Ciągi liczbowe

[Gość: Baker]

1) Oblicz sumę wszystkich tych liczb naturalnych nie większych od 200 , które
nie są podzielne ani przez 4 ani przez 6.
2) Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. obwód tego
trójkąta wyraża się liczbą 3*(pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2). Oblicz
długości jego boków.
Z góry dzięki

[ellipsis]

__________________________

Ad 1. Najpierw obliczamy:
a) sumę wszystkich liczb naturalnych niewiększych od 200 - ciąg arytmetyczny o
różnicy 1: 20100,
b) sumę wszystkich liczb naturalnych niewiększych od 200 podzielnych przez 4 -
ciąg arytmetyczny o różnicy 4: 5100,
c) sumę wszystkich liczb naturalnych niewiększych od 200 podzielnych przez 6 -
ciąg arytmetyczny o różnicy 6: 3366,
d) sumę wszystkich liczb naturalnych niewiększych od 200 podzielnych przez 12 -
ciąg arytmetyczny o różnicy 12: 1632,
a następnie od liczby a) odejmujemy liczby b) i c) oraz dodajemy liczbę d): 13266.
Uwaga: należy uzasadnić, dlaczego postępując zgodnie z powyższym schematem
otrzymamy właściwą odpowiedź!
__________________________

Niech alfa będzie miarą najmniejszego, a beta - miarą średniego kąta tego
trójkąta. (Oczywiście trzeci kąt tego trójkąta - kąt prosty - jest największy.)
Wtedy z warunków zadania:
90st - beta = beta - alfa.
Suma miar kątów dowolnego trójkąta wynosi 180st. W szczególności
alfa + beta + 90st = 180st.
Z powyższych dwóch równań łatwo wyliczamy
alfa = ...
Niech c będzie długością przeciwprostokątnej tego trójkąta. Z definicji funkcji
trygonometrycznych wyznaczamy długości przyprostokątnych. Są one równe
c sin alfa, c cos alfa.
Z warunków zadania
c sin alfa + c cos alfa + c = 3 * (V6 + V2).
Podstawiając
sin alfa = ..., cos alfa = ...
z łatwością wyznaczymy z tego równania c, a następnie długości pozostałych
boków trójkąta.
Odp. V6, 3 V2, 2V6.
__________________________

[Gość: Baker]

Naprawdę wielkie dzięki :)