cos^2(x) = 2sin(54)cos(72)

[Gość: pepo]

Witam,
Jakie są pierwiastki (rozwiązania dla x) r-nia z tematu? Aha, x^2 < 30. Dziękuje.

[Gość: kolega]

2sin54*cos72=sin126+sin18= cos36+cos72
Z 10-kąta foremnego cos72=(V5 -1)/4 a cos36=(V5 +1)/4 , mamy więc
(cox)^2 =(V5) /2 - sprzecznosc, bo (V5)/2>11

[Gość: pepo]

Niestety części nie rozumiem.
Z 10-kąta foremnego? Czyli jest jakiś sposób, żeby wyznaczyć dowolny sin/cos bez
tablic? No i nie wiem przez to skąd się bierze (V5+1)/4.
Napisał pan (V5)/2 > 11... a (V5)/2 to przecież ok. 1,11 i jest mniejsze...
zatem nie ma sprzeczności.
Wierzę, że ma kolega ma rację, proszę tylko o drobne naprowadzenie.
Pozdrawiam!

[Gość: kolega]

Tylko dla niektórych kątów można wyznaczyć funkcje trygonometryczne, jeśli znamy
własnosci wielokatóww, w których te katy występuja, np 45 st w kwadracie, 30,60
- w trójkącie równobocznym. O dziesiękocie foremnym wiemy,ze jego bok jest złotą
częścią promienia koła opisanego
{a=R(V% -1)/2] a kąty wynoszą 144.
Powinno być V5/2>1 a nie 11. Nie zauważyłem literówki. Sam dostrzegłeś
sprzeczność, oceniając wynik na kolo 1,1 a cosx nie może być większy od jeden.

Niestety, wkradł się błąd...

[ellipsis]

Mamy bowiem
sin 126 + sin 18 = 2 sin 72 cos 54 <> 2 sin 54 cos 72...
A oto poprawne rozwiązanie. Przekształcając prawą stronę otrzymamy:
cos^2 x = 2 sin 54 cos 72 = sin 126 - sin 18 = cos 36 - cos 72 = (V5+1) / 4 -
(V5-1) / 4 = 1/2.
Dalej już łatwo...
PS. Wartość cos 36 łatwo wyznaczyć z następujących zależności:
2 cos 36 cos 72 = 2 sin 54 cos 72 = cos 36 - cos 72
cos 72 = 2 cos^2 36 - 1
Podstawiając bowiem
x = cos 36
i drugą zależność do pierwszej, otrzymamy równanie
2x * (2x^2 - 1) = x - (2x^2 - 1),
czyli
4x^3 + 2x^2 - 3x - 1 = 0.
Jednym z pierwiastków tego równania jest -1. Po podzieleniu przez lewej strony
równania przez dwumian (x+1) otrzymamy równanie kwadratowe
4x^2 - 2x - 1 = 0,
któergo pierwiastkami są
x = (1-V5)/4, x = (1+V5)/4.
Wiedząc, że
0 < cos 36 < 1
łatwo dedukujemy, że poprawna jest ostatnia wartość. Następnie z drugiej
zależności wyznaczamy cos 72.