Merliny...

[Gość: MJo0]

Prosze o pomoc:
"W wierzchołkach trójkąta równobocznego ABC znajdują się domy merlinów. W
domku A mieszka ośmiu merlinów, w domku B - czterech, a w domku C - trzech. W
którym miejscu powinny się spotkać, aby suma odległości przebytych przez
wszystkich merlinów była najmniejsza?"

[Gość: Merlin]

W A - przejda 7a.
Ciekawsze jest, gdzie sie maja spotkać,żeby każda grupa przebyła jednakowĄ
LICZBĘ KILOMETRÓW, TZN 8X=4Y=3Z gdzie x, y, z - odległości od A,B,C odpowiednio.

[Gość: Merlin II]

Narysuj trójkąt równoboczny ABC i zaznacz w jego wnętrzu punkt D. Zauważ ,że
sumy AD+DB>AB, AD+DC>AC itd Jeżeli D byłby punktem spotkania, to suma dróg
dwóch Merlinow z róznych wierzchołkow jest większa niż a.Przy takich liczbach
(8,4,3 dla A,B,C) z punktu D wybiegałoby 15 tras i ich suma byłaby wieksza od
7, więc kiedy D+A suma ta jest najmniejsza.Nawet gdyby w A było 7 rozumowanie
jest to samo, ale dla mniejszych liczb(np 5,3,3) już jest trudniej.

[Gość: a może tak...]

Zamiast merlinów zawieśmy na końcach trójkąta ciężarki: 1 merlin= 1 ciężarek, 2-
2 ciężarki...
Nitki zwiążmy w jednym punkcie.
Czy położenie tego punktu nie będzie punktem poszukiwanym ?

[Gość: Merlinek +]

Taki punkt - to srodek ciężkości układu - suma odległosci od niego będzie
znacznie wieksza od 7 a (Patrz wpis Merlina II)

[Gość: a może..]

Rozumowanie merlin II jest błędne, choć poprawnie zakonczone.
Napisane nierówności nie biorą po uwagę ilości merlinów.

[Gość: Merlin II]

Nie bardzo to zrozumiałeś.W punkcie D zbiegają sie 8AP+4BD+3Cd=4(AD+BD)+3(AD+CD)
+1AD>4a+3a+AD=7a+AD. AD+BD>AB=a z własności trójkata i podobnie dalej
Zaś 4BA+3CA=7a tzn sauma dróg jest najmniejsza , kiedy wszystkie idą do A(gdzie
jest 8 Merlinów

[Gość: a może...]

Ja to zrozumiałam , gorzej z tobą.
Przecięż piszę ,że dobrze zakończyłeś, ale źle zacząłeś.

napisałeś: "
Narysuj trójkąt równoboczny ABC i zaznacz w jego wnętrzu punkt D. Zauważ ,że
sumy AD+DB>AB, AD+DC>AC itd Jeżeli D byłby punktem spotkania, to suma dróg
dwóch Merlinow z róznych wierzchołkow jest większa niż a.Przy takich liczbach
(8,4,3 dla A,B,C) z punktu D wybiegałoby 15 tras i ich suma byłaby wieksza od
7"
Tu nie ma znaczenia że 8+3+4 = 15.
Tu ma znaczenie , że dla jedna z liczb : 8,4,3 "nie spełnia warunku trójkąta"
mówiąc bardzo lapidarnie.
Żeby rozwiązaniem był punkt wewnątrz trójkąta wystarczy by każda z 3 danych
liczb (tu: 8, 4 i 3) była mniejsza od sumy pozostałych.

i dalej piszesz : "
Nawet gdyby w A było 7 rozumowanie
jest to samo, ale dla mniejszych liczb(np 5,3,3) już jest trudniej."

Jak wezmę mniejsze liczby: 1,1,3, to mimo, ze są małe razwiązanie znów jest
proste: bo 1+1 < 3 ; nie da się zbudować trójkąta o takich bokach, stąd punktem
poszukiwanym będzie wierzchołek gdzie mieszkają 3 merliny.

[Gość: Merlin II]

Bardzo Ładnie to uogólniłeś, mimo,że początkowo kombinowaleś coś z cięzarkami.
Dla rozrywki wyznacz taki punkt dla przypadku 4,4,7. Dojdziesz do ciekawych
wniosków.

[Gość: a może ...]

Te ciężarki są właściwym uogólnieniem.
Przy "złym" rozłożeniu ciężarków, środek ciężkości wypadnie poza trójkątem.
Zauważ, że poszukiwany punkt dość łatwo jest znaleźć konstrukcyjnie, wydaje się
nawet że prościej niż liczyć położenie tego punktu.