematyce określenie "prawda" odnosi się do logiki matematycznej
dwuwartościowej. Przy korzystaniu z logiki rozmytej mówimy o prawdopodobieństwie.
Zjawiska kwantowe z fizyki łatwo produkują tezy nierozstrzygalne w sensie Gödla,
ale o znanych prawdopodobieństwach, więc możliwe do obróbki matematycznej.

Na przykład teza, że w najbliższym losowaniu totolotka wypadną liczby: [...]
(nie podaję, bo w totka nie gram, więc byłbym w kłopotliwej sytuacji, gdyby takie wypadły)
oczywiście podpada pod Gödla więc nie jest możliwa do udowodnienia i może być prawdą,
(czyli warto grać i wygrać?) ale dokładnie da się określić prawdopodobieństwo takiego wyniku
losowania (czyli nie warto grać w totolotka z uwagi na ujemną wartość oczekiwanego zysku).

> Żeby odróżnić „prawdę prawdziwą” od „subiektywnej”, musisz przyjąć, że ludzka logika
> jest w stanie uchwycić prawdę absolutną. A to jest teza metafizyczna, a nie logiczna.

Ale w logice pojęcie prawdy absolutnej nie występuje. To chyba jakiś teolog wyfilozofował.
Trzymajmy się tego, co Gödel udowodnił w swoich twierdzeniach.
Nieoznaczoność nie jest prawdą absolutną (i w dodatku trzeba ją wykazać)

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Weźmy jakiś prosty przykład z zastosowaniem twierdzenia Gödla:
> Mamy pudełko z kotem Schrödingera, jest zamknięte, czy potrafimy dowieść, że ko
> t żyje?
> Skoro nie, to na pewno jest martwy? Nie - tego też nie potrafimy wykazać.
> Eksperyment myślowy Schrödingera miał na celu zilustrować zasadę nieoznaczonośc
> i Heisenberga.
> Ta została wyprowadzona matematycznie w oparciu o tradycyjną aksjomatykę, więc
> stanowi
> przedmiot rozważań Gödla i jest prawdziwa. Ale konkluzją nieoznaczoności jest s
> uperpozycja,
> stan który ani nie jest prawdą, ani fałszem, a jednocześnie jest oboma na raz.
> A że cząstek elementarnych których dotyczy superpozycja jest we wszechświecie d
> użo, dostajemy
> całą rodzinę twierdzeń, które są nierozstrzygalne. Zapewne część z nich może ok
> azać się prawdziwa
> a część fałszywa, jeśli zbadamy cząsteczkę zmieniając jednocześnie jej stan.

Przykład z kotem Schrödingera jest świetną ilustracją… właśnie tego, o czym mówię: że nie da się uchwycić całej natury rzeczywistości w ramach jednego systemu aksjomatycznego. Sam zauważasz, że superpozycja prowadzi do stanów, które w ogóle nie mieszczą się w klasycznej logice dwuwartościowej. Kot jest żywy i martwy zarazem – i to nie dlatego, że nie umiemy tego „udowodnić”, tylko dlatego, że rzeczywistość funkcjonuje według reguł, które przekraczają logikę, w której próbujemy ją opisywać.

Gdy wchodzisz w świat kwantowy, musisz porzucić paradygmat, którym próbujesz go badać.
To nie Gödel zawodzi – to ramy, w których usiłujesz rozwiązać problem, stają się zbyt ciasne.

> Jeśli zmodyfikujemy eksperyment Schrödingera tak, by cały czas obserwować kota
> przez okienko,
> to okaże się, że on nigdy nie był w superpozycji i albo jest żywy albo martwy.
> Ale w oryginalnym
> eksperymencie Schrödingera nie potrafimy tego stwierdzić póki nie otworzymy pud
> ełka.

Jeśli obserwacja „przez okienko” powoduje, że kot nigdy nie był w superpozycji, to znaczy, że "Twój" eksperyment nie dotyczy już w ogóle superpozycji, tylko… zwykłego kota oglądanego przez szybę. A to nie jest „modyfikacja” eksperymentu Schrödingera — to jego unieważnienie. Cała pointa Schrödingera polega właśnie na tym, że superpozycja dotyczy opisu rzeczywistości przed aktem obserwacji, a nie tego, co chcemy sobie podejrzeć przez szybkę.

> Oczywiście - w matematyce określenie "prawda" odnosi się do logiki matematyczne
> j
> dwuwartościowej. Przy korzystaniu z logiki rozmytej mówimy o prawdopodobieństwi
> e.
> Zjawiska kwantowe z fizyki łatwo produkują tezy nierozstrzygalne w sensie Gödla
> ,
> ale o znanych prawdopodobieństwach, więc możliwe do obróbki matematycznej.
>
> Na przykład teza, że w najbliższym losowaniu totolotka wypadną liczby: [...]
> (nie podaję, bo w totka nie gram, więc byłbym w kłopotliwej sytuacji, gdyby tak
> ie wypadły)
> oczywiście podpada pod Gödla więc nie jest możliwa do udowodnienia i może być p
> rawdą,
> (czyli warto grać i wygrać?) ale dokładnie da się określić prawdopodobieństwo t
> akiego wyniku
> losowania (czyli nie warto grać w totolotka z uwagi na ujemną wartość oczekiwan
> ego zysku).

Twoje rozumowanie cały czas zakłada, że prawda = wartość logiczna, a świat można opisać wyłącznie za pomocą systemów formalnych. Tyle że właśnie to założenie jest największym ograniczeniem. Logika dwuwartościowa jest narzędziem człowieka, nie prawem wszechświata. Mechanika kwantowa pokazała to boleśnie: superpozycja nie jest „prawdą” ani „fałszem”, ani nawet „prawdopodobieństwem prawdy”. Jest fizycznym stanem bytu, który istnieje zanim jakikolwiek system formalny zostanie do niego przyłożony.

> Ale w logice pojęcie prawdy absolutnej nie występuje. To chyba jakiś teolog wyf
> ilozofował.
> Trzymajmy się tego, co Gödel udowodnił w swoich twierdzeniach.
> Nieoznaczoność nie jest prawdą absolutną (i w dodatku trzeba ją wykazać)

Dziękuję Ci bardzo. Stwierdzenie, że „w logice pojęcie prawdy absolutnej nie występuje” jest właśnie najlepszym dowodem na to, że logika, której tak pilnujesz, nie jest narzędziem do orzekania o prawdzie poza własnym układem formalnym. To nie teolog coś „wyfilozofował”, tylko sama matematyka to przyznała: logika opisuje to, co jest prawdziwe wewnątrz systemu, zgodnie z jego aksjomatyką. Nic więcej.

Jeśli więc mamy się trzymać się tego, co Gödel udowodnił, to trzymajmy się:
Gödel właśnie pokazał, że logika nie potrafi uchwycić pełni prawdy, bo każdy system, który opisuje sam siebie, jest niezupełny. Innymi słowy — logika wyznacza własny sufit poznawczy.

To oznacza, że spór o „prawdę absolutną” nie jest teologią, lecz konsekwencją matematyki. Logika nie ma narzędzi, by ją uchwycić i matematyka to wykazuje. To tak, jakbyś powiedział, że „promieniowanie podczerwone nie istnieje, bo aparat fotograficzny go nie rejestruje”. Nie — to aparat ma ograniczenia. W przeciwieństwie do wyobraźni, która ograniczeń nie ma. Poza jednym: nie we wszystko warto wierzyć. I dopiero subiektywna ocena w co warto, a w co nie warto wierzyć wykracza poza system, jeśli już chcesz wartościować.

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Zapytam więc w drugą stronę - czy na pewno chcemy i musimy znać odpowiedzi na pytania,
> których nawet nie potrafimy postawić?

Jeszcze muszę coś dopowiedzieć do tego, bo to jest jak pytanie przedszkolaka: "mamo, a czy ja na pewno muszę iść do przedszkola? A tak w ogóle to nie ma żadnego przedszkola. Mój miś Kolargol mi tak powiedział!" Miś Kolargol to ulubiona zabawka dziecka. Odpowiednik twojego systemu.

> Oczywiście dodanie pewnika (aksjomatu) o istnieniu Boga i działań zwanych Cudam
> i za jego pomocą jest niezbędne w teologii ("Bóg czyni cuda"), to z jego pomocą nie stworzymy systemu zupełnego. Próbowaliśmy, ale zamiast prawdziwych odpowiedzi był zakaz zadawania nieprawdziwych pytań.

Aksjomat o istnieniu Boga nie tworzy systemu zupełnego. Co więcej, żaden aksjomat, nawet matematyczny, tego nie potrafi; więc jeśli wykluczasz pewne pytania to uprawiasz ten sam "zakaz" zadawania nieprawdziwych pytań, który stosował kościół. Twoje pobudki są subiektywne, ale mechanizm "zakazu" ten sam: pycha i strach przed prawdą.

Nie jesteś tak okrutny jak inkwizycja (ogranicza cię kultura i cywilizacja XXI wieku), ale i tak Twoje musi być na wierzchu. Nie dopuszczasz rozmów na trudne tematy i w subtelny sposób je umniejszasz, lub wykpiwasz, bo nie mieszczą się w twoim metafizycznym założeniu. Nie bronisz logiki, tylko ograniczeń swojego systemu.

[internauta81]

Droga wawrzanko, wariant dał ci i też nam wszystkim wspaniałą odpowiedź na twoje obserwacje.Ty jesteś na poziome przedszkola, wariant na pozione uniwersyteckim.
Przyjęcie do świadomości przez " sredniego obywatela" wypowiedzi warianta nie jest możliwe, podobnie jak ty, nie przyjmujesz prawdy warianta.Nie dziwię się, nawet Albert Einstein popelnił błędy wprowadzając "stałą kosmologiczną" i stwierdzając - w odniesieniu do relacji obserwator i obserwowane - że Bóg nie gra kostkami.
Poza matematyką pojęcie "prawdy" jest, musi być względne.
Dziękuję ci za interesujący wątek i wariantowi za syntetyczną odpowiedź.

[wawrzanka]

internauta81 napisał:

> Droga wawrzanko, wariant dał ci i też nam wszystkim wspaniałą odpowiedź na twoj
> e obserwacje.Ty jesteś na poziome przedszkola, wariant na pozione uniwersyteckim.

A ty zapewne na papieskim. Jeśli mój poziom to przedszkole, a Warianta — uniwersytet, to dziękuję za potwierdzenie, że kobiety zaczynają tam, gdzie niektórzy mężczyźni kończą.

[internauta81]

wawrzankaRe: Racjonaliści, jak rozumiecie twierdzenia Gödl25.11.25, 12:36
........Jeszcze muszę coś dopowiedzieć do tego, bo to jest jak pytanie przedszkolaka: "mamo, a czy ja na pewno muszę iść do przedszkola? A tak w ogóle to nie ma żadnego przedszkola. Mój miś Kolargol mi tak powiedział!" Miś Kolargol to ulubiona zabawka dziecka. Odpowiednik twojego systemu.

A ty zapewne na papieskim. Jeśli mój poziom to przedszkole, a Warianta — uniwersytet, to dziękuję za potwierdzenie, że kobiety zaczynają tam, gdzie niektórzy mężczyźni kończą.
-----------------------------------------------------------------------
Wawrzanko, sama piszesz o przedszkolu.Twój przykład jest dziecinny, q.e.d.
Potem, znajduję niepoważne twoje uwagi dotyczące kobiet i mężczyzn.W przeogromnym skrócie, są komplementarnymi.

[privus]

Każdy funkcjonuje na poziomie własnej wiedzy i poglądów. Nikt na tym forum Ciebie nie osądzał i nie klasyfikował. Wymiana poglądów między wawrzonką a wariantem_b zawsze była inspirująca i zmuszająca do myślenia.
Cały problem polega na tym, że chcieć mieć rację to jeszcze nie oznacza rację, a tym bardziej wiedzieć po co i dla czego. Zawsze z zainteresowaniem przyglądam się kulturalnym dyskusjom i wyważonym argumentom, chociaż w rezultacie - jak się wydaje - w zmierzają zmierzają do tego samego poglądu. Ale przecież do tego służy dyskusja i wymiana poglądów, by wyjaśnić sobie rozbieżności i przyczyny, co ze względów merytorycznych nie zawsze jest możliwe. Przypomnij sobie spory o to, czy ziemia jest płaska czy też okrągła, które najczęściej kończyły się stosami dla przeciwników oficjalnej wersji.

[wawrzanka]

privus napisał:

> Cały problem polega na tym, że chcieć mieć rację to jeszcze nie oznacza rację,
> a tym bardziej wiedzieć po co i dla czego. Zawsze z zainteresowaniem przyglądam
> się kulturalnym dyskusjom i wyważonym argumentom, chociaż w rezultacie - jak
> się wydaje - w zmierzają zmierzają do tego samego poglądu.

Dziękuję Privus. To brzmi bardzo po ludzku i tego tu szukam. Co do ostatniego zdania: nie wiem, czy dyskusje na tematy graniczne (takie, które akurat w danym czasie są naukowo fascynujące) mogą być kulturalne i wyważone. Wśród matematyków i fizyków zawsze istniały zażarte spory. Taka jest nasza natura: wzbudzać się i poskramiać się. To gwarantuje rozwój.

Jestem akurat w Larnace, piszę to na balkonie z lampką wina, fale szaleją, morze nigdy nie odpoczywa, jak serce, które tłoczy krew. Ludzkie ciało i psychika działa w takim samym rytmie jak natura.

Niestety, historia nauki jest w większości zdominowana przez myślenie męskie. Kobiety dopiero teraz dochodzą do głosu i uważam, że bez tego głosu nie da się dotknąć żadnej prawdy. Kobiety zawsze więcej czuły, niż wiedziały. Pora, by to znalazło odzwierciedlenie w nauce.

Moja córka niedawno zwróciła mi uwagę na pewien kulturowy mit: że niby kobiety są bardziej emocjonalne od mężczyzn. Co za bzdura! One są bardziej intuicyjne, a nie bardziej emocjonalne. To - niestety - emocje typu agresja, porywczość, nadpobudliwość, nadmierna autonomia były dominujące przez wieki. Czy to dobrze? Nie wiem. Prawda jest taka, jaka jest.

Najpierw kulturę zdominowały emocje męskie. Teraz zaczynają dochodzić do głosu żeńskie. Z czasem się zharmonizują. Póki co nadal nawet w cywilizacji zachodniej pokutuje mit (choć już jest demaskowany przez młodsze pokolenia), że mężczyźni umieją "zachować zimną krew," a kobiety "beczą". Co to znaczy "zachować zimną krew"? Zabić z zimną krwią? Co to jest za relatywizacja?

Mężczyźni, gdyby umieli zachować zimną krew, to by nie gwałcili, nie wywoływali wojen, nie brali ludzi do niewoli. Potrafiliby panować nad swoimi emocjami. A oni nie potrafili czasem nawet panować nad swoimi instynktami i według nich tworzyli prawo. Rzeczywiście wspaniała historia panowania nad emocjami.

[privus]

wawrzanka napisała:

> Jestem akurat w Larnace, piszę to na balkonie z lampką wina, fale szaleją, morz
> e nigdy nie odpoczywa, jak serce, które tłoczy krew. Ludzkie ciało i psychika d
> ziała w takim samym rytmie jak natura.

Och, jak ja Ci zazdroszczę tego klimatu :).
Swego czasu podreptałam sobie trochę po tej wyspie nie unikając także i przygód. Specyficzny klimat i atmosfera. Coś po między Turcją a Grecją z własnymi dodatkami.

Jeśli uda Ci się spróbuj rzucić okiem na drugą część wyspy. Jest nie mniej ciekawa, chociaż przejście graniczne przypomina czasy z PRL.

> Niestety, historia nauki jest w większości zdominowana przez myślenie męskie.
W dalekiej przeszłości nauką zajmowali sią ci, którzy ze względu na swój status i swobodę dysponowanie swoim czasem mogli sobie na to pozwolić. A że w znakomitej większości byli to mężczyźni, skutkowało to tworzącymi się poglądami i wpływało na tradycje. W moim odczuciu dają one świadectwo minionej przeszłości zarówno w większej jak i mniejszej skali. Dotyczy to również legend wyrażających pragnienia danej społeczności.

Życzę filmowych wrażeń z tych Holly Day.

[wawrzanka]

privus napisał:

> Jeśli uda Ci się spróbuj rzucić okiem na drugą część wyspy. Jest nie mniej cie
> kawa, chociaż przejście graniczne przypomina czasy z PRL.

Plany napięte, więc nie ma szans, ale faktycznie, ciekawa sytuacja. I stolica podzielona na pół :-)

[wariant_b]

internauta81 napisał:

> Droga wawrzanko, wariant dał ci i też nam wszystkim wspaniałą odpowiedź
> na twoje obserwacje.

Tu akurat będę musiał bronić wawrzankę. Jest coraz lepsza.
Szczerze mówiąc koncentrowałem się pojęciach, które rozumiemy lub definiujemy odmiennie,
stąd standardowy repertuar przykładów niewiele mających do twierdzenia Gödla.

Gödel rozwiązał negatywnie problem Hilberta związany z przechodzeniem z rachunku zdań
opartego na logice dwuwartościowej, w która zawiera pojęcie "prawda" i jest systemem zupełnym,
do rachunku predykatów I rzędu (w szczególności opartych o aksjomatykę Peano liczb naturalnych)
w którym "prawda" nie jest pojęciem pierwotnym i zastępujemy ją predykatem "jest prawdziwe".
Czyli można, ale rozsądnie, bo są nieusuwalne rozbieżności mogące prowadzić do błędów.

Nie podoba mi się, że wawrzanka propaguje teorie spiskowe jakoby nauka hamowała
rozwój wiedzy, a nauki alternatywne mają lub będą miały znaczący udział w jej rozwoju.
W istocie na przykład fizyka kwantowa wynika głównie z obliczeń matematycznych,
które znajdują potwierdzenie doświadczalne dopiero po latach. Jak dla mnie nauka zajmuje
się tworzeniem modeli rzeczywistości i ich weryfikacją, a nie opisem subiektywnych wrażeń.
Stąd dziwne tezy np. że NDE (a właściwie RED) stanowi dowód istnienia nieśmiertelnej duszy,
która jest nielokalna względem ciała (tylko nie da się jej zdefiniować i przypisać metod).

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Nie podoba mi się, że wawrzanka propaguje teorie spiskowe jakoby nauka h
> amowała
> rozwój wiedzy, a nauki alternatywne mają lub będą miały znaczący udział
> w jej rozwoju.
> W istocie na przykład fizyka kwantowa wynika głównie z obliczeń matematycznych,
>
> które znajdują potwierdzenie doświadczalne dopiero po latach. Jak dla mnie nauk
> a zajmuje
> się tworzeniem modeli rzeczywistości i ich weryfikacją, a nie opisem subiektywn
> ych wrażeń.
> Stąd dziwne tezy np. że NDE (a właściwie RED) stanowi dowód istnienia nieśmiert
> elnej duszy,
> która jest nielokalna względem ciała (tylko nie da się jej zdefiniować i przypi
> sać metod).

Piszesz o „teoriach spiskowych”, „hamowaniu wiedzy” i „subiektywnych wrażeniach”, ale te wtręty nie odnoszą się do niczego, co napisałam. Przesuwasz rozmowę z pola argumentów na pole uprzedzeń – i liczysz, że nikt nie zauważy. Zauważam.

Ja nie muszę mieć "dowodu" (w takim sensie jak ty rozumiesz słowo "dowód") na to, że świadomość jest nielokalna, bo rozumiem, że w ramach obecnych zasad dowodzenia naukowego, taki dowód jest niemożliwy do uzyskania. Zrozumienie tego faktu wymaga głębokiej intuicji, autorefleksji, empatii, wyobraźni i myślenia abstrakcyjnego. Być może po prostu nie ćwiczyłeś tych zasobów i nie wypracowałeś ich na poziomie pozwalającym na zrozumienie tego faktu. Czy bierzesz to pod uwagę?

Dlatego nie – nie propaguję teorii spiskowych. Propaguję coś znacznie trudniejszego do przyjęcia: świadomość, że Twój porządek świata nie jest jedynym możliwym. I że nauka dopiero zaczyna mówić ludzkim głosem.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

Piszesz o „teoriach spiskowych”, „hamowaniu wiedzy” i „subiektywnych wrażeniach”,
ale te wtręty nie odnoszą się do niczego, co napisałam.

Ale wynikają z mojej świadomości (chyba nie zaprzeczysz jej istnieniu) i stanowią prawdę
subiektywną. A poprzez związek mojej świadomości indywidualnej ze świadomością ogólną
(której istnieniu również nie zaprzeczasz) może nawet prawdę absolutną?
Czym chcesz walczyć z prawdą absolutną?

Ja nie muszę mieć "dowodu" (w takim sensie jak ty rozumiesz słowo "dowód") na to,
że świadomość jest nielokalna, bo rozumiem, że w ramach obecnych zasad dowodzenia
naukowego, taki dowód jest niemożliwy do uzyskania.

Na pewno nie?
Upiorne działanie na odległość czyli Paradoks EPR (Einsteina, Podolskiego, Rosena) pochodzi
z 1935 roku jako wynik operacji matematycznych i obecnie określane jest jako nielokalność.
Na razie nie znaleziono metody dowiedzenia, że był to błąd rachunkowy lub systematyczny.
Ale intensywne próby doświadczalnego potwierdzenia nielokalności zaczęto chyba dopiero
po opublikowaniu twierdzenia Bella jakieś trzydzieści lat później.
Bez tego w twojej świadomości nie istniałoby pojęcie nielokalności i musiałabyś się
posługiwać jakimiś metafizycznymi pojęciami w rodzaju "wędrówka dusz".

Zrozumienie tego faktu wymaga głębokiej intuicji, autorefleksji, empatii, wyobraźni
i myślenia abstrakcyjnego.

Co do pierwszej linijki zgoda, ale myślenie abstrakcyjne wymaga nie tyle posługiwania się
abstrakcyjnymi pojęciami, co zdolności do analizy ich powiązań i wzajemnych zależności.
Cała matematyka posługuje się wyłącznie abstrakcyjnymi pojęciami, ale ich związki
pozwalają na tworzenie modeli rzeczywistości, a na tym polega nauka (nauki ścisłe).

Dlatego nie – nie propaguję teorii spiskowych. Propaguję coś znacznie trudniejszego
do przyjęcia: świadomość, że Twój porządek świata nie jest jedynym możliwym.

A czy ja twierdzę, że jest jedynym? Podasz lepszy, to będę mógł go przyjąć.
Podobno jedynie ateiści zaakceptują istnienie boga, gdyby okazało się, że ten istnieje.

I że nauka dopiero zaczyna mówić ludzkim głosem.

I to z dużym wkładem rachunku predykatów wyższych rzędów, którego właściwości dotyczy ten wątek.

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Ale wynikają z mojej świadomości (chyba nie zaprzeczysz jej istnieniu) i stanowią prawdę
> subiektywną. A poprzez związek mojej świadomości indywidualnej ze świadomością
> ogólną
> (której istnieniu również nie zaprzeczasz) może nawet prawdę absolutną?
> Czym chcesz walczyć z prawdą absolutną?

Hm... Czy Ty na pewno rozumiesz twierdzenia Gödla?

„Prawdy subiektywne” jako „prawdy absolutne”, są uroczym żartem. Niemożliwe, żebyś Ty, matematyk, nie zauważył, że właśnie obróciłeś się o 360 stopni. Jeśli naprawdę uważasz, że Twoje skojarzenia automatycznie zyskują rangę Absolutu, bo „wynikają z Twojej świadomości” i „łączą się ze świadomością ogólną”, to nie dyskutujemy już o Gödlu, logice ani epistemologii, lecz o wierze we własną nieomylność.

A z wiarą w nieomylność nie da się „walczyć”, bo to to jest mechanizm obronny.

Skoro przywołujesz świadomość ogólną, to pozwól, że przypomnę: jej podstawowym warunkiem jest wyjście poza wąskie ramy własnego umysłu. A Ty właśnie próbujesz zrobić odwrotnie — zamknąć Absolut w granicach swojej prywatnej narracji.

Jeśli absolutyzujesz to, co subiektywne, to nie tworzysz argumentu, tylko dogmat. Gdyby to wystarczało, każdy człowiek uznałby siebie za nośnik Prawdy Najwyższej i świat natychmiast zamieniłby się w piekło monologów.
Zostawmy więc w spokoju prawdy absolutne. Zwykła Prawda ma większą moc.

> Upiorne działanie na odległość czyli Paradoks EPR (Einsteina, Podolskieg
> o, Rosena) pochodzi
> z 1935 roku jako wynik operacji matematycznych i obecnie określane jest jako ni
> elokalność.
> Na razie nie znaleziono metody dowiedzenia, że był to błąd rachunkowy lub syste
> matyczny.
> Ale intensywne próby doświadczalnego potwierdzenia nielokalności zaczęto chyba
> dopiero
> po opublikowaniu twierdzenia Bella jakieś trzydzieści lat później.
> Bez tego w twojej świadomości nie istniałoby pojęcie nielokalności i musiałabyś
> się
> posługiwać jakimiś metafizycznymi pojęciami w rodzaju "wędrówka dusz".

Mylisz dwie rzeczy, które w tej rozmowie staram się uporządkować od początku: świadomość i system poznawczy, w którym ta świadomość pracuje. "Nielokalność" to tylko nazwa, a Ty używasz jej jak trofeum, jakby sama jej idea nie mogła powstać bez twierdzenia Bella. Ale to właśnie odróżnia wyobraźnię od rachunku: intuicja metafizyczna wyprzedza formalizm matematyczny, a nie odwrotnie. Einstein wymyślił EPR, zanim jakakolwiek matematyka mogła go zweryfikować. Schrödinger wymyślił kota, zanim cokolwiek można było „zmierzyć”. Nielokalność była problemem filozoficznym, zanim stała się eksperymentem.

Zarzut o „wędrówce dusz” jest intelektualną ucieczką — próbujesz zredukować moje stanowisko do metafory, którą łatwo wyśmiać. Ale to nie jest debata o metaforach. To jest debata o tym, czy logika, w której myślisz, może wyjaśnić wszystko, co istnieje.

Napiszę to najprościej jak potrafię:

Jeśli nielokalność jest faktem fizycznym, to twoja wiara w lokalność świadomości jest tylko przyzwyczajeniem, a nie wiedzą.

> A czy ja twierdzę, że jest jedynym? Podasz lepszy, to będę mógł go przyjąć.
> Podobno jedynie ateiści zaakceptują istnienie boga, gdyby okazało się, że ten i
> stnieje.

To ciekawe, bo właśnie na tym polega różnica między nami: ja nie twierdzę, że mój porządek świata jest „lepszy”. Twierdzę, że jest szerszy. Ty natomiast żądasz „lepszego modelu”, jakby rzeczywistość była konkursem piękności teorii. Stąd moje podejrzenie, że nie rozumiesz twierdzeń Gödla. Nie jakoby było w tym coś złego. Ja także nie rozumiem wielu rzeczy.

Gödel pokazuje, że każdy model jest z natury ograniczony — i że nie istnieje taki, który mógłby objąć całość. Więc nie chodzi o „przyjęcie lepszego”, lecz o uznanie, że żaden model, łącznie z Twoim, nie ma monopolu na prawdę. To jest sedno twierdzeń Gödla.

Ateista „akceptujący Boga, gdyby ten istniał” brzmi jak geometryczny dwuwymiarowiec deklarujący, że „oczywiście uzna trzeci wymiar, jeśli ktoś mu go pokaże”. Problem w tym, że jego narzędzia z definicji go nie widzą.

> I że nauka dopiero zaczyna mówić ludzkim głosem.
>
> I to z dużym wkładem rachunku predykatów wyższych rzędów, którego właściwości dotyczy ten wątek.

Tak, bo są elementem systemu poznawczego. Tego, w którym pracuje nasza świadomość. To bardzo eleganckie narzędzie — ale nadal narzędzie. Nie świadomość sama w sobie. Nie rzeczywistość. Nie prawda.

Nauka zaczyna mówić ludzkim głosem dopiero tam, gdzie przestaje udawać, że jedyna droga poznania prowadzi przez dowód formalny. Mówi ludzkim głosem, kiedy otwiera się na fenomeny, których nie potrafi jeszcze zmierzyć. Na pytania, których nie umie jeszcze zapisać. Na intuicje, które poprzedzają równania — tak jak zrobił Einstein, Schrödinger czy Wheeler.

Twój zakres świadomości mieści się idealnie w tym, co Gödel nazwał systemem niezupełnym. Warto spojrzeć poza jego brzeg. Nie po to, żeby go „obalić” (bo się nie da i nie o to w twierdzeniach Gödla chodzi), tylko poszerzyć.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

> Hm... Czy Ty na pewno rozumiesz twierdzenia Gödla?

A czy ty na pewno potrafisz opisać świadomość za pomocą predykatów I rzędu?

> Jeśli naprawdę uważasz, że Twoje skojarzenia automatycznie zyskują rangę Absolutu, bo
> „wynikają z Twojej świadomości” i „łączą się ze świadomością ogólną”, to nie dyskutujemy
> już o Gödlu, logice ani epistemologii, lecz o wierze we własną nieomylność.

Czy tak zwana "świadomość ogólna" to dla ciebie śmietnik, wysypisko odpadów świadomości?
Nie ma w niej żadnych mechanizmów selekcji?

> Skoro przywołujesz świadomość ogólną, to pozwól, że przypomnę: jej podstawowym
> warunkiem jest wyjście poza wąskie ramy własnego umysłu. A Ty właśnie próbujesz
> zrobić odwrotnie — zamknąć Absolut w granicach swojej prywatnej narracji.

Wyjście dokąd? Do następnego poziomu subiektywnych wrażeń, wierzeń i własnych prawd?
Czy nie lepiej jest wpuścić tę "świadomość ogólną" do własnej świadomości?

> Mylisz dwie rzeczy, które w tej rozmowie staram się uporządkować od początku:
> świadomość i system poznawczy, w którym ta świadomość pracuje. "

Mój system poznawczy nakazuje najpierw zdefiniować "świadomość" i określić
podstawowe działania, jakie na tym pojęciu można wykonywać. Taki abstrakcyjny model.
Być może coś na podobieństwo złożonych systemów adaptacyjnych.

> Nielokalność" to tylko nazwa, a Ty używasz jej jak trofeum, jakby sama jej idea nie mogła powstać
> bez twierdzenia Bella.

Odbieram ci twoje trofeum, którym się chwaliłaś. Jeśli świadomość służy do produkcji
par splątanych cząstek w organizmach żywych, to będziesz musiała to wykazać.

> Einstein wymyślił EPR, zanim jakakolwiek matematyka mogła go zweryfikować.

EPR sam mu się objawił w wyliczeniach, zanim ktokolwiek go wymyślił.
Einstein nazwał go nawet "upiornym efektem". I zapewniam, że weryfikował te wyniki.

> Schrödinger wymyślił kota, zanim cokolwiek można było „zmierzyć”.

Wymyślił go (kota Schrödingera), jako ilustrację superpozycji. Doświadczenie myślowe ani empiryczne
na kotach nie przyczyniły się do odkrycia pojęcia superpozycji, a jedynie do jej spopularyzowania.

> Zarzut o „wędrówce dusz” jest intelektualną ucieczką

Zastanawiałem się, jaki termin wymyśliłabyś, gdyby fizycy nie wykryli nielokalności.
Nie wydaje mi się bowiem, żeby przed tym odkryciem świadomość nie istniała.

> Napiszę to najprościej jak potrafię:
> Jeśli nielokalność jest faktem fizycznym, to twoja wiara w lokalność świadomości
> jest tylko przyzwyczajeniem, a nie wiedzą.

Nie dysponuję wiedzą na temat nielokalności świadomości. Nie wykazano jej ani
teoretycznie, ani nie stwierdzono eksperymentalnie. Nawet nie udało się poprawnie
zdefiniować, co to jest świadomość.

> To ciekawe, bo właśnie na tym polega różnica między nami: ja nie twierdzę, że mój
> porządek świata jest „lepszy”. Twierdzę, że jest szerszy.

Szarszy o co? O nowe prawdy, czy nowe nieprawdy?
Dokąd chcesz dojść tymi szerszymi drogami, skoro nie potrafisz wykazać dokąd prowadzą.

> Gödel pokazuje, że każdy model jest z natury ograniczony — i że nie istnieje taki, który
> mógłby objąć całość. Więc nie chodzi o „przyjęcie lepszego”, lecz o uznanie, że żaden model,
> łącznie z Twoim, nie ma monopolu na prawdę. To jest sedno twierdzeń Gödla.

Nie - twierdzenie Gödla dotyczy rachunku predykatów I rzędu zawierającego aksjomatykę Peano.
(czyli liczby naturalne i ich konsekwencje). Aksjomatyka liczb naturalnych nie zawiera pojęcia "prawda".
To pojęcie występuje w systemach rzędu 0 opartych na logice dwuwartościowej.

Spróbuj skonstruować nieznaną nauce liczbę rzeczywistą przestępną, bo problem jest podobny.

> Ateista „akceptujący Boga, gdyby ten istniał”...

A wierzący nie są w stanie tego dokonać. Ten prawdziwy, to nie ich bóg.

>> I to z dużym wkładem rachunku predykatów wyższych rzędów, którego właściwości
>> dotyczy ten wątek.
> Tak, bo są elementem systemu poznawczego. Tego, w którym pracuje nasza świadomość.

Ale za słaby, by mógł w pełni opisać świadomość.

> Nauka zaczyna mówić ludzkim głosem dopiero tam, gdzie przestaje udawać, że jedyna droga
> poznania prowadzi przez dowód formalny. Mówi ludzkim głosem, kiedy otwiera się na fenomeny,
> których nie potrafi jeszcze zmierzyć.

Pod warunkiem, że je zmierzyć zamierza. A ja odnoszę wrażenie, że właśnie tego unikasz najbardziej.
Wiedza nie jest aż tak atrakcyjna, jak wiara.

> Twój zakres świadomości mieści się idealnie w tym, co Gödel nazwał systemem niezupełnym.
> Warto spojrzeć poza jego brzeg. Nie po to, żeby go „obalić” (bo się nie da i nie o to w twierdzeniach
> Gödla chodzi), tylko poszerzyć.

Ale o co? Niewiedza podpowiada nam dużo więcej rozwiązań niż wiedza. Czasem mogą być przydatne,
ale zwykle jednak błędne i szkodliwe.

[wariant_b]

Aha, jeśli możesz ogranicz się z wypisywaniem uwag na temat mojej świadomości.
Wydaje mi się, że w tym temacie jestem lepiej poinformowany, niż ty.

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Aha, jeśli możesz ogranicz się z wypisywaniem uwag na temat mojej świadomości.
> Wydaje mi się, że w tym temacie jestem lepiej poinformowany, niż ty.

Nie oceniam Twojej świadomości – oceniam sposób argumentacji, który myli poziomy: logikę formalną, psychologię i epistemologię. Jeśli masz wrażenie, że odnoszę się do Ciebie personalnie, to dlatego, że sam sprowadziłeś rozmowę do „mojej świadomości vs. Twojej świadomości”, zamiast do tego, czym świadomość jest jako zjawisko.

Jeżeli uważasz, że jesteś lepiej poinformowany, tym bardziej powinno Cię to skłonić do precyzji. Twierdzenia Gödla nie dotyczą ani Twojej świadomości, ani mojej – dotyczą granic systemów, a my dyskutujemy właśnie o tym, czy jesteś w stanie przekroczyć granice własnego systemu pojęciowego. To nie atak. To pytanie filozoficzne.

[wawrzanka]

W tej rozmowie zaszła ciekawa dynamika: z pozoru rozmawiamy o Gödlu, ale w rzeczywistości rozmawiamy o granicach ludzkiego poznania — i o granicach komfortu. W Twoich odpowiedziach było bardzo dużo logiki i dobrej woli, ale także coraz więcej tonu obronnego. Każdy z nas czasem broni nie twierdzeń matematycznych, tylko własnego sposobu porządkowania świata.

Dlatego pozwól, że zakończę tę rozmowę tak, jak powinna zostać zakończona — z szacunkiem, bez dalszego dzielenia włosa na czworo: twierdzenia Gödla nie są argumentem przeciwko matematyce — przeciwnie, są jej największym osiągnięciem, bo wykazują jej niewystarczalność.

I tak samo jest z nami wszystkimi:
możemy być genialni w ramach własnego systemu myślenia —
a jednak nigdy nie wyczerpiemy całej prawdy. I właśnie dlatego ta rozmowa miała sens.

[jamrozy1970]

wariant_b napisał:
> wawrzanka napisała:
> > Do czego zmierzam: często tu zastanawiamy się co jest prawdą. I czasem ktoś chce
> > "dowodu", by tę prawdę potwierdzić. Ale prawda nie wymaga dowodu w świetle
> > twierdzeń Gödla, ponieważ prawda przekracza reguły dowodliwości.
>
> Czy zgodzicie się ze mną? A jeśli nie... to co? ;-)
-----------------
Moja odpowiedz jest jasna i jednoznaczna:
a jesli NIE to agnostycyzm






Pozdrawiam serdecznie

[stefan4]

wariant_b:
> [...] Oznacza to, że żaden system formalny pierwszego rzędu nigdy nie „pokryje” w cał
> ości zbioru wszystkich twierdzeń arytmetyki.
>
> Ale twierdzenie Gödla nie podaje przykładów takich twierdzeń arytmetyki ani metody
> ich uzyskiwania.

Ależ podaje! Znaczy, Gödel podał zdanie sformułowane w arytmetyce pierwszego rzędu takie, że ani ono ani jego zaprzeczenie nie da się udowodnić w oparciu o aksjomaty Peano. Oczywiście jest to zdanie ,,przekątniowe'', czyli chwytające samo siebie za ogon.

Zaczyna się od ponumerowania wszystkich zdań wyrażalnych w arytmetyce pierwszego rzędu, oraz wszystkich możliwych dowodów. To daje się zrobić — bo takich zdań i takich dowodów jest przeliczalnie wiele — ta numeracja jest bardzo istotna dla możliwości przeprowadzenia dowodu.

Wtedy daje się wyrazić sąd ,,dowód nr k nie jest dowodem zdania numer n''; wobec tego również (jeden kwantyfikator) sąd ,,zdanie nr n nie ma dowodu''. Ale w takim razie dla każdego n ten sąd też jest zdaniem i ma swój numer. To teraz trzeba się chwycić za ogon i sformułować zdanie nr n0 stwierdzające, że ,,zdanie nr n0 nie ma dowodu''; czyli zdanie
    Gödel ≡ ,,Gödel nie ma dowodu''.
Ważne jest, że to da się zapisać w języku arytmetyki pierwszego rzędu. Bo teraz
    • gdyby zdanie Gödel miało dowód, to musiałoby być prawdziwe
      (system jest niesprzeczny), więc nie miałoby dowodu — sprzeczność;
    • gdyby zaprzeczenie zdania Gödel miało dowód, to dałoby się
      udowodnić, że ,,Gödel ma dowód'' — znowu sprzeczność.
Więc ani Gödel, ani ¬Gödel nie dają się udowodnić.

I tyle. Tw. Gödla nie mówi niczego ani o poznawalności świata, ani o możliwościach badania jego natury rozumem, ani o istnieniu/nieistnieniu bytów nadprzyrodzonych. Podaje tylko pewne techniczne ograniczenie (niezupełność) na moc systemów dedukcyjnych pierwszego stopnia zawierających aksjomatykę Peano. Jeśli komuś na tej aksjomatyce nie zależy, to nie musi przejmować się twierdzeniem Gödla, bo nic nie wie o możliwości numerowania zdań. Jeśli dopuszcza logiki rzędów wyższych niż pierwszy, to również nie musi przejmować się twierdzeniem Gödla, bo zbiorów bardziej nieskończonych niż przeliczalnie i tak nie ma jak ponumerować.


Wawrzanka zamieściła to samo pytanie na Forum Nauka i ja je tam znalazłem. Wczoraj odbyłem z nią dyskusję na tym forum i rozstaliśmy się, pozostając przy swoich poprzednich poglądach. Jeśli kogoś taka dyskusja interesuje (jest mniej techniczna od tego, co powyżej), to zapraszam.


wariant_b:
> Coś podobnego jak z liczbami przestępnymi - wiemy, że jest ich nieprzeliczalnie
> wiele, są przykłady rodzin takich liczb, np. liczba π (pi) czy e i ich wielokrotności
> będące liczbami arytmetycznymi, ale jest ich tylko przeliczalnie dużo.

Czego jest przeliczalnie dużo? Liczb algebraicznych jest przeliczalnie dużo, liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie dużo, algebraiczne i przestępne to już wszystkie rzeczywiste — więc przestępnych jest nieprzeliczalnie dużo.

wariant_b:
> Jak dotąd nie ma ogólnego wzoru na liczbę przestępną.

To trochę zależy od tego, co rozumiesz przez ,,wzór''. Dla każdej liczby przestępnej istnieje ciąg liczb wymiernych do niej zbieżny; np. dla π może to być coś w rodzaju:

    3
    3.1
    3.14
    3.141
    3.1415
    3.14159
    3.141592
    . . .

Czy taki ciąg uznasz za ,,nieskończony wzór''?

- Stefan

[wariant_b]

stefan4 napisał:

I tyle. Tw. Gödla nie mówi niczego ani o poznawalności świata, ani o możliwościach badania jego natury rozumem, ani o istnieniu/nieistnieniu bytów nadprzyrodzonych. Podaje tylko pewne techniczne ograniczenie (niezupełność) na moc systemów dedukcyjnych pierwszego stopnia zawierających aksjomatykę Peano. Jeśli komuś na tej aksjomatyce nie zależy, to nie musi przejmować się twierdzeniem Gödla, bo nic nie wie o możliwości numerowania zdań. Jeśli dopuszcza logiki rzędów wyższych niż pierwszy, to również nie musi przejmować się twierdzeniem Gödla, bo zbiorów bardziej nieskończonych niż przeliczalnie i tak nie ma jak ponumerować.

Spodobało mi się sformułowanie, że w systemie zupełnym każda tautologia jest twierdzeniem,
a w systemie poprawnym każde twierdzenie jest tautologią.

Ale może zacznijmy od zagadki (dla wawrzanki):
dlaczego mamy taki oto wariant paradoksu kłamcy:
Gödel ≡ ,,Gödel nie ma dowodu''.
a nie wydawałoby się bardziej naturalne: ,,Gödel jest nieprawdziwy''?

Podpowiem, że wyjaśnia to twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności prawdy.
Coś podobnego (nie ma tu prawdy) w waszej dyskusji na Nauce sugerował kumoter40.

Z numerami Gödla jest mały myk - kwantyfikator ogólny rozpisujemy na ciąg przeliczalny
(nieskończoność przeliczalną wprowadza aksjomat indukcji Peano).
Więc pojawia się nieprzeliczalność, która jest wykazywana metodą przekątniową Cantora.

Czego jest przeliczalnie dużo? Liczb algebraicznych jest przeliczalnie dużo, liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie dużo, algebraiczne i przestępne to już wszystkie rzeczywiste — więc przestępnych
jest nieprzeliczalnie dużo.

Tu trochę się nie zrozumieliśmy - liczb przestępnych jest nieprzeliczalnie dużo, ale potrafimy
skonstruować jedynie skończoną ich ilość (i oznaczyć symbolami, jak e czy π).
Mnożąc taką skonstruowaną liczbę przez liczbę algebraiczną (oprócz 0) dostajemy przeliczalną
rodzinę liczb przestępnych, które oczywiście możemy również uwzględnić w numeracji.

[stefan4]

wariant_b:
> Z numerami Gödla jest mały myk - kwantyfikator ogólny rozpisujemy na ciąg przeliczalny
> (nieskończoność przeliczalną wprowadza aksjomat indukcji Peano).
> Więc pojawia się nieprzeliczalność, która jest wykazywana metodą przekątniową Cantora.

Skąd nieprzeliczalność? Wszystkich ciągów przeliczalnych jest wprawdzie nieprzeliczalnie wiele, ale ciągów przeliczalnych wyznaczonych formułą skończonej długości tylko tyle ile formuł, więc przeliczalnie wiele.

wariant_b:
> liczb przestępnych jest nieprzeliczalnie dużo, ale potrafimy skonstruować jedynie
> skończoną ich ilość

Nie tylko liczb przestępnych, wszystkiego można skonstruować tylko skończoną ilość. Ale jeśli zgodzić się na konstrukcję ,,parametryczną'' z parametrem przebiegającym jakiś zbiór przeliczalny, to tych konstruktów może być więcej.

Oczywiście potrafię napisać liczbę przestępną nie mającą w sobie niczego wspólnego ani z e  ani z π . Np. wśród liczb postaci
   
(gdzie a i b są wymierne i b >0) jest na pewno wiele liczb przestępnych; a to dlatego, że jak się taki logarytm wstawi za niewiadomą do wielomianu, to szansa, że naturalne potęgi tego wielomianu wyprowadzą tą niewiadomą na ludzi, są nikłe. No, to podałem wzór opisujący nieskończony zbiór liczb przestępnych...


A tak bardziej filozoficznie: co pozamatematycznego wynika z twierdzeń Gödla?

A co wynika z twierdzenia, że kwadratury koła nie da się zrobić linijką i cyrklem (Wantzel, Lindemann, 1882)? Dawniejszy entuzjasta konstrukcji geometrycznych mógłby zaprotestować:
    — Jak to ,,się nie da''? Czyli nikt dotąd tego nie dokonał, prawda?
    — Nie dokonał i nigdy nie dokona. Tu masz dowód niemożności.
No, właśnie. Z tego dowodu nie wynika, że nie istnieje kwadrat o polu równym polu koła. Nie wynika nawet, że nie da się takiego kwadratu dokładnie wyznaczyć. Wynika tylko, że linijka i cyrkiel to zbyt słabe narzędzia, żeby to zrobić. To jest twierdzenie o ograniczoności narzędzi.

Podobnie jest z tw. Gödla. Z niego nie wynika niepoznawalność arytmetyki, a tym bardziej czegoś pozamatematycznego. Wynika tylko, że systemy logiczne pierwszego rzędu to zbyt słabe narzędzia jak na całą arytmetykę. To również jest twierdzenie o narzędziach.

- Stefan

[wariant_b]

stefan4 napisał:

Skąd nieprzeliczalność? Wszystkich ciągów przeliczalnych jest wprawdzie nieprzeliczalnie wiele,
ale ciągów przeliczalnych wyznaczonych formułą skończonej długości tylko tyle ile formuł,
więc przeliczalnie wiele.

Oczywiście, że każda z formuł ma skończoną długość, ale jest ich przeliczalnie wiele.
Powiedzmy, że pierwsze formuły z listy można zapisać w jednej linijce. Ale następne
są już bardziej skomplikowane (wyższa liczba Gödla) i będziemy potrzebowali strony
na zapis pojedynczej formuły. Potem ryzy papieru, ciężarówki z papierem, a w końcu
cały pozostały zapas papieru na Ziemi nie wystarczy na zapisanie kolejnej formuły.
A Gödel dąży do tego (po to liczby Gödla i diagonalizacja), żeby wykazać, że można
skonstruować formułę której nie było na liście, a jest poprawna. Różni się od każdej
z przeliczalnej liczby ponumerowanych formuł jakimś detalem.
Wawrzanka będzie narzekać, że są prawdziwe formuły których nie można udowodnić.
Więc niech weźmie taką formułę na tysiąc stron druku i powie, po co jest jej potrzebna.
A to tylko bardzo krótka formuła - większość (prawie wszystkie) jest dłuższa.

[i]Oczywiście potrafię napisać liczbę przestępną nie mającą w sobie niczego wspólnego ani z e  ani z π .

Dzięki za przypomnienie o logarytmach. Faktycznie mogą być liczbami przestępnymi.
Ale możemy wyrazić je wzorem, a ponadto jest ich (dla wymiernych a i b) przeliczalna ilość.
Problem istnienia nieprzeliczalnej ilości nieznanych nam liczb pozostaje.
Ale czy świadczy to o naszej niewiedzy? Skądże. Ten system tak ma i nic na to nie poradzimy.

[stefan4]

wariant_b:
> Dzięki za przypomnienie o logarytmach. Faktycznie mogą być liczbami przestępnymi.
[...]
> Problem istnienia nieprzeliczalnej ilości nieznanych nam liczb pozostaje.

To samo dotyczy liczb rzeczywistych. Niby jest ich nieprzeliczalnie wiele. Ale wypisać możemy tylko skończoną ich ilość; a skończonymi wzorami opisać tylko przeliczalnie wiele.

W dodatku każda teoria pierwszego rzędu, mająca model nieskończony, ma model dowolnej mocy nieskończonej. Więc teoria pierwszego rzędu dla liczb rzeczywistych posiada taki model, w którym liczb rzeczywistych jest tylko przeliczalnie wiele. Mimo, że zawiera aksjomat ciągłości (że każdy zbiór ograniczony ma supremum) — oczywiście to dlatego, że w tym modelu również pojęcie zbioru jest niestandardowe.

Ale ja myślę, że powinienem wynieść się z tego wątku Wawrzanki. Kiedy gospodarz głosi Natchnioną Niepoznawalność, to typ pojawiający się z logiką i rozumem nie jest pożądanym gościem. Tylko niech Wawrzanka pozwoli mi zabrać ze sobą Gödla, jako że mój ci jest. A i Twój.

- Stefan

[internauta81]

stefan4Re: Racjonaliści, jak rozumiecie twierdzenia Gödl09.12.25, 16:56

-----------Ale ja myślę, że powinienem wynieść się z tego wątku Wawrzanki. Kiedy gospodarz głosi Natchnioną Niepoznawalność, to typ pojawiający się z logiką i rozumem nie jest pożądanym gościem. Tylko niech Wawrzanka pozwoli mi zabrać ze sobą Gödla, jako że mój ci jest. A i Twój.
'-------------------------------------------------------------------------------
Zgadzam się z Tobą całkowicie.
"Natchniona Niepoznawalność".Wspaniałe !

[wawrzanka]

internauta81 napisał:

> Zgadzam się z Tobą całkowicie.
> "Natchniona Niepoznawalność".Wspaniałe !

A co Ci się w tym najbardziej podoba, Internauto?

[wawrzanka]

stefan4 napisał:

> Ale ja myślę, że powinienem wynieść się z tego wątku Wawrzanki. Kiedy gospodar
> z głosi Natchnioną Niepoznawalność, to typ pojawiający się z logiką i rozumem n
> ie jest pożądanym gościem. Tylko niech Wawrzanka pozwoli mi zabrać ze sobą Göd
> la, jako że mój ci jest. A i Twój.

Wszak to ty jesteś głosicielem jedynie słusznych interpretacji, więc mnie do tego nie mieszaj. Trzeba mieć w sobie dużo ukrytego księżowskiego powołania, żeby dostrzec w moich wypowiedziach "Natchnioną Niepoznawalność".

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Ale może zacznijmy od zagadki (dla wawrzanki):
> dlaczego mamy taki oto wariant paradoksu kłamcy:
> Gödel ≡ ,,Gödel nie ma dowodu''.
> a nie wydawałoby się bardziej naturalne: ,,Gödel jest nieprawdziwy''?

To ja mam inną zagadkę: dlaczego TY, Wariancie, masz taki wariant paradoksu prawdy? Ale od razu odpowiem: bo go sobie stworzyłeś w twoim osobistym systemie formalnym właśnie po to, by wyjść poza jego ramy i zadać mi "zagadkę". Zadziałała Twoja świadomość, bo logiki w tym nie ma.

Paradoks kłamcy działa tylko wtedy, gdy wolno nam w systemie mówić o prawdzie zdań tego systemu.
A nie wolno. I o tym właśnie jest twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności prawdy.
W systemie formalnym nie da się zdefiniować pojęcia „prawdziwości” zdań należących do tego samego systemu, bo prowadziłoby to prosto do sprzeczności typu:
„To zdanie jest fałszywe”.
Dlatego Gödel nie mógł skonstruować zdania mówiącego „jestem nieprawdziwy”.
Musiał użyć pojęcia „nieudowadnialności”, bo dowód da się wyrazić wewnątrz systemu, a prawdy — nie.
Zatem rozwiązanie zagadki jest proste:
O prawdzie nie wolno mówić wewnątrz systemu (Tarski). O dowodzie mówić wolno.
Zdanie Gödlowskie brzmi: „Nie mam dowodu” a nie: „Jestem nieprawdziwe”.

Paradoks kłamcy działa w języku naturalnym, a Gödel działa w matematyce.
To dwie różne ligi, choć obie pięknie ilustrują granice naszego poznania.

[stefan4]

wawrzanka:
> Paradoks kłamcy działa w języku naturalnym, a Gödel działa w matematyce.
> To dwie różne ligi, choć obie pięknie ilustrują granice naszego poznania.

Nie granice poznania, tylko granice możliwości danego systemu formalnego. Gödel nie jest o poznaniu, tylko o udowadnianiu w arytmetyce pierwszego rzędu.

- Stefan

[wawrzanka]

stefan4 napisał:

> Nie granice poznania, tylko granice możliwości danego systemu formalnego. Gödel nie jest o poznaniu, tylko o udowadnianiu w arytmetyce pierwszego rzędu.

Może dla Ciebie, jeśli się upierasz. Każdy system formalny jest modelem poznania. Jeśli model ma nieprzekraczalne bariery, to użytkownik modelu też. I to nie jest metafora, tylko logiczna konsekwencja.

[stefan4]

wawrzanka:
> Może dla Ciebie, jeśli się upierasz. Każdy system formalny jest modelem
> poznania.

Używasz pojęcia ,,model'' odwrotnie, niż czynią to logicy. Dla nich (czy może nas...) ,,teoria'' albo ,,system formalny'' to opis: literki, formuły, aksjomaty, reguły przekształcania zdań w inne zdania (reguły wywodu), itp. A ,,model'' to badana rzeczywistość. Teoria ma zwykle wiele różnych modeli; ale też rzeczywistość może być modelem dla wielu teorii. System formalny (teoria) jest narzędziem poznania wybranego modelu (czyli rzeczywistości).

wawrzanka:
> Jeśli model ma nieprzekraczalne bariery, to użytkownik modelu też.

Model (czyli rzeczywistość) nie ma barier; bariery może mieć teoria, czyli jakiś jego opis. Wtedy należy wyciągnąć rękę po inną teorię.

To tak jak np. z konstrukcjami geometrycznymi. W klasycznej teorii konstrukcji wykonywanych cyrklem i linijką bez podziałki, w ogólnym przypadku nie da się dokonać trysekcji kąta — i ta niemożność nie jest trudna do udowodnienia. Ale można to zrobić cyrklem i linijką z podziałką. Sięgnij po lepsze narzędzie i problem rozwiążesz.

Twierdzenia Gödla nie mówią niczego o prawdziwych liczbach naturalnych (czyli obiekcie zainteresowań arytmetyki). One dotyczą tego, co na temat liczb naturalnych da się wywnioskować z aksjomatów Peano przy pomocy logiki pierwszego rzędu. Jak coś wywnioskujesz w ten sposób, to to jest prawdziwa własność liczb naturalnych. Ale nie na odwrót: z tego, że czegoś nie możesz wywnioskować w tej akurat teorii, nic nie wynika dla modelu. Jeśli potrzebujesz, to sięgnij po jakąś inną teorię.

- Stefan

[wawrzanka]

stefan4 napisał:

> Używasz pojęcia ,,model'' odwrotnie, niż czynią to logicy. Dla nich (czy może
> nas...) ,,teoria'' albo ,,system formalny'' to opis: literki, formuły, aksjomat
> y, reguły przekształcania zdań w inne zdania (reguły wywodu), itp. A ,,model''
> to badana rzeczywistość.

Twoje poprawki semantyczne są poprawne w logice; mój punkt dotyczy poznania.
To nie jest sprzeczność. To są dwa różne porządki.
Nie ma tu konfliktu. Jest tylko rozszerzenie perspektywy, której domagasz się ode mnie, a sam odmawiasz mi prawa używać.

Ale spokojnie, to normalne. Logicy często wpadają w tę pułapkę:
bronią definicji tak zaciekle, że przeoczają to, co definicje miały opisywać.

> Ale można to zrobić cyrklem i linijką z podziałką. Sięgnij po le
> psze narzędzie i problem rozwiążesz.

Zatem jeśli chcesz dalej rozmawiać, to zmień narzędzie. My, istoty myślące, potrafimy zrobić to, czego system nie potrafi zrobić wobec samego siebie. Możemy „sięgnąć po inną teorię”, bo nie jesteśmy zamknięci w aksjomatach tak, jak maszyna, albo czysty system formalny.

> Twierdzenia Gödla nie mówią niczego o prawdziwych liczbach naturalnych (czyli o
> biekcie zainteresowań arytmetyki). One dotyczą tego, co na temat liczb natural
> nych da się wywnioskować z aksjomatów Peano przy pomocy logiki pierwszego rzędu
> . Jak coś wywnioskujesz w ten sposób, to to jest prawdziwa własność liczb natu
> ralnych. Ale nie na odwrót: z tego, że czegoś nie możesz wywnioskować w tej
> akurat teorii, nic nie wynika dla modelu. Jeśli potrzebujesz, to sięgnij
> po jakąś inną teorię.

Inna teoria będzie miała dokładnie ten sam problem: nie domknie całości. Dziurawa łódź sama się nie naprawi, choćbyś jej dał milion różnych narzędzi. Ale nie dogadamy się, bo ty zaproponujesz, żeby dać łodzi miliard narzędzi i wtedy ona się sama naprawi. A może cholera nawet masz rację. W każdym razie nie chce mi się już z tobą gadać. Twój autorytarny, wszystkowiedzący ton mnie zniechęca. Ty nie chcesz się bawić. Ty chcesz mieć całą piaskownicę dla siebie. Ewentualnie oddasz trochę Wariantowi pod warunkiem, że będzie ci podawał zabawki, które wskażesz mu palcem. No to proszę bardzo, baw się z Wariantem.

[jarek3579]

Uważam się za racjonalistę więc czuje się wywołany do odpowiedzi. Twierdzenie Gödla jeśli odnieść je do religii to w zasadzie zaprzeczają istnienie bytu nieomylnego.

Ponieważ zgodnie z tym twierdzenie nie może istnieć system , który udowodni wszystkie prawdy bo zawsze będą istniały zdania prawdziwe , których nie da się udowodnić.

Żaden system (Byt) nie jest w stanie udowodnić ,że jest całkowicie niesprzeczny i bezbłędny.
Każda inteligencja ma wbudowane ograniczenia i nie może być absolutnie doskonała.

Podobnym zagadnieniem zajmował się Turing , obaj doszli do wniosku , że istnieją fundamentalne granice tego co można obliczyć , udowodnić czy przewidzieć.

Ale można z tych teorii wyciągnąć inne wnioski, że być może istnieją prawdy o rzeczywistości lub Bogu , których człowiek nie może udowodnić a które mogą być prawdziwe i mogą istnieć poziomy rzeczywistości wykraczające poza matematyczną rzeczywistość np. ludzka intuicja albo głupota.

[wawrzanka]

jarek3579 napisał:

> Ale można z tych teorii wyciągnąć inne wnioski, że być może istnieją prawdy o r
> zeczywistości lub Bogu , których człowiek nie może udowodnić a które mogą być p
> rawdziwe i mogą istnieć poziomy rzeczywistości wykraczające poza matematyczną r
> zeczywistość np. ludzka intuicja albo głupota.

Podoba mi się to podejście, trafnie to ująłeś. Trafnie w kontekście twierdzeń Gödla, bo o to w nich chodzi. Racjonalista, który naprawdę rozumie Gödla, nie używa jego twierdzeń jako młotka do rozbijania cudzych przekonań, lecz pamięta, że każdy akt poznania odbywa się wewnątrz pewnych ram — języków, modeli, sposobów ujmowania świata — które zawsze są niepełne. Krótko mówiąc: jest otwarty na o wiele więcej, niż da się udowodnić i to jest racjonalne podejście.

Gödel w tym sensie nie broni ani teizmu, ani ateizmu. Wykazuje jednak, że nie można zamknąć prawdy w układzie własnych założeń. A to oznacza, że rozsądek wymaga dwóch rzeczy: precyzji tam, gdzie możemy ją osiągnąć, i wyobraźni tam, gdzie nasze modele przestają sięgać. Racjonalizm po Gödlu nie jest już kultem pewności.
Jest świadomym poruszaniem się w świecie, w którym to, co prawdziwe, zawsze trochę wykracza poza to, co dowodliwe.

[wawrzanka]

Co więcej (to ważne): nie musisz pisać „być może”. Gödel matematycznie udowodnił, że istnieją prawdy, których nie da się udowodnić w żadnym skończonym, spójnym systemie aksjomatów. To nie hipoteza, lecz twierdzenie.

[wawrzanka]

jarek3579 napisał:

> Twierdzenie Gödla jeśli odnieść je do religii to w zasadzie zaprzeczają istnienie bytu nieomylnego.

Właściwie jeszcze podrążę, bo z braku czasu skupiłam się na końcówce twojej odpowiedzi :-) Ale wracając do tego powyżej to nie masz racji, chociaż ten błąd myślowy jest bardzo powszechny.

Twierdzenia Gödla nie mówią nic o istnieniu bądź nieistnieniu „bytu nieomylnego”. One dotyczą systemów formalnych konstruowanych przez człowieka, a nie metafizycznych bytów ani religii. Czyli wcale nie zaprzeczają istnieniu bytu nieomylnego. Zaprzeczają tylko temu, że my moglibyśmy takim bytem być albo że nasze systemy poznania mogłyby być absolutne. To zresztą czyni tę rozmowę ciekawszą.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

> Twierdzenia Gödla nie mówią nic o istnieniu bądź nieistnieniu „bytu nieomylnego”.

Oczywiście, bo dotyczy rachunku predykatów I rzędu, a nie istnienia Boga.
Czy za pomocą rachunku predykatów I rzędu można analizować twierdzenie o nieomylności Boga?
Czy można Bogu przypisać cechy "nieomylny" i "wszechmogący" jednocześnie?

Ale weźmy coś prostszego - znany od dawna paradoks kłamcy.
Niestety, żeby go udowodnić i wykazać, czy ta osoba mówi prawdę czy kłamie
nie możemy skorzystać z samego (nie udowodnionego jeszcze) paradoksu kłamcy.
Taka próba wywołała by nieskończony (acz przeliczalny) naprzemienny ciąg: prawda - fałsz.
Nie jest on zbieżny ani do prawdy, ani do fałszu. Potrzebne jest inne, udowodnione
twierdzenie za pomocą którego moglibyśmy rozstrzygnąć ten problem.
Żeby system stał się zupełny trzeba je samemu wprowadzić. Gödel nie zrobi tego za nas.

Generalnie trudno mówić o innych niż teoretycznych konsekwencjach twierdzenia Gödla.
Udowodnione twierdzenia pozostają udowodnione i prawdziwe, uznane za fałszywe nie staną
się prawdziwymi. Twierdzenia, których nie udało się udowodnić dalej będą hipotezami.
Wiemy jednak, że rachunek predykatów I rzędu wyklucza zupełność gdy zawiera aksjomat
indukcji czyli 5 aksjomat Peano. Pozwala wyrazić zdania, których byśmy nie chcieli mieć w systemie.

Z listy 23 nierozwiązanych problemów Hilberta (a była ona z roku 1900) wiele pozostało do dziś.
Drugi problem dotyczący rachunku predykatów I rzędu został (częściowo) rozwiązany przez Gödla
i jest to uważane za jedno z największych osiągnięć matematyki XX wieku.

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Oczywiście, bo dotyczy rachunku predykatów I rzędu, a nie istnienia Boga.
> Czy za pomocą rachunku predykatów I rzędu można analizować twierdzenie o nieomy
> lności Boga? Czy można Bogu przypisać cechy "nieomylny" i "wszechmogący" jednocześnie?

Można – jeśli ktoś upiera się, by zamknąć Boga w systemie, który sam stworzył. Tylko że wtedy bada już nie Boga, ale model Boga, skonstruowany z aksjomatów pierwszego rzędu.

> Ale weźmy coś prostszego - znany od dawna paradoks kłamcy.
> Niestety, żeby go udowodnić i wykazać, czy ta osoba mówi prawdę czy kłamie
> nie możemy skorzystać z samego (nie udowodnionego jeszcze) paradoksu kłamcy.

Paradoks kłamcy jest właśnie najlepszą ilustracją mojego stanowiska. Pokazuje przecież dokładnie to, co chciałam podkreślić: jeśli system odwołuje się do własnych zdań, to natychmiast wpada w samoodniesienie, którego nie potrafi rozstrzygnąć. Możesz oczywiście „wprowadzić twierdzenie, które rozstrzygnie problem”. Ale w tym momencie nie rozwiązałeś paradoksu – po prostu przesunąłeś go w nowe miejsce. Gödel nie rozwiązuje paradoksu kłamcy, bo nie może – jego twierdzenie wyjaśnia, dlaczego nikt nie może. I to jest sedno, którego (wybacz) nie dostrzegasz, bo próbujesz bronić systemu z poziomu systemu. A to się właśnie nigdy nie uda.

> Wiemy jednak, że rachunek predykatów I rzędu wyklucza zupełność gdy zawiera aksjomat
> indukcji czyli 5 aksjomat Peano. Pozwala wyrazić zdania, których byśmy nie chcieli mieć w systemie.

Hm... coś mi tu nie pasuje. Konkretnie to, że świadomie, lub nieświadomie próbujesz podważać twierdzenia Gödla. Sugerujesz, że problem niezupełności to kwestia estetyczna albo praktyczna, a nie matematyczna konieczność wynikająca z samej struktury arytmetyki. Problemem nie jest „aksjomat, który dopuszcza niechciane zdania”, lecz to, że logika – gdy robi się wystarczająco potężna – zawsze wymknie się spod naszej kontroli.
Czyli kombinujesz tak (popraw mnie, jeśli się mylę): „System jest niezupełny, bo zawiera aksjomat indukcji… więc może gdybyśmy go nie zawierali, to byłby zupełny.” Nie — nie byłby. Każdy system wystarczająco bogaty, by opisywać liczby naturalne i operacje arytmetyczne, będzie niezupełny niezależnie od tego, czy nam się to podoba, czy nie.

> Z listy 23 nierozwiązanych problemów Hilberta (a była ona z roku 1900) wiele pozostało do dziś.
> Drugi problem dotyczący rachunku predykatów I rzędu został (częściowo) rozwiązany przez Gödla
> i jest to uważane za jedno z największych osiągnięć matematyki XX wieku.

A Twoim zdaniem nie jest? Bo według mnie wpisuje się w XXI wiek. Hilbert wierzył, że można stworzyć pełny, spójny i skończony system, który udowodni wszystko, co prawdziwe. Gödel udowodnił, że nie można. Kiedy mówisz, że rozwiązał problem „tylko częściowo”, to właściwie co masz na myśli? Że nie naprawił matematyki tak, by spełniała hilbertowskie nadzieje? Matematyka nie jest zepsuta i nie trzeba niczego naprawiać. Jest organiczna, otwarta, niewyczerpywalna. Gödel nie zamknął problemu, za to otworzył drzwi, które Hilbert próbował zamknąć.

Ja oczywiście rozumiem Twój punkt widzenia. Z wielką ostrożnością stoisz na granicy poznania, bo wiesz, że za tym horyzontem nie ma żadnych twierdzeń udowodnionych w systemie, który znasz, ale dobra... miałam się nie odnosić do Twojej świadomości, więc nie będę. To niestety trochę ogranicza nam dyskusję, ale skoro sobie nie życzysz - dopóki ta dyskusja jest żywa, jakoś dam radę. Wczoraj już prawie ją uśmierciłeś. Dalej próbujesz uciąć łeb hydrze, ale wiesz jak to z tymi hydrami jest.

[jarek3579]

wawrzanka napisała:

> jarek3579 napisał:
>

> Twierdzenia Gödla nie mówią nic o istnieniu bądź nieistnieniu „bytu nieomylnego
> ”. One dotyczą systemów formalnych konstruowanych przez człowieka, a nie metafi
> zycznych bytów ani religii. Czyli wcale nie zaprzeczają istnieniu bytu nieomyln
> ego. Zaprzeczają tylko temu, że my moglibyśmy takim bytem być albo że nasze sys
> temy poznania mogłyby być absolutne. To zresztą czyni tę rozmowę ciekawszą.

I masz odpowiedź , Twierdzenia Gödla nie odnoszą się do Boga bo jak wspominałem już zylion razy nie mówimy o Bogu tylko o wyobrażeniach na temat Boga.
Równie dobrze moglibyśmy wyobrazić sobie Boga na poczekaniu, nadać mu imię oraz pewne cechy i stworzyć postać od podstaw , bo przecież tak powstawały te wyobrażenia, a następnie zastanawiać się czy owa postać jest prawdziwa .
Jeśli istnieje jakiś byt czy rodzaj inteligentnej energii to z pewnością nie podlega żadnym logikom ani żadnym znanym nam prawom.
Zważywszy na wielkość wszechświata , około dwa biliony galaktyk a w każdej miliony czy miliardy gwiazd to obszar miliardów lat świetlnych , jeśli ktoś miałby nad tym mieć kontrolę to musiał by znajdować się w innym wymiarze o którym nic nie wiemy i nawet nie wiemy czy takowy istnieje.

[c2h3oh]

Jedzie 2 Downów autobusem. jeden pyta kierowcy, czy dojedzie nim do Krakowa. Kierowca mówi, że nie bo jedzie do Gdańska. Wtedy pyta drugi - a ja? :P
Wygooglałaś tw. Godla, bardzo jasno wyjaśnione, z odpowiedzią na Twoje pytanie, a mimo to je zadajesz.
To są twierdzenia, a więc mają dowody. Nie będę pisał ile mają stron, żeby Cię nie zniechęcić.
Skoro nie można czegoś dowieść z poziomu niższego rzędu, to jak zostały dowiedzione?
Odpowiedź jest tak samo prosta - bo tylko jedna jest możliwa.
Zapoznaj się z dowodem, to zrozumiesz odpowiedź na swoje pytanie i otworzysz w sobie umiejętność szerszego rozumienia - dostaniesz solidne narzędzie przydatne w życiu.

[jarek3579]

c2h3oh napisał:

> Jedzie 2 Downów autobusem. jeden pyta kierowcy, czy dojedzie nim do Krakowa. Ki
> erowca mówi, że nie bo jedzie do Gdańska. Wtedy pyta drugi - a ja? :P
> Wygooglałaś tw. Godla, bardzo jasno wyjaśnione, z odpowiedzią na Twoje pytanie,
> a mimo to je zadajesz.
> To są twierdzenia, a więc mają dowody. Nie będę pisał ile mają stron, żeby Cię
> nie zniechęcić.
> Skoro nie można czegoś dowieść z poziomu niższego rzędu, to jak zostały dowiedz
> ione?
> Odpowiedź jest tak samo prosta - bo tylko jedna jest możliwa.
> Zapoznaj się z dowodem, to zrozumiesz odpowiedź na swoje pytanie i otworzysz w
> sobie umiejętność szerszego rozumienia - dostaniesz solidne narzędzie przydatne
> w życiu.
I kiedy się zorientowałeś , że nie dojedziesz do Krakowa?

[c2h3oh]

Twierdzenie c2h3oh:
W logicznym przykładzie opartym na zbiorze formalno - emocjonalnym zawsze znajdzie się ktoś, kto woli poczuć kija w tyłku niż piękno logiki.
cnd.

[jarek3579]

c2h3oh napisał:

> Twierdzenie c2h3oh:
> W logicznym przykładzie opartym na zbiorze formalno - emocjonalnym zawsze znajd
> zie się ktoś, kto woli poczuć kija w tyłku niż piękno logiki.
> cnd.

Zbiór formalno - emocjonalny nie występuje ani w języku potocznym ani w terminologii naukowej . Wymyśliłeś sobie coś albo ci się przyśniło a z tym kijem to se rób co chcesz , tolerancyjny jestem.

[wariant_b]

jarek3579 napisał:

> Zbiór formalno - emocjonalny nie występuje ani w języku potocznym ani w terminologii naukowej.
> Wymyśliłeś sobie coś albo ci się przyśniło a z tym kijem to se rób co chcesz , tolerancyjny jestem.

Ale właśnie coś podobnego próbuje nam tu zaoferować wawrzanka.
Czyli mieszankę prawdy obiektywnej (formalnej) i subiektywnej (emocjonalnej).

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Ale właśnie coś podobnego próbuje nam tu zaoferować wawrzanka.
> Czyli mieszankę prawdy obiektywnej (formalnej) i subiektywnej (emocjonalnej).

Pozwolę sobie sprostować: nie postuluję żadnego połączenia „prawdy formalnej” z „emocjonalną”, bo taki podział sam w sobie jest uproszczeniem. Mówię o prawdzie jako o zjawisku relacyjnym, ujawniającym się w napięciu między systemem formalnym, jego granicami, językiem opisu i konsekwencjami poznawczymi dla nas, ludzi. Emocje nie są alternatywą dla logiki, lecz nośnikiem znaczenia i wartości, których logika z definicji nie koduje. Jeśli postrzegasz moje wypowiedzi jako propozycję „emocjonalizacji prawdy”, to znaczy, że dyskusja zeszła z poziomu argumentu na poziom etykiet. I paradoksalnie odsłania to emocjonalny wymiar tej reakcji.

Przez tysiące lat wygodnym skrótem myślowym było przypisywanie kobietom „nadmiernej emocjonalności”, podczas gdy męskie emocje przechodziły przez kulturowy filtr i wychodziły po drugiej stronie jako coś zupełnie innego: pycha jako ambicja, gniew jako stanowczość, lęk jako potrzeba kontroli, frustracja jako obrona racjonalności. To mechanizm stary jak filozofia, ale niezbyt subtelny. Ilekroć w miejsce polemiki pojawia się sugestia, że problemem jest „emocjonalność” rozmówczyni, tylekroć rozmowa się dla mnie kończy.

W relacjach damsko-męskich ten mechanizm dopiero zaczyna być nazywany, więc pozwolę sobie na krótką dygresję. Prawdziwa relacja zaczyna się tam, gdzie druga strona podejmuje wysiłek zmierzenia się z argumentem. Gdy zamiast tego broni własnych przekonań z lęku przed ich zakwestionowaniem, nie mamy do czynienia z dialogiem, lecz z podtrzymywaniem iluzji dominacji.

W praktyce często wygląda to tak, że kobieta „rozmawia”, a mężczyzna jest uspokajany, chroniony przed własnym dyskomfortem i utwierdzany w poczuciu racji. To nie jest partnerska wymiana myśli, tylko emocjonalne niańczenie, które kobiety w związkach wykonują zbyt często, myląc cierpliwość z głębią relacji. Mechanizm ten działa identycznie w dyskusjach intelektualnych. I ma tę samą wadę: pochłania czas, a nie prowadzi do żadnego poznawczego ruchu.

[c2h3oh]

Prawdziwa relacja zaczyna się tam, gdzie chcesz nadawać i nadajesz na tej samej fali i współtworzysz wspólna, spójną myśl.
Kiedy trzeba coś tłumaczyć to relacja jest już słaba.
Jak zaczynasz wysyłać swoje spiny to już po relacji.
Widocznie nie zdajesz sobie nawet sprawy, jakie informacje nadajesz i jak bardzo zbędnie przesiąknięte emocjami.
Osobiście szanuję emocje, uważam je za cenne, nawet te negatywne gdy służą temu, czemu powinny.
Każde twierdzenie ma swój dowód - inaczej nie jest twierdzeniem. Sprawdzonych metod dowodzenia nie jest wcale tak dużo.
Chcesz jakieś poznać, to spróbuj je udowodnić lub przynajmniej zapoznaj się z dowodem, ponieważ pytanie bez tego jest tylko prezentacją ignorancji bez nadziei na możliwość wyjaśnienia.
Masz potencjał więc stąd moja informacja zwrotna, choć już prawdopodobnie ostatnia.

[c2h3oh]

Nadmienię jeszcze tyko, że najinteligentniejsi ludzie, jakich w życiu spotkałem to 4 kobiety, moje wykładowczynie. Przy nich to moje myślenie było babskie, za co mogłem czuć tylko ogromną sympatię do nich, choć 2 z nich raczej przewyższałem urodą :P

[privus]

c2h3oh napisał:

> Prawdziwa relacja zaczyna się tam, gdzie chcesz nadawać i nadajesz na tej samej
> fali i współtworzysz wspólna, spójną myśl.
Owszem, ale w sytuacji, gdy przynajmniej jedna ze stron potrafi słuchać.

> Kiedy trzeba coś tłumaczyć to relacja jest już słaba.
A czy jest w ogóle możliwy jakikolwiek przekaz nie mówiąc już o jakimś tłumaczeniu podczas podczas interferencji falowej?

[c2h3oh]

Większość wartościowych wniosków i tak pochodzi z nieświadomości.
Są to najczęściej informacje holistyczne.
To właśnie te interferencje - wzajemne wzbudzanie zgodnych procesów myślowych moim zdaniem tworzą najdogodniejsze warunki ku temu.

[privus]

c2h3oh napisał:

> Większość wartościowych wniosków i tak pochodzi z nieświadomości.
Zanim cokolwiek napiszesz, warto jest poświęcić trochę czasu na przefiltrowanie tego, co masz na myśli.

> Są to najczęściej informacje holistyczne.
Fizyka to jeszcze nie filozofia a tym bardziej psychologia.

> To właśnie te interferencje - wzajemne wzbudzanie zgodnych procesów myślowych m
> oim zdaniem tworzą najdogodniejsze warunki ku temu.
Zadbaj przede wszystkim o precyzyjne rozumienie pojęć.

czym jest logika, ta od Gödla

[stefan4]

wawrzanka:
> Mówię o prawdzie jako o zjawisku relacyjnym, ujawniającym się w napięciu między
> systemem formalnym, jego granicami, językiem opisu i konsekwencjami poznawczymi
> dla nas, ludzi.

Czyli nie mówisz o logice w tym sensie, w jakim rozumiał ją Gödel. Wobec tego nic z tego, co on udowodnił, nie ma żadnego związku z tym, co Ciebie interesuje.

Gödel zajmował się nie żadną ,,prawdą'' i nie próbował konkurować ze starożytnymi filozofami, którzy jej poszukiwali; zajmował się formułami formalnie wyprowadzalnymi z innych formuł. To, że na podobnych formułach opiera się kawał myślenia matematycznego, to dla wnioskowań matematycznych tylko podpórka. One są związane nie z ,,prawdą'', ani z ,,poznaniem rzeczywistości'', tylko z tym, co wynika z założeń przyjętych poza matematyką (np. z hipotez lub pomiarów fizycznych).

wawrzanka:
> Emocje nie są alternatywą dla logiki, lecz nośnikiem znaczenia i wartości, których logika
> z definicji nie koduje.

Tak. Podobnie jak transport drogowy jest nośnikiem towarów, którymi nie zajmuje się logika. Logika do emocji ma się tak, jak kosmiczne czarne dziury do dziurek od guzików.

wawrzanka:
> wygodnym skrótem myślowym było przypisywanie kobietom
[...]
> kobieta „rozmawia”, a mężczyzna
[...]
> pochłania czas, a nie prowadzi do żadnego poznawczego ruchu.

Istotnie, w wątku mającym w tytule twierdzenie Gödla dzielenie ludzi wg jakichś kryteriów, takich jak płeć, wzrost, czy ,,narodowość'', do niczego poznawczego nie prowadzi.

- Stefan

[wawrzanka]

stefan4 napisał:

> Gödel zajmował się nie żadną ,,prawdą''

Odważna konkluzja, ale nikt nie wymaga obiektywizmu na forum, więc rozumiem, że możesz tak uważać. Oglądasz Astrofazę? Akurat ostatni odcinek jest na ten temat.

> Istotnie, w wątku mającym w tytule twierdzenie Gödla dzielenie ludzi wg jakichś
> kryteriów, takich jak płeć, wzrost, czy ,,narodowość'', do niczego poznawczego
> nie prowadzi.

Hold your horses, cowboy, nikt tu nie dzieli ludzi według kryteriów. Mowa o implikacjach, jakie niosą ze sobą emocje, skoro już się pojawiły jako przedmiot dyskusji. Zresztą Ty też się pojawiłeś. Uderz w stół...

[stefan4]

wawrzanka:
> Oglądasz Astrofazę?

Nigdy o niej nie słyszałem. Po Twoim mailu wyszukałem w Interśmieciu — wydaje się, że to jest popularyzacja nauki, ilustrowana obrazkami wprawdzie niezwiązanymi z tematem pogadanek, ale zdolnych wywołać u oglądających dzieci efekt ,,O, kurczę!''.

wawrzanka:
> Akurat ostatni odcinek jest na ten temat.

Masz pewnie na myśli odcinek ,,Czy fizycy niechcący udowodnili, że żyjemy w symulacji?''. No cóż, tw. Gödla jest tam przedstawione bardzo pobieżnie; trochę tak, jakbym na pytanie
    ,,— Co to jest Europa?''
odpowiedział
    ,,— Europa składa się z krajów.''
Niby nie skłamałem, ale też nie powiedziałem o Europie nic użytecznego.

A te rzeczy, które wg pogadankiewicza nie dają się policzyć w czarnej dziurze, ale dadzą się w niej zaobserwować, to już jakiś kompletny odlot. Nic nie da się zaobserwować w czarnej dziurze, poniżej horyzontu zdarzeń, bo światło (a także dowolna informacja) dochodząca z czarnej dziury do obserwatora musiałaby przekroczyć prędkość światła, żeby wyrwać się z pola grawitacyjnego dziury. Dlatego ona jest czarna. Z tym łączy się względność czasu: kiedy zbliżasz się do czarnej dziury, to Twój czas zwalnia; czyli wg Ciebie czas zewnętrznego kosmosu przyspiesza. Kiedy osiągniesz horyzont zdarzeń dziury, to czas zewnętrznego wszechświata dobiegnie do nieskończoności, więc żadnego wszechświata już nie będzie. A to dopiero horyzont zdarzeń, czyli początek podróży w głąb czarnej dziury.

Można powiedzieć, że cokolwiek dzieje się w pobliżu centrum czarnej dziury, to dopiero będzie się działo, kiedy już niczego poza nią nie będzie. I nie ma to żadnego związku z tw. Gödla.

Tyle wiem z kosmologii, ale to nie jest moja specjalność. Natomiast logika matematyczna, związek prawdy z dowodliwością, tw. Gödla — to w znacznie większym stopniu moja bajka.

Kiedy facet twierdzi, że fizycy są bezradni tam, gdzie cokolwiek jest matematycznie nieskończone, to baaardzo upraszcza. Jeśli jest nieskończone ale z granicą, to jest to chleb codzienny dla wszystkich, którzy stosują matematykę jako narzędzie do badania świata. Gorzej jest wtedy, gdy takiej granicy nie znamy, a jeszcze gorzej, kiedy różne pomiary wskazują na różne granice.

wawrzanka:
> nikt tu nie dzieli ludzi według kryteriów.

No to szkoda. Być może przydałby mi się jakiś popularny wykład o różnicach między emocjonalnością męską a damską; albo między blondyńską a brunecką; albo między wielkopolską a małopolską...

- Stefan

[wawrzanka]

stefan4 napisał:

> Nigdy o niej nie słyszałem. Ja wcześniej też nie. Widocznie algorytm mi podsunął.

> Tyle wiem z kosmologii, ale to nie jest moja specjalność. Natomiast logika mat
> ematyczna, związek prawdy z dowodliwością, tw. Gödla — to w znacznie więk
> szym stopniu moja bajka.

I co mi z tego? Przypomnę: główne pytanie wątku nie dotyczy tego, jak poprawnie czytać Gödla w ramach logiki matematycznej, tylko jakie są filozoficzne i poznawcze konsekwencje jego twierdzeń. Twoje demonstracje znajomości logiki mam oprawić w ramki, czy co mam niby z nimi zrobić? Z Jarkiem, Spinoffem, Privusem da się sensownie na temat porozmawiać. Jakoś rozumieją o co mi chodzi, chociaż być może logika matematyczna to nie jest ich bajka.

> No to szkoda. Być może przydałby mi się jakiś popularny wykład o różnicach między emocjonalnością męską a damską;

No to krótki wykładzik: Różnica między emocjonalnością męską a kobiecą nie polega na tym, że przez wieki męskie emocje miały glejt na bezkarność. Kobieta płacze i słyszy, że jest „zbyt emocjonalna”. Mężczyzna krzyczy, poniża, wyśmiewa albo wali pięścią w stół i nazywa się to „ twardym charakterem”, albo „bezkompromisowością”. To nie jest żaden twardy charakter, ani bezkompromisowość. To jest brak panowania nad emocjami.

[c2h3oh]

> Logika do emocji ma się tak, jak kosmiczne czarne dziury do dziurek od guzików.

Właśnie przekreśliłeś sens dysonansu poznawczego i wszystkiego, co jest odpowiedziane za wytwarzanie logiki u człowieka.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

Pozwolę sobie sprostować: nie postuluję żadnego połączenia „prawdy formalnej” z „emocjonalną”,
bo taki podział sam w sobie jest uproszczeniem. Mówię o prawdzie jako o zjawisku relacyjnym,
ujawniającym się w napięciu między systemem formalnym, jego granicami, językiem opisu
i konsekwencjami poznawczymi dla nas, ludzi.

Jestem racjonalistą. "Racjonalny" jest antonimem słowa "emocjonalny".
Być może inne określenie byłoby trafniejsze, bo znowu rozbijamy się o definicje używanych pojęć.

Ale na chwilę skupmy się na technikaliach.

Rachunek predykatów I rzędu jest próbą stworzenia bardziej formalnego i uniwersalnego
języka matematyki. Taka potrzeba zaistniała boleśnie pod koniec XIX wieku, gdzie intuicyjne
użycie pojęć z języka naturalnego prowadziło do powstawania antynomii. Np. słowo "zbiór".
Twierdzenia Gödla i innych badają właściwości tego rachunku i stwierdza ograniczenia
spowodowane dopuszczeniem nieskończoności przeliczalnej (piąty aksjomat indukcji Peano).
W szczególności wykazują niedefiniowalność "prawdy" w systemach formalnych wyższych rzędów.
Co z tego, że można skonstruować nieskończoną ilość "prawdziwych gdzie indziej" ale niemożliwych
do udowodnienia twierdzeń. Ale człowiek ich nie potrzebuje i nawet nie potrafi samodzielnie wyrazić.

Prawda/fałsz są określone w tradycyjnym rachunku zdań, choć jest to samo w sobie nadużyciem.
Dwie wartości logiczne tej logiki możemy nazwać również pewne/niemożliwe, TAK/NIE,
coś/nic czy wręcz pozostać przy symbolach logicznych typu 1/0.

Ty próbujesz szukać dziury w systemach formalnych posługując się językiem naturalnym,
który pozwala na nadawanie nieudowodnionych właściwości niezdefiniowanym pojęciom.
To jest strasznie "do tyłu" za jakąkolwiek systemem logicznym, nie tylko rachunkiem predykatów.
Rozumiem, że dostarcza ci to nowych intuicji i kierunków poszukiwań naukowych, ale na tym
etapie jest dla mnie nie do przyjęcia. Rozumiem, że w twojej świadomość tkwi przekonanie
o prawdziwości twoich racji, ale żeby stały się one moimi musisz znaleźć jakiś pasujący formalizm,
bym mógł twoje emocjonalne przekonania zamienić na racjonalne argumenty.
Musisz mi dać jakiś punkt zaczepienia, bo na razie go nie znajduję. Zwłaszcza w Gödlu.

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Ale na chwilę skupmy się na technikaliach.

Dobrze. Masz rację co do historycznego kontekstu: rachunek predykatów pierwszego rzędu powstał jako odpowiedź na realny kryzys pojęciowy matematyki, a twierdzenia Gödla precyzyjnie opisują jego własności i ograniczenia. Tu się zgadzamy. Ale w miejscu, w którym piszesz: „człowiek tych twierdzeń nie potrzebuje i nawet nie potrafi ich samodzielnie wyrazić”, pojawia się problem, który jest sednem tego wątku.

> Co z tego, że można skonstruować nieskończoną ilość "prawdziwych gdzie indziej"
> ale niemożliwych
> do udowodnienia twierdzeń. Ale człowiek ich nie potrzebuje i nawet nie potrafi
> samodzielnie wyrazić.

Właśnie fakt, że istnieją zdania prawdziwe, których nie da się wyrazić ani udowodnić w danym formalizmie, ujawnia strukturę samego poznania. Gödel nie mówi nam, jakie prawdy są potrzebne człowiekowi, tylko pokazuje, że każdy system, który próbuje uchwycić całość, musi natrafić na własną ślepotę. I to już nie są technikalia; to jest informacja o relacji między językiem, formalizmem i tym, co uznajemy za poznawalne.

> Ty próbujesz szukać dziury w systemach formalnych posługując się językiem naturalnym,
> który pozwala na nadawanie nieudowodnionych właściwości niezdefiniowanym pojęciom.

Po pierwsze: utożsamienie prawdy i fałszu z binarnymi etykietami typu 1/0, TAK/NIE, coś/nic jest użytecznym zabiegiem technicznym, ale nie opisem prawdy jako takiej. Sam piszesz, że to „nadużycie” i właśnie w tym miejscu zgadzamy się bardziej, niż Ci się wydaje. To, że rachunek zdań operuje binarnie, mówi coś o narzędziu, a nie o pełnym zakresie tego, co nazywamy prawdą w sensie poznawczym.

Język naturalny służy mi do opisu konsekwencji poznawczych faktu, że formalny system nie jest w stanie sam uchwycić swojej prawdziwości. To nie jest chowanie się „za logikę”, lecz przejście na poziom meta względem niej; dokładnie tam, gdzie sama logika mówi: dalej już nie sięgam. Być może zakładasz, że poza formalizmem nie ma już obszaru racjonalnej eksploracji. Ja zakładam coś przeciwnego: że właśnie tam zaczyna się epistemologia, a nie emocjonalność. To nie są „przekonania”, tylko pytania o warunki możliwości poznania.

> Rozumiem, że w twojej świadomość tkwi przekonanie
> o prawdziwości twoich racji,

Może nie tyle o prawdziwości moich racji, co o prawdziwości mojego doświadczenia poznawczego, a co za tym idzie - emocjonalnego. Ale zostawmy na razie te emocje. Może wrócimy do nich później, bo to trochę bardziej skomplikowane.

> ale żeby stały się one moimi musisz znaleźć jakiś
> pasujący formalizm, bym mógł twoje emocjonalne przekonania zamienić na racjonalne argumenty.
> Musisz mi dać jakiś punkt zaczepienia, bo na razie go nie znajduję.

Spróbuj zobaczyć twierdzenie Gödla nie jako obiekt dowodu, lecz jako fakt graniczny. Mnie interesuje to, co ten fakt robi z naszym pojęciem prawdy, rozumienia i poznania, nie jego rekonstrukcja w systemie, który on sam ogranicza. Możesz też sam spróbować nadać nazwę tej meta przestrzeni.

[stefan4]

wawrzanka:
> Właśnie fakt, że istnieją zdania prawdziwe, których nie da się wyrazić ani udowodnić
> w danym formalizmie, ujawnia strukturę samego poznania. Gödel [...]

Gödel nie ma niczego wspólnego ze zdaniami, których ,,nie da się wyrazić''. Definicja zdania jest taka, że przede wszystkim ma dać się wyrazić i to tak jednoznacznie, żeby nie było żadnych wątpliwości, o czym jest mowa. Cały wysiłek dowodu tw. Gödla, całe to skomplikowane kodowanie ciągów, formuł, dowodów, służy wykazaniu, że w języku arytmetyki daje się wyrazić starożytny paradoks kłamcy; tyle że z ,,prawdziwością'' zastąpioną przez ,,dowodliwość''.

Jeśli mówisz o ,,prawdziwej prawdzie'', emocjach, objawieniach, intuicjach itp., a nie wspominasz o arytmetyce, której to dotyczy tw. Gödla, to jesteś w głębi filozofii czy teologii, bardzo daleko od logiki. To jest OK, ale, proszę, nie dąsaj się na podejście czysto racjonalno-logiczne, skoro sama w tytule tego wątku wezwałaś do odpowiedzi właśnie racjonalistów.

- Stefan

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

> Właśnie fakt, że istnieją zdania prawdziwe, których nie da się wyrazić ani udowodnić
> w danym formalizmie, ujawnia strukturę samego poznania. Gödel nie mówi nam,
> jakie prawdy są potrzebne człowiekowi, tylko pokazuje, że każdy system, który
> próbuje uchwycić całość, musi natrafić na własną ślepotę. I to już nie są technikalia;
> to jest informacja o relacji między językiem, formalizmem i tym, co uznajemy za poznawalne.

Nie. Żyjemy w skończonym świecie, w którym z różnych powodów zastępujemy skończoną,
ale nie możliwą do ograniczenia liczbę przypadków, przeliczalnymi modelami.
Na przykład człowiek ma cztery kończyny, dwie ręce i dwie nogi, owady mają ich więcej,
pajęczaki jeszcze więcej, a u wija-rekordzista doliczono się 1306 odnóży.
Czy istnieje powód, dla którego nie można mieć 1308 odnóży? Ja go nie znam.
Więc zwierzęta mają przeliczalną ilość odnóży i system formalny z arytmetyką
liczb naturalnych musi to uwzględnić. Czy ma jakikolwiek sens zajmowania się stworzeniami,
które mają więcej odnóży niż jest atomów we Wszechświecie? A system potrafi się nimi zająć.
Czy wnioski na ich temat będą prawdziwe, czy nie - nie wiemy. Czy nas interesują - nic a nic?

Rachunek predykatów I rzędu daje gigantyczną nadmiarowość.
Nie ogarniamy nawet małej części. Rzekłbym nawet, że nic nie ogarniamy,
bo wszystko za wyjątkiem skończonej liczby twierdzeń jest nam zupełnie obce.
A ty nam tu jakieś braki usiłujesz sugerować.

> Po pierwsze: utożsamienie prawdy i fałszu z binarnymi etykietami typu 1/0, TAK/NIE,
> coś/nic jest użytecznym zabiegiem technicznym, ale nie opisem prawdy jako takiej.

W przyrodzie prawda nie występuje. Podobnie jak w systemach formalnych zawierających
liczby naturalne. Dlatego możemy tworzymy modele matematyczne rzeczywistości, ale potem
musimy je weryfikować. I są one coraz bardziej odległe od binarnej prawdy/nieprawdy.

> Język naturalny służy mi do opisu konsekwencji poznawczych faktu, że formalny
> system nie jest w stanie sam uchwycić swojej prawdziwości.

A twój język naturalny potrafi to lepiej? Ubawiłaś mnie serdecznie.

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Nie.

Czyli zamykasz dialog w momencie, w którym wychodzi on poza Twoje ramy. Ja nie neguję technikaliów; pytam o ich epistemologiczne konsekwencje, a to jest rozmowa na innym poziomie. Reagujesz kropką, gdy wymagam zmiany perspektywy, ok.

> A twój język naturalny potrafi to lepiej? Ubawiłaś mnie serdecznie.

Nie wiem, czy „potrafi lepiej”. Służy do innego poziomu opisu. Ten niezbyt serdeczny śmiech w miejscu, gdzie pojawia się różnica poziomów świadczy o dyskomforcie wobec tematu, którego nie da się sprowadzić do technikaliów.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

Czyli zamykasz dialog w momencie, w którym wychodzi on poza Twoje ramy. Ja nie neguję technikaliów;
pytam o ich epistemologiczne konsekwencje, a to jest rozmowa na innym poziomie. Reagujesz kropką,
gdy wymagam zmiany perspektywy, ok.

Konsekwencje są jak dla mnie oczywiste: ani matematyka, ani paranauki, ani filozofia
ani nawet teologia nie są w stanie zaproponować systemu I rzędu z arytmetyką liczb
naturalnych który byłby zupełny. Wyklucza to twierdzenie Gödla.

Wydaj mi się, że nie do końca rozumiesz pojęcie nieskończoności przeliczalnej.
A bez tego nie pójdziemy dalej, bo to ona decyduje o niezupełności systemów formalnych.

Chcę przesunąć dyskusję w kierunku możliwości dowiedzenia istnienia świadomości
jako duszy nieśmiertelnej. A tu już nie wystarcza ani logika dwuwartościowa,
ani arytmetyka liczb naturalnych. Może coś z teorii układów złożonych?

Nie wiem, czy „potrafi lepiej”. Służy do innego poziomu opisu. Ten niezbyt serdeczny śmiech w miejscu,
gdzie pojawia się różnica poziomów świadczy o dyskomforcie wobec tematu, którego nie da się sprowadzić
do technikaliów.

Na długo przed Gödlem były próby z innym paradoksem, czyli paradoksem Berry'ego
bazującym na naturalnym języku angielskim.

Ale wyrażenie tego paradoksu za pomocą rachunku predykatów I rzędu nie rozwiązuje
generalnego 2 problemu matematyki zgłoszonego przez Hilberta. Zresztą twierdzenie Gödla
też jest obecnie uważane za rozwiązanie częściowe z uwagi na dodatkowe założenia.

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Wydaj mi się, że nie do końca rozumiesz pojęcie nieskończoności przeliczalnej.
> A bez tego nie pójdziemy dalej, bo to ona decyduje o niezupełności systemów for
> malnych.

To jest właśnie miejsce, w którym rozmowa się rozjeżdża. Ty zakładasz, że „pójście dalej” oznacza zgodę na Twoją ramę techniczną i że to jest warunek sensowności dialogu. To z kolei sprawia, że ja się zastanawiam, czy aby na pewno rozumiesz twierdzenie Gödla. Ale chciałeś technikaliów:

Nieskończoność przeliczalna to jest nieskończoność, którą da się ponumerować. Zgoda na to nie oznacza, że "nieskończoność jest skończona", bo np. zbioru liczb rzeczywistych nie ujmiesz w tym szeregu. Nie da się ich tak ustawić w kolejności i ponumerować w jednej nieskończonej kolejce bez „pominięć”. To jest nieskończoność nieprzeliczalna.

Gödel świadomie pracował na systemach, które są skończone w opisie (reguły, aksjomaty), operują na nieskończoności przeliczalnej (np. liczby naturalne), są wystarczająco bogate, by mówić o arytmetyce. Dlaczego?
Bo to są najprostsze możliwe systemy, jakie wciąż mają ambicję „opisać wszystko, co trzeba”. I Gödel pokazał coś szokującego: nawet w tak skromnym, uporządkowanym, „policzalnym” świecie zawsze powstaną zdania prawdziwe, których nie da się w nim udowodnić. Albo jeszcze inaczej: każdy system, który próbuje być kompletny, sam produkuje w ten sposób prawdy, których nie potrafi objąć.

> Chcę przesunąć dyskusję w kierunku możliwości dowiedzenia istnienia świadomości
> jako duszy nieśmiertelnej. A tu już nie wystarcza ani logika dwuwartości
> owa,
> ani arytmetyka liczb naturalnych. Może coś z teorii układów złożonych?

Widzę to. I tu właśnie się różnimy. Ja nie próbuję formalnie dowodzić istnienia duszy, bo uważam to za błędne założenie wyjściowe. Interesuje mnie raczej pytanie, dlaczego w ogóle oczekujemy dowodu tam, gdzie formalizm sam wskazuje granicę swojej stosowalności.

Jeśli świadomość jest procesem, relacją i doświadczeniem (albo czymś jeszcze, czego te słowa nie opisują), a nie obiektem formalnym, to nie da się jej „dowodzić”. Nie brakuje nam lepszej logiki. Po prostu kategoria dowodu nie jest tu adekwatna. Logika dwuwartościowa nie zawodzi; ona po prostu nie została zaprojektowana do rozstrzygania tego typu zjawisk. Problem zaczyna się wtedy, gdy narzędzie rozstrzygania TAK lub NIE traktuje się jako narzędzie rozumienia wszystkiego, co pomiędzy.

Weźmy gar bigosu. Jak ugotujesz to stwierdzisz czy dobre: TAK/NIE. Ale żeby do tego doszło, musisz ugotować i wiedzieć z czego, jak, kiedy, za ile, żeby było na TAK. Bo tego przecież chcemy, żeby było dobre. Nie gotujemy bigosu po to, by wyszło, że NIE :-) I w ten sposób zeszliśmy na tematy wigilijne. Zatem smacznego bigosu Wariant dla Ciebie i całej Twojej rodziny (jeśli macie bigos :-)

> Ale wyrażenie tego paradoksu za pomocą rachunku predykatów I rzędu nie rozwiązuje
> generalnego 2 problemu matematyki zgłoszonego przez Hilberta. Zresztą twierdzenie Gödla
> też jest obecnie uważane za rozwiązanie częściowe z uwagi na dodatkowe założenia.

Po pierwsze: sformułowanie „jest obecnie uważane” wymaga doprecyzowania. Kto tak uważa i w jakim sensie? W odniesieniu do problemu Hilberta twierdzenia Gödla są „częściowe” tylko o tyle, że dotyczą systemów spełniających określone warunki: rekurencyjnej aksjomatyzowalności, logiki pierwszego rzędu i arytmetyki liczb naturalnych.

Po drugie: każda próba ominięcia tych założeń jest już decyzją metateoretyczną, a nie techniczną poprawką. I właśnie to jest dla mnie kluczowe. Gödel nie miał obowiązku domykać problemu Hilberta; wystarczy, że pokazał, że każde domknięcie wymaga wyjścia poza system, który próbuje się domknąć. To nie jest porażka logiki. To informacja o strukturze dowodzenia.

[wariant_b]

wawrzanka napisała:

To jest właśnie miejsce, w którym rozmowa się rozjeżdża. Ty zakładasz, że „pójście dalej”
oznacza zgodę na Twoją ramę techniczną i że to jest warunek sensowności dialogu.

Mam do tego prawo, bo uważam że nie możemy zaczynać rozmowy od zmian definicji pojęć
i negowania udowodnionych twierdzeń. Powiedzmy, że to co jest prawdziwe (pewne) w rachunku
zdań (rachunek rzędu 0) ma pozostać prawdziwe, a to że coś jest fałszywe (wykluczone) oznacza,
że negacja jest prawdziwa. Nie ma nieudowodnionych twierdzeń w rachunku zdań, gdyż
nie można im przypisać żadnej z wartości prawda/fałsz.

Nieskończoność przeliczalna to jest nieskończoność, którą da się ponumerować. Zgoda na to nie oznacza,
że "nieskończoność jest skończona".

I mamy tu problem mieszania znaczeń pojęcia "przeliczalność". Dla zbiorów skończonych
możemy po prostu wypisać elementy w określonej kolejności, nawet przypadkowej, i je policzyć.
Realnie nie można tego zrobić z liczbami naturalnymi. Owszem, matematyka radzi sobie
z tym generując określony algorytm porządkowania (jeśli porządek naturalny nie jest wygodny
lub nie jest określony), ale samo wyliczanie też jest nieskończone i nie da się go zrealizować
w skończonym czasie. Przy okazji - wszystkie liczby naturalne są skończone, dopiero ich
zbiór jako całość jest nieskończenie przeliczalny. Podobnie z liczbami wymiernymi i algebraicznymi.
Matematyka posługuje się symbolem ∞, ale nie jest on liczbą naturalną.
Dzięki temu możemy wyznaczać granie ciągów, sumy czy iloczyny w nieskończoności.
Mogą być one liczbami wymiernymi czy algebraicznymi (te są również przeliczalne) albo
liczbami przestępnymi, które przeliczalne nie są. Prawie wszystkie liczby rzeczywiste (czyli wszystkie
oprócz przeliczalnej ilości) są przestępne. Nie tylko nie potrafimy ich policzyć, ale nawet zapisać.

Gödel świadomie pracował na systemach, które są skończone w opisie (reguły, aksjomaty), operują na nieskończoności przeliczalnej (np. liczby naturalne), są wystarczająco bogate, by mówić o arytmetyce.

Skoro dowodził niezupełność rachunku predykatów I rzędu musiał się trzymać
tego rachunku. Co z tego, że opisy reguł były skończone, skoro ich długość nie była
ograniczona. Gdyby trzymał się tylko tego co można naturalnie zapisać w jednej linijce
(na jednej kartce, jednej ryzie, całym zapasie papieru jakim dysponuje ludzkość)
nie wykazałby niezupełności, gdyż zbiór tego co można zapisać w tym systemie
byłby skończony. Po to tworzył skomplikowany system numeracji (liczby Gödla)
by wykazać, że można zbudować formuły które w tym porządku nie zostały uwzględnione
(metoda diagonalizaji Cantora, którą wykazuje się nieprzeliczalność liczb niewymiernych).

Widzę to. I tu właśnie się różnimy. Ja nie próbuję formalnie dowodzić istnienia duszy, bo uważam
to za błędne założenie wyjściowe. Interesuje mnie raczej pytanie, dlaczego w ogóle oczekujemy
dowodu tam, gdzie formalizm sam wskazuje granicę swojej stosowalności.

Skoro uważasz istnienie duszy za błędne założenie, czemu cały czas kręcimy się wokół
tego tematu. Zaczynając od reinkarnacji, poprzez NDE (wybrane doznania np. OOBE),
przez splątanie kwantowe po poszukiwanie nowych interpretacji twierdzeń Gödla i spółki.
Może trzeba spróbować jak ze sztuczną inteligencję. Zamiast zastanawiać się,
dlaczego formalnie nie można czegoś takiego uzyskać, po prostu ją stworzyć.
Metody powstaną przy okazji i będzie je można sformalizować.

[wawrzanka]

wariant_b napisał:

> Mam do tego prawo, bo uważam że nie możemy zaczynać rozmowy od zmian definicji
> pojęć i negowania udowodnionych twierdzeń.

Masz prawo. Tylko, że ja nie proponuję zmiany definicji ani nie kwestionuję poprawności twierdzeń i to chyba widać. Ja sprowadzam ich znaczenie wyłącznie do funkcji technicznej. Skoro definicje są wypracowane, a twierdzenia poprawne (i tu się zgadzamy) to właściwie po co o nich dyskutować?

Ty się upierasz, że musisz mnie przekonywać o ich poprawności, a ja pokazuję Ci obszar twórczości intelektualnej wynikającej z samodzielnego myślenia w oparciu o formalizmy. To są dwa różne poziomy: poziom poprawności formalnej i poziom konsekwencji poznawczych. Ty stoisz na straży pierwszego, ja eksploruję drugi. Ty jesteś Sentinelczykiem, ja kimś z zewnątrz. Ale nie wiesz, czy jestem łowczynią niewolników, misjonarką czy spieszę z pomocą humanitarną. Zatem z ostrożności strzelasz z łuku, a jak podchodzę bliżej szykujesz dzidę.


> I mamy tu problem mieszania znaczeń pojęcia "przeliczalność".

Mamy poprawny system formalny, a jednocześnie mamy coś, co się w nim nie mieści. I akurat ja nie mam z tym problemu. Mam fascynującą przygodę, a Ty masz problem. Przeliczalność w sensie technicznym odnosi się do możliwości uporządkowania elementów w szereg. W tym zakresie liczby naturalne (i inne zbiory w tej klasie) należą do nieskończoności przeliczalnej. A liczby rzeczywiste do nieprzeliczalnej. Przecież to właśnie napisałam wcześniej, a Ty rozwinąłeś dokładniej. Jeśli zgodzimy się, że właśnie tu leży różnica poziomów, spróbuję ją dalej doprecyzować.

> [...] (metoda diagonalizaji Cantora, którą wykazuje się nieprzeliczalność liczb niewymiernych).

Tu właśnie widać, jak bardzo Twoja rama formalna wciąga całą naszą rozmowę w pole rozstrzygania technicznego, nawet tam, gdzie mówimy o czymś innym. No, ja świadomie daję się wciągać, nie powiem, że to nie jest ciekawe. Jest i to bardzo.

Diagonalizacja Cantora dotyczy nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych i jest konstrukcją pokazującą, że zawsze można zbudować element, którego w danej enumeracji nie ma. Gödel używa strukturalnie podobnej idei, ale nie w tym samym sensie i nie do tego samego celu.
U Cantora operujemy na zbiorach, wykazujemy różne poziomy nieskończoności, ujawnia się nieprzeliczalność.

U Gödla: operujemy na zdaniach systemu formalnego, arytmetyzujemy składnię, budujemy zdanie autoodnoszące się, którego system nie potrafi rozstrzygnąć.

To pozornie jest podobne, ale jednak to inna warstwa konsekwencji: Cantor pokazuje granice enumeracji zbiorów, a Gödel pokazuje granice samorozpoznania systemu. I to jest właśnie ten punkt, w którym rozmowa nam się rozjeżdża (a Ty twierdzisz, że "mamy problem") I jeszcze jedno ważne: to, o czym mówimy u Gödla, nie jest tym samym co paradoks kłamcy. Paradoks kłamcy tworzy sprzeczność. Zdanie Gödla przeciwnie: wykazuje prawdę, której system nie potrafi uchwycić od środka. Ten rozdźwięk (a nie sprzeczność!) między prawdziwością a dowodliwością jest kluczowy w tym, o czym rozmawiamy.

> Skoro uważasz istnienie duszy za błędne założenie, czemu cały czas kręcimy się
> wokół tego tematu. Zaczynając od reinkarnacji, poprzez NDE (wybrane doznania np. OOBE),
> przez splątanie kwantowe po poszukiwanie nowych interpretacji twierdzeń Gödla i
> spółki.

To nigdy nie było wspólne „kręcenie się wokół tematu”. To była przede wszystkim moja droga poznawcza, moje wątki, moje pytania, mój proces. Najpierw reinkarnacja, bo interesowały mnie badania Tuckera. Później NDE, świadomość, relacyjność poznania, a w końcu Gödel i granice systemów formalnych. Za każdym razem wprowadzałam nowy temat, bo chciałam go eksplorować. Ty pojawiałeś się w tych dyskusjach głównie w roli oporu żądając dowodu, rozstrzygalności, formalizmu. I to było dla mnie cenne, bo opór zmusza do precyzji i poszukiwania.

Ale nie oznacza to, że razem „krążyliśmy” po orbicie tego samego problemu. Ja zmieniałam perspektywy, przesuwałam punkt ciężkości, rozszerzałam pole widzenia. A Ty konsekwentnie pilnowałeś granicy tego, co w Twoim rozumieniu mieści się w ramach dowodu.

Dziś nie tyle „zakładam istnienie duszy”, ile przestaję traktować to założenie jako problem do rozstrzygnięcia w trybie dowodzenia. Zaczynam widzieć to jako obszar relacji, doświadczenia, znaczenia i procesu.

> Może trzeba spróbować jak ze sztuczną inteligencję. Zamiast zastanawiać się,
> dlaczego formalnie nie można czegoś takiego uzyskać, po prostu ją stworzyć.
> Metody powstaną przy okazji i będzie je można sformalizować.

Sztuczna inteligencja nie „rozwiązuje” pytania o świadomość ani duszę. Ona tylko coraz sprawniej symuluje zachowania, które interpretujemy jako inteligentne. To właśnie dobry przykład różnicy między poziomami:
formalnie - coś działa, daje wynik, można sformalizować metodę,
poznawczo - nie wiemy, czym jest to „coś”, które działa.
Twierdzenia Gödla pokazują dokładnie ten punkt: system może być skuteczny operacyjnie, a jednocześnie ślepy na własne granice. Zbudowanie bardziej złożonego systemu nie usuwa tej ślepoty tylko ją przenosi poziom wyżej. Dlatego Twoja metafora AI nie jest argumentem „za stworzeniem duszy”. Jest raczej ilustracją tego, że potrafimy skonstruować narzędzia, które działają zanim rozumiemy, co właściwie robią. I to jest właśnie moje pole zainteresowania.

na boku: przeliczalny model liczb rzeczywistych

[stefan4]

wariant_b:
> Prawie wszystkie liczby rzeczywiste (czyli wszystkie oprócz przeliczalnej ilości)
> są przestępne. Nie tylko nie potrafimy ich policzyć, ale nawet zapisać.

Wiadomo, że każda teoria pierwszego rzędu, posiadająca nieskończony model, ma model w każdej mocy nieskończonej (tw. Skolema-Löwenheima). Wobec tego arytmetyka Peano posiada modele nieprzeliczalne; a aksjomatyka liczb rzeczywistych posiada model przeliczalny. I aksjomatyka liczb rzeczywistych nie podlega twierdzeniu Gödla. Bo to twierdzenie dotyczy wyłącznie liczb naturalnych, nie wiedzy formalnej w ogóle, ani poznawalności Boga, ani wiedzy o tym, co jutro zjem na obiad. Twierdzenie Gödla już liczb rzeczywistych nie dotyczy; ono jest tylko o liczbach naturalnych.

Jak to wszystko jest możliwe?

Arytmetyka Peano liczb naturalnych składa się z kilku prostych aksjomatów oraz nieprostego schematu  indukcji:
    F (0) Λ (∀n : F (n )=>F (n +1))  =>  ∀n : F (n )
Ten schemat jest nieskończony: po jednym aksjomacie dla każdej własności F  dającej się zapisać. Gdybyśmy powiedzieli tylko: ,,dla każdej własności'', to wtedy jedynym modelem teorii byłyby zwykłe liczby naturalne, ale teoria przestałaby być pierwszego rzędu, bo to byłaby kwantyfikacja po zbiorach. Ale zapisać można tylko przeliczalną liczbę własności — nasza teoria ma przeliczalną liczbę aksjomatów; i modele dowolnej mocy nieskończonej (na specjalną prośbę mogę jeden taki nieprzeliczalny model podać, ale on jest skomplikowany i bezużyteczny).

Arytmetyka liczb rzeczywistych składa się z
    • własności definiujących ciało uporządkowane, oraz z
    • schematu aksjomatów wyrażających (nieformalnie), że rosnący ciąg ograniczony
      liczb rzeczywistych musi mieć granicę rzeczywistą.
Gdybyśmy naprawdę mieli na myśli każdy ciąg rosnący, to teoria miałaby tylko jeden model (zwykły nieprzeliczalny zbiór liczb rzeczywistych), ale nie byłaby pierwszego rzędu. Ale jeśli ograniczymy się do ciągów dających się zapisać (jest ich przeliczalnie wiele), to sytuacja będzie taka jak dla aksjomatyki Peano: istnieje model przeliczalny, i modele nieprzeliczalne.

Jednak jest jedna różnica: w arytmetyce Peano działa tw. Gödla o niezupełności, a w arytmetyce liczb rzeczywistych — nie działa. Ale czyż, mając liczby rzeczywiste, nie można zdefiniować liczb naturalnych? No właśnie... Z aksjomatów wynika istnienie liczby 1; oraz liczby   2=1+1 ; oraz liczby   3=2+1 ; itd. I wynika z nich, że te wszystkie liczby są różne. Ale nie ma jak zdefiniować całego zbioru liczb naturalnych, wydzielić go spośród innych rzeczywistych. Innymi słowami: nie da się zdefiniować formuły
    F (x )  <=>  x  jest liczbą naturalną
Wobec tego nie da się wyrazić kwantyfikowania po liczbach naturalnych; np. nie da się zapisać twierdzenia o dzieleniu z resztą:
    dla każdych n  i k 
      jeśli n  jest naturalne i k  jest naturalne i k >0
      to istnieją q  i r  takie że
        q  jest naturalne i r  jest naturalne i n  = k ·q +r  i 0≤r <k 
a bez niego nie ma jednoznacznego rozkładu liczby na iloczyn liczb pierwszych; a bez tego nie ma kodowań Gödla.

- Stefan

[wawrzanka]

stefan4 napisał:

> Wiadomo, że każda teoria pierwszego rzędu, [...] I aksjomatyka liczb rzeczywistych nie podleg
> a twierdzeniu Gödla.

Tak, to wiadomo i to są fakty.

> Bo to twierdzenie dotyczy wyłącznie liczb naturalnych, nie wiedzy formalnej w ogóle, ani poznawalności Boga, ani wiedzy o tym, co jutro zjem na obiad.

Ale tu już traktujesz własną interpretację tak, jakby była jedyną uprawnioną, choć sam Gödel widział w swoich twierdzeniach znacznie szersze konsekwencje. Redukujesz je do zakresu, który Cię interesuje i robisz to w formie ostatecznego rozstrzygnięcia. Twoje objawienie ma prawo bytu tak samo jak wszystkie objawienia. Nie oznacza to, że każdy doznaje takiego samego objawienia. I nie oznacza to, że inne poglądy są złe.

To, że przykład techniczny najprościej pokazuje się na arytmetyce liczb naturalnych, nie oznacza, że sens twierdzenia ogranicza się do tej arytmetyki. Bo twierdzenie o niezupełności demaskuje w zasadzie każdą ambicję totalnego ujęcia prawdy za pomocą mechanicznego systemu symboli.

Twierdzenie nie mówi, co zjesz na obiad, ale mówi, dlaczego żaden system formalny nie wystarczy, żebyś był pewien, że wiesz wszystko, co o tym obiedzie wiedzieć można. Gödel boleśnie tego doświadczył. W jego życiu „obiad” nie był metaforą. Ufał tylko jednej osobie, że go nie otruje. Kiedy zniknęła możliwość zaufania, przestał jeść. System racjonalnych powodów nie wystarczył. Problemem nie był brak rachunku zdań, lecz brak pewności w świecie relacji.

Matematyka mówi o dowodzie.
Życie mówi o zaufaniu.
I właśnie tu twierdzenie działa najmocniej:
są prawdy, od których zależy nasze istnienie,
których nie udowodnimy w żadnym systemie,
a mimo to nie możemy bez nich żyć.

I dlatego człowiek, nawet logik, żyje zawsze pomiędzy dowodem a wiarą. Między systemem a relacją. Między tym, co może napisać, a tym, czego naprawdę się boi. Żyjemy w napięciu między dowodem a zaufaniem,
między wiedzą, a tym, co wciąż pozostaje niewypowiedziane. Dla mnie znaczenie twierdzenia Gödla właśnie na tym polega: jest nie tylko techniczne, lecz także egzystencjalne i poznawcze.

[stefan4]

wawrzanka:
> Ale tu już traktujesz własną interpretację tak, jakby była jedyną uprawnioną

Mój ostatni post dotyczył logiki: teorii i jej modeli. Czyli był raczej do Warianta niż do Ciebie. Nie chodziło mi w nim ani o interpretacje, ani o Prawdę (przez duże ,,P''), ani o poznanie emocjonalne, tylko o sprawy ,,techniczne''. Nawet specjalnie zmieniłem tytuł wątku, żeby to zaznaczyć.

Ale skoro znowu młócisz te wieczne ,,prawdy'' ,,niedowodliwe'' i ,,niepoznawalne logicznie'', to mam dla Ciebie kilka propozycji.

Propozycja 1:
Przedstaw własną interpretację tabliczki mnożenia, różną od klasycznej, która przecież jest tylko ,,jedną z interpretacji''. Jeśli zrobisz to przekonująco, to ja być może przekonam się do Twojej nietypowej interpretacji tw. Gödla.

wawrzanka:
> choć sam Gödel widział w swoich twierdzeniach znacznie szersze konsekwencje.

To, co twórca sam twierdzi o swoim dziele, rzadko jest przyjmowane przez jego następców jako prawda objawiona. I słusznie. Jednak ciekawi mnie, czy tą wiedzę o widzeniach tego twórcy wzięłaś od niego samego, czy od jakichś późniejszych interpretatorów/filozofów/teologów (niepotrzebne skreślić, brakujące dodać).

Propozycja 2:
Podaj źródło, z którego wzięłaś taką wypowiedź Kurta Gödla. Jeśli to źródło jest po niemiecku, lub po czesku, lub po angielsku, to się nie przejmuj, poradzę sobie.

wawrzanka:
> Twoje objawienie ma prawo bytu tak samo jak wszystkie objawienia.

Aha. Jak się komuś objawi, że rzeki płyną pod górkę, to takie objawienie ma prawo bytu. No, to czegoś dowiedziałem się o prawach bytu...

No to ja Ci zaproponuję nietypowe objawienie znacznie prostsze niż tw. Gödla. Otóż uruchom sobie taki prościutki programik w C:

  #include<stdio.h>
  int main( ) {
    if (5.0 / 3.0 == 5.0 * (1.0/3.0))
      printf("  rowne\n");
    else
      printf("  nierowne\n");
    return 0;
  }

On sprawdza, czy dzielenie liczby rzeczywistej 5 przez trzy to to samo, co jej mnożenie przez jedną trzecią. Jeśli robisz to na zwykłym komputerze ze zwykłym kompilatorem C, to w wyniku otrzymasz informację ,,nierówne''. Patrz, jak łatwo można pokazać, że zwykła arytmetyka szkolna jest błędna...

Propozycja 3:
Zinterpretuj ten wynik w kategoriach niepewności poznania matematyczno-logicznego i kwantowego rozmycia działań na liczbach.

Bo ja twierdzę, podobnie jak w przypadku tw. Gödla, że to jest tylko techniczna własność stosowanej maszynerii. W tym przypadku osobliwość komputerowej ,,obsługi'' działań na liczbach rzeczywistych, łatwa do wyjaśnienia.

- Stefan

[wawrzanka]

stefan4 napisał:

> Mój ostatni post dotyczył logiki.

Mój również, chociaż możesz się z tym nie zgadzać i wyrażać swój bunt w sposób sobie właściwy.

Napisałeś, że twierdzenie Gödla dotyczy wyłącznie liczb naturalnych, nie wiedzy formalnej w ogóle, a to nie jest prawda, tylko twój osobisty pogląd i nieważne do kogo twój post był skierowany.

[wariant_b]

stefan4 napisał:

> ... i aksjomatyka liczb rzeczywistych nie podlega twierdzeniu Gödla.

I tu mam pytanie techniczne - sama aksjomatyka rachunku liczb rzeczywistych jest zupełna,
więc Gödel faktycznie nic do niej nie ma. Podobnie jak do geometrii euklidesowej.
Ale zwykle łączy się rachunek rzeczywisty z rachunkiem liczb naturalnych, więc
dodatkowe aksjomaty rachunku rzeczywistego nie wpływają na właściwości
systemu I rzędu z arytmetyką naturalną (i dodatkowo rzeczywistą).
Dla odmiany, jak wydaje się, operacje na podzbiorach rzeczywistych wymagają
dodatkowej kwantyfikacji, więc systemów logicznych rzędu II.
Liczby zespolone, z tego co mi wiadomo, również wymagają logiki II rzędu.

[jarek3579]

To wygląda trochę chaotycznie ale ponoć z chaosu powstał świat a może to szukanie drogi , czasem trzeba pobłądzić żeby znaleźć właściwe rozwiązanie.

[c2h3oh]

Chaos, którego powstał świat to była substancja nazywana chaosem, a nie jakiś bezład.

[privus]

Racjonalnie myślenie nie powinno opierać się na nierozsądnych argumentach.

Stara grecka legenda mówi, że chaos (czyli postkonikcja) pojawił się pierwotnie jako zorganizowana grupa spaczonych demonów oraz innych plugawych pomiotów. A co było przed tym chaosem? :)

Z kolej w Genesis chaos opisany jest jako bezwład, pustkowie i ciemność:
"Ziemia zaś była bezwładem i pustkowiem: ciemność była nad powierzchnią bezmiaru wód".
(Księga Rodzaju 1:2)

Natomiast Biblia opisuje stan Ziemi przed aktem stworzenia, kiedy była ona nieuporządkowana, pusta, a Duch Boży unosił się nad wodami. Jest to fragment o stworzeniu świata, tuż przed tym, jak Bóg powiedział:
"Niechaj się stanie światłość!» I stała się światłość."
(Księga Rodzaju 1:4)

A stąd już jest bardzo blisko do Mrocznego Gona i Czarnych Żniw przekształcających bezwład w pożądany ład. :)

[wawrzanka]

jarek3579 napisał:

> Zbiór formalno - emocjonalny nie występuje ani w języku potocznym ani w termino
> logii naukowej . Wymyśliłeś sobie coś albo ci się przyśniło a z tym kijem to se
> rób co chcesz , tolerancyjny jestem.

To dobrze, że jesteś tolerancyjny, bo na tym forum tolerancja jest cenniejsza, niż religijność. Szczególnie tolerancja wobec osób głęboko wrażliwych (na swoim punkcie ;-). Mnie tej tolerancji czasem brakuje, albo może wyczerpałam już swoją...

Nie toleruję nadwrażliwości na własnym punkcie u mężczyzn. Trochę lepiej toleruję ją u kobiet, bo one przez tysiąclecia były nadwrażliwe na potrzeby innych ignorując własne. Z drugiej strony nie jestem zwolenniczką odwetu i daleko mi do wojujących feministek, więc idę robić sernik królewski.

[privus]

No to życzę Wesołych Świąt nie tylko przy serniku :)

[feelek]

privus napisał:

> No to życzę Wesołych Świąt nie tylko przy serniku :)
.....
f : Ale .... no to co, że to robisz?
Coś się wydarzyło?
Aaaaa.... dni są coraz dłuższe...
Ale to ... od jutra.
..........
Wigilia, wiem, takie święto - świętuje się urodziny Jezusa, które miały miejsce ...jakiegoś kompletnie innego dnia ( może ..7XI, ...18 II, a może 3 VIII), co dlaczegoś podkreślają ŚwiadkowieJehowy ( taka grupa religijna).
Wychodzi, że jest to święto całkowicie symboliczne - każdy może sobie świętować coś "swojego".
Ateiści ( Wariant!) też mogą świętować " Boże Narodzenie".
Agnostycy - zapewne też.
Skoro Japończycy to robią....
......
Racjonaliści?
Kluczową jest odpowiedź na pytanie:
Czy zrozumieliŚMY (: my - Racjonaliści) ile zła zrobiliŚMY Światu?
SkoroŚMY nic złego nikomu nie zrobili?....

[feelek]

f : " ....każdy może sobie świętować coś " swojego"....
.....
Co świętujesz?
Ja, np.: całe dobro, co mnie otacza.
Stoi temu na przeszkodzie jakieś negatywne nastawienie wielu: żal, pretensje, że coś zrobiłem nie_tak_jak_trzeba, "skrzywdziłem" Świat ...
Jakoś sobie radzę.
Święta to fajny czas.

[wawrzanka]

privus napisał:

> No to życzę Wesołych Świąt nie tylko przy serniku :)

Nawzajem :-) Święta w trakcie, a w tym roku wyjątkowo długie. Wszystkiego najlepszego!

[petrus1981]

ciekawe