Mediana

[Gość: Julka]

Pojawiło się tyle podręczników i tyle zbiorów zadań, że jest w czym wybierać.
Wiem, że trzeba bardzo uważnie czytać polecenia. Zdarza się jednak, że
dopiero odpowiedź sugeruje "co autor miał na myśli".
No i mam problem z medianą. W zbiorze sprawdzianów "Zdaj maturę" E.Świda,
K.Kłaczkow... jest podany wzór. Chodzi mi o ten dla szeregu rozdzielczego, z
przedziałami klasowymi. Potem jest rozwiązane zadanie i mimo, że we wzorze
jest n/2 (wychodzi 17,5) oni podstawiają za n/2=18.
Stosując ten wzór w zbiorze zadań tych samych autorów (podanych w innej
kolejności)otrzymuję wyniki inne niż podane w odpowiedzi.
Jeszcze inne wyniki otrzymuję stosując wzór z podręcznika Statystyka
M.Sobczyka a jeszcze inne gdy liczę z wzoru podanego w Statystyce R. Seidela.
Szukałam też w internecie. Niby znalazłam ale gdy go stosuję to tez otrzymuję
inne wyniki niz podane w w/w zbiorach.
No i już sama nie wiem. Pomóżcie.

[Gość: Julka]

dodam może jeszcze coś.
n to liczebnośc szeregu skumulowanego. No i oczywiście wychodzi, ze jest to
pozycja mediany. Wiadomo, że w szeregu prostym, pozycja mediany zależy od tego,
czy szereg ma parzystą czy nieparzysta liczbę wyrazów. I byłoby w porzadku
(chodzi o zbiór sprawdzianów) gdyby to uwzględniał wzór. Ale nie. Jest napisane
n/2.
A w podrecznikach ze statystyki wychodzi np: n/2=376,3 (to znaczy biora pod
uwagę liczebność szeregu skumulowanego i to traktują jako pozycję mediany).
Znacie jakiś jedynie słuszny wzór?

[Gość: Joa]

Może to Ci się przyda:
Mediana to:
- wartość statystyczna
- wartość środkowa szeregu, która rodziela populację na dwie liczebnie równe części
- jest miarą pozycyjną
Jak liczymy medianę?
- dla szeregu punktowego porządkujemy wartości od najmniejszej do największej i
gdy mamy:
a) parzystą liczbę punktów, to bierzemy dwa środkowe i dzielimy przez 2,
b) gdy mamy nieparzystą liczbę punktów, to bierzemy środkowy.

Przykład:
a) gdy ciąg ma parzystą liczbę punktów
3 2 1 1 1 2 2 3 4 2
układamy od najmniejszego do największego
1 1 1 2 2 2 2 3 3 4

mamy dziesięć wyrazów, czyli bierzemy dwa środkowe i nasza mediana to wzór(2+2)/2=2

b) gdy ciąg ma nieparzystą liczbę punktów
1 5 7 6 8

1 5 6 7 8

nasza mediana w tym przypadku to 6, bo 6 jest wartością środkową

[Gość: Julka]

no nie. Chodzi mi o medianę dla szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi.
Dla szeregu prostego (punktowego), mediana jest łatwa do obliczenia i w kazdym
podreczniku podana jest tak samo.
No ale dzięki za trud:)

[ellipsis]

Pojęcie mediany odgrywa istotną rolę w statystyce. Problem pojawia się wtedy,
gdy chcemy doprecyzować to pojęcie pod względem matematycznym.
Zwykle przyjmuje się, że
,,mediana to wartość cechy, powyżej której znajduje się dokładnie połowa
wyników obserwacji".
Pod względem matematycznym mamy tu jednak błąd, gdyż taka wartość może nie
istnieć. Dlatego przyjmuje się często, że
,,mediana to wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której
znajduje się jednakowa liczba obserwacji".
Jednak nadal taka liczba może nie istnieć - przykładowo dla cechy ,,liczba
dzieci w rodzinie", jeżeli obserwacje dają szereg rozdzielczy
<0: 10 obserwacji, 1: 15 obserwacji, 2: 25 obserwacji, 3: 8 obserwacji,
pozostałe: 0 obserwacji>
Można zatem przyjąć, że
,,Mediana to największa wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej której
znajduje się przynajmniej połowa liczba obserwacji"
- wtedy w powyższym szeregu otrzymamy medianę 25. Co jednak zrobić z takim
szeregiem rozdzielczym:
<0: 5 obserwacji, 1: 15 obserwacji, 2: 10 obserwacji, 3: 5 obserwacji, 4: 5
obserwacje, pozostałe: 0 obserwacji>?
Zdrowy rozsądek podpowiada, że w tym przykładzie mediana należy do przedziału
(1,2) - ale wtedy mediana nie jest wartością cechy! (Oto związany z tym problem:
wyobraźmy sobie przedstawienie wyników obserwacji cechy zerojedynkowej w postaci
czarno-białej mapy, w której czerń oznacza, że w danym punkcie mediana jest
równa 1 - jaki kolor powinna mieć punkt, dla którego dokładnie połowa obserwacji
dała wynik 1?) Pewnym (dość kiepskim) rozwiązaniem jest losowanie wartości,
którą uznamy za medianę (dokonujemy losowania spośród końców spornego przedziału)...
Abstrahując od powyższego problemu, przyjmuje się najczęściej poniższe rozwiązania.
1) Niektórzy przyjmują, że _każda_ liczba ze spornego przedziału (tutaj: z
przedziału (1,2)) jest medianą. Wadą takiego rozwiązania jest niejednoznaczność
wartości mediany.
2) Inni sugerują, że wartością mediany jest liczba znajdująca się dokładnie w
środku spornego przedziału (tutaj: 1,5). Wadą jest nieuwzględnianie faktu, że (w
naszym przykładzie) mniejsze wartości cechy są położone bliżej liczby 1,5, niż
wartości większe, wobec czego mediana powinna być położona bliżej 2, niż 1...
3) Uwzględniając powyższą wątpliwość niektórzy stosują do wyznaczenia mediany
pewną średnią ważoną. Można jednak stosować różne wagi:
3a) jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko końce spornego przedziału, to w powyższym
przykładzie stosujemy wagi 10/(15+10) dla wartości 1 i 15/(15+10) dla wartości
2, otrzymując jako medianę liczbę 1*10/(15+10) + 2*15/(15+10) = 1,6;
3b) możemy najpierw wyznaczyć średnią ważoną wartości położonych poniżej
spornego przedziału i średnią ważoną wartości położonych powyżej spornego
przedziału:
0*5/(5+15) + 1*15/(5+15) = 0,75;
2*10/(10+5+5) + 3*5/(10+5+5) + 4*5/(10+5+5) = 2,75
i zastosować te właśnie liczby do wyznaczenia wag, otrzymując jako medianę liczbę
1*2,75/(0,75+2,75) + 2*0,75/(0,75+2,75) = 1 11/14, ok. 1,8;
3c) inne.
Na szczęście w praktyce długość spornego przedziału jest niewielka, w związku z
czym wszystkie powyższe metody prowadzą do tego samego (z pewnym przybliżeniem)
wyniku.
Pozostaje jeszcze problem wzorów. Przykre jest to, że do rozwiązania danego
zadania należy stosować tę definicję, którą podał prowadzący. Wobec tego ani
stosowanie funkcji statystycznych w arkuszu kalkulacyjnym, ani stosowanie
gotowych wzorów nie gwarantuje nam uzyskania poprawnego wyniku... :(

[Gość: Julka]

Mądrze napisane. Zaraz przeczytam jeszcze raz.
A wracając do wzorów. Na nowej maturze dwa lata temu, w zbiorze wzorów podany
był wzór na odchylenie standardowe.
Uczniowie, którzy korzystali z tego wzoru (nie uwzględniał wag) żle rozwiązali
zadanie.
Powinni zatem znać poprawny wzór, albo pamiętać o uwzględnieniu wag ale jednak
większość zadanie rozwiązała źle.
No i ja myślę, że jak już podaje się wzór to powinien być poprawny i taki aby
za jego pomocą otrzymać poprawny wynik. Albo powinno się wymagać wyniku
przybliżonego, z określonym błędem. I wtedy wszystko jedno, który wzór
stosujemy, otrzymujemy prawidłowy wynik.
Trudno dyskutować z kimś, kto za jedyny argument podaje: w odpowiedzi jest
inaczej.

Przykłady

[Gość: Julka]

1) Oblicz medianę, gdy
wzrost (w cm) liczba osób
<150,160) 2
<160,170) 15
<170,180) 12
<180,190) 6

2) wartość liczebność
<0,4) 2
<4,8) 5
<8,12) 7
<12,16) 2
<16,20> 1

[ellipsis]

Nie mam przy sobie książek, więc być może wzór, który podaję poniżej, nie jest
najbardziej popularny (jest to odmiana metody 3b) z mojego poprzedniego postu).
Oto on:
Me = x_0 + [(N/2 - liczba elementów poprzedzających sporny przedział)/liczba
elementów w spornym przedziale] * długość spornego przedziału.
(Zob. np. hist.univ.szczecin.pl/dyd/srednie.ppt ). Przejdźmy do przykładów.
1) Ponieważ liczba obserwacji
N = 2 + 15 + 12 + 6 = 35,
więc mediana należy do przedziału <170,180) (bo 2+15<N/2 i 2+15+12>N/2). Wobec tego
Me = 170 +((35/2 - (2+15))/12)*(180-170) = 170 5/12, ok. 170,4.
2) Ponieważ liczba obserwacji
N = 2 + 5 + 7 + 2 + 1 = 17,
więc mediana należy do przedziału <8,12) (bo 2+5<N/2 i 2+5+7>N/2). Wobec tego
Me = 8 +((17/2 - (2+5))/7)*(12-8) = 8 6/7, ok. 8,85.
Czy także uzyskałaś takie odpowiedzi?

[Gość: Julka]

Korzystając z podreczników do statystyki, tzn. Sobczyka lub Seidela otrzymuję
takie wyniki jak Ty.
W podręczniku dla maturzystów "Zdaj maturę" w mianowniku jest liczebność
skumulowana klasy, do której należy mediana. Czyli powinno być, jak piszesz
odpowiednio 12 i 7 a według nich 29 i 14. No i jeszcze to n/2. Oni podstawiają
zamiast 35/2, 18.
Wiem, że wielu uczniów przygotowujacych sie do matury korzysta z tego
podręcznia. Wydała go bardzo znana Oficyna Wydawnicza. No i uczniowie mają
problemy, bo przecież rozwiązując podobne zadania z innych zbiorów, nie zgadza
sie wynik.
Dzięki za zainteresowanie i pomoc.

Ale to nie ma sensu... :(

[ellipsis]

Ideą zaprezentowanego przeze mnie wzoru jest podział spornego przedziału
proporcjonalnie do liczby elementów poprzedzających go i następujących po nim.
Innymi słowy, wyobrażamy sobie, że elementy spornego przedziału są w nim
rozłożone idealnie równomiernie (co jest w istocie niemożliwe, bo jest ich tylko
skończenie wiele) i szukamy takiego punktu Me, aby
liczba elementów poprzedzających sporny przedział + liczba elementów w spornym
przedziale mniejszych od Me = N/2.
W tym celu dzielimy sporny przedział na części w stosunku
(N/2 -liczba elementów poprzedzających sporny przedział) : (N/2 - liczba
elementów następujących po spornym przedziale),
skąd otrzymujemy
(*) Me = x_0 + [(N/2 - liczba elementów poprzedzających sporny przedział)
/liczba elementów w spornym przedziale] * długość spornego przedziału
lub, co na jedno wychodzi,
(**) Me = x_1 - [(N/2 - liczba elementów następujących po spornym przedziale)
/liczba elementów w spornym przedziale] * długość spornego przedziału.
Uwzględnienie w mianowniku oprócz liczby elementów w spornym przedziale także
liczby elementów poprzedzających go nie ma sensu, bo otrzymamy różne wyniki w
zależności od tego, czy będziemy szukać mediany ,,od dołu" (wzór (*)), czy ,,od
góry" (wzór(**)). :(

[Gość: Julka]

no nie ma sensu, ale powiem Ci jeszcze jedno.
W 1) zadaniu podstawiają za n/2, 18 (zamiast 35/2) w mianowniku 29 (zamiast 12)
i otrzymują wynik bardzo zbliżony do Twojego: 170,3.
No i w końcu jaki wniosek: wzór żle podany, zadanie żle rozwiązane a wynik
prawie dobry. I jak tu wierzyć podrecznikom?
Dzięki.