Kontrukcja trójkata

[Gość: Leszek]

Jak zbudować konstrukcyjnie trójkąt, jeżeli znamy jako odcinki jego obwód, jeden
z boków i wysokość opuszczoną na ten bok. Czy to w ogóle jest możliwe?
Przez pomyłke wpisałem to do innego wątku

[Gość: Joa]

Tego trójkąta nie da się zbudować za pomocą konstrukcji linia, cyrkiel.
Wierzchołek tego trójkąta leży na elipsie , której ogniska są końcami danego
boku i suma odległości tego wierzchołka jest równa długości obwodu pomniejszonej
o dany bok. Możesz sobie pomóc nitką o potrzebnej długości, zaczepionej końcami
w ww. ogniskach.

Tak, to jest możliwe...

[ellipsis]

0. Niech AB będzie podanym bokiem.
1. Rysujemy symetralną k odcinka AB. Niech D będzie środkiem odcinka AB.
2. Promieniem h równym długości podanej wysokości rysujemy fragment okręgu o
środku w D, przecinający się z symetralną k w punkcie E. (Symetryczne - zwykle
dwa - rozwiązania otrzymamy przeprowadzając analogiczną konstrukcję po drugiej
stronie prostej zawierającej odcinek AB.)
3. Rysujemy prostą l równoległą do odcinka AB przechodzącą przez punkt E.
4. Promieniem p równym połowie różnicy długości podanego obwodu i podanego boku
rysujemy fragment okręgu o środku w punkcie A, przecinający się z symetralną k
po tej samej stronie, co punkt E, w punkcie F.
5. Promieniem b równym długości odcinka DF rysujemy fragment okręgu o środku w
D, przecinający się z prostą l bliżej punktu A niż B, w punkcie G. (Symetryczne
rozwiązanie otrzymamy rozważając punkt przecięcia położony bliżej punktu B niż
A. Jeżeli E=F, to mamy tylko jedno rozwiązanie po tej stronie prostej
zawierającej odcinek AB.) Warunek konieczny (i dostateczny) powodzenia
konstrukcji: odcinek DF jest niekrótszy od odcinka DE.
6. Rysujemy prostą równoległą do symetralnej k przechodzącą przez punkt G.
Niech H będzie punktem przecięcia tej prostej i prostej zawierającej odcinek AB.
7. Promieniem p rysujemy fragment okręgu o środku w D, przecinający się z
symetralną k po tej samej stronie, co punkt E, w punkcie I.
8. Rysujemy prostą równoległą do prostej zawierającej odcinek HE, przechodzącą
przez punkt I. Niech J będzie punktem przecięcia tej prostej i prostej
zawierającej odcinek AB.
9. Rysujemy prostą równoległą do symetralnej k przechodzącą przez punkt J.
Punkt C przecięcia tej prostej z prostą l jest szukanym trzecim wierzchołkiem
trójkąta.

Uzasadnienie.
Część 1. Wyliczenia.
0. Wprowadźmy współrzędne kartezjańskie, oznaczając A=(-a,0) i B=(a,0). Prosta
zawierająca odcinek AB ma równanie y=0.
1. Symetralna k ma równanie x=0. Punkt D ma współrzędne (0,0).
2. Punkt E ma współrzędne (0,h). (Symetryczne - zwykle dwa - rozwiązania
otrzymamy przeprowadzając analogiczną konstrukcję w trzeciej i czwartej ćwiartce
układu współrzędnych.)
3. Prosta l ma równanie y=h.
4. Punkt F ma współrzędne (0,V(p^2-a^2)).
5. Mamy b=V(p^2-a^2). Punkt G ma zatem współrzędne (-V(p^2-a^2-h^2),h).
(Symetryczne rozwiązanie otrzymamy rozważając punkt (V(p^2-a^2-h^2),h).) Warunek
konieczny (i dostateczny) powodzenia konstrukcji: p^2-a^2>=h^2.
6. Rysowana prosta ma równanie x=-V(p^2-a^2-h^2). Punkt H ma współrzędne
(-V(p^2-a^2-h^2),0).
7. Punkt I ma współrzędne (0,p).
8. Rysowana prosta ma równanie y=p+V(p^2-a^2)/V(p^2-a^2-h^2)*x. Punkt J ma
współrzędne (-p*V(p^2-a^2-h^2)/V(p^2-a^2),0).
9. Rysowana prosta ma równanie x=-p*V(p^2-a^2-h^2)/V(p^2-a^2). Punkt C ma
współrzędne (-p*V(p^2-a^2-h^2)/V(p^2-a^2),h).
Część 2. Sprawdzenie wymagań.
1. Obwód trójkąta ABC to suma długości trzech odcinków. Liczymy:
V((-p*V(p^2-a^2-h^2)/V(p^2-a^2)+a)^2+(h-0)^2) +
V((-p*V(p^2-a^2-h^2)/V(p^2-a^2)-a)^2+(h-0)^2) + 2a = ... = 2p + 2a,
zgodnie z wymaganiami.
2. Długość odcinka AB wynosi 2a, zgodnie z wymaganiami.
3. Wysokość trójkąta ABC to odległość punktu C od osi OX, czyli rzędna punktu
C, równa h, zgodnie z wymaganiami.
Część 3. Skąd to wszystko wziąć...
Przyjmujemy A=(-a,0) i B-(a,0). Szukamy punktu C o współrzędnych (x,h) takiego,
że x<=0 oraz obwód trójkąta ABC wynosi 2p+2a. Rozwiązując odpowiednie równanie z
jedną niewiadomą znajdujemy
x = -p*V(p^2-a^2-h^2)/V(p^2-a^2).
Teraz wystarczy tylko przeprowadzić konstrukcję odcinka o powyższej długości... :)

[Gość: Leszek]

Dziękuję za rozwiązanie, ale nie potrafię tego wyjaśnić na kołku matematycznym .
Jestem w gimnazjum i pani prowadząca kółko tez sobie nie radziła.Wierzę,ze to
jest dobrże. Dziękuję bardzo.

[Gość: Joa.]

9. Rysowana prosta ma równanie x=-p*V(p^2-a^2-h^2)/V(p^2-a^2). Punkt C ma
współrzędne (-p*V(p^2-a^2-h^2)/V(p^2-a^2),h).
Prawdopodobnie zaszła pomyłka. Punt C ma leżeć na prostej y=h i na elipsie o
równaniu (przy zachowaniu Twoich oznaczeń)
x^2/a^2 +y^2/(p^2-a^2)=1 stąd |x| =aV(p^2 -h^2-a^2)/(p^2-a^2)) Przypuszczam,ze
rozwiazując układ równań pomyliłeś sie, a poźniej szukałeś konstrukcji odcinka
określonego znalezionym wzorem. O wiele prościej przebiega jkednak konstrukcja
tego prawidłowego wyniku.Dzięki Tobie znam nowy dla mnie sposob podejścia do
tego typu zadań. Dzięki serdeczne.

To nie ta elipsa...

[ellipsis]

Gość portalu: Joa napisał:
> Prawdopodobnie zaszła pomyłka. Punt C ma leżeć na prostej y=h i na elipsie o
> równaniu (przy zachowaniu Twoich oznaczeń)
> x^2/a^2 +y^2/(p^2-a^2)=1 stąd |x| =aV(p^2 -h^2-a^2)/(p^2-a^2))
Nie. Punkt C ma leżeć na elipsie, której _ogniskami_ są punkty o współrzędnych
(-a,0) i (a,0). Skoro suma długości promieni wodzących jest równa 2p, to krótsza
półoś ma długość V(p^2-a^2), a dłuższa półoś ma długość p. Wobec tego
poszukiwane równanie elipsy (nomen omen ;)) to
x^2/p^2 + y^2 /(p^2-a^2) = 1
i ostatecznie, po podstawieniu y=h, otrzymujemy
|x| = p*V((p^2-h^2-a^2)/(p^2-a^2))
(jeżeli wolisz jeden znak pierwiastka mniej...).

[Gość: Joa]

Słusznie - to u mnie z ogniskowych zrobiła się średnica. Przepraszam za
zamieszanie. Podziękowania tym większe.
Przewidywana w moim pierwszym wpisie elipsa jednak w sposób utajony wystąpiła,
choc nie trzeba jej kreślić. Ciekewe zadanie.

[Gość: Julka]

8. Rysujemy prostą równoległą do prostej zawierającej odcinek HE, przechodzącą
> przez punkt I. Niech J będzie punktem przecięcia tej prostej i prostej
> zawierającej odcinek AB.

HE, czy HF?

Masz rację...

[ellipsis]

Gość portalu: Julka napisał(a):
> HE, czy HF?
Oczywiście HF. Dzięki.
___________________________
Dotychczas narysowane odcinki mają odpowiednio długości:
odcinek HD ma długość V(p^2-h^2-a^2),
odcinek DF ma długość V(p^2-a^2),
odcinek DI ma długość p.
Rysujemy prostą równoległą do odcinka HF, uzyskując podobne trójkąty
prostokątne HDF i JDI. Z ich podobieństwa wynika, że odcinek DJ ma długość
p*V(p^2-h^2-a^2)/V(p^2-a^2).
___________________________