Zadanie tekstowe

[Gość: XYZ]

Pomoże ktoś rozwiązać te zadania? :)
1. Z kątownika długości 64m zbudować akwarium o podstawie kwadratowej o
największej objętości.
2. W trójkąt równoboczny o boku a wpisać prostokąt o największym polu i
znaleźć wymiary tego prostokąta.
3. W kulę o promieniu R wpisać walec o największej objętości.

[Gość: Julka]

1)
a- krawędź podstawy
b- krawedź boczna
Suma długości krawędzi 8a+4b=64 => 2a+b=16 =>b=16-2a
Objętość V=(a^2)b
V=a^2(16-2a)
Pochodna V'=-6a^2+32a

Warunek konieczny
-6a^2+32a=0 => a=0(nie spełnia warunków zadania...)lub a=16/3
b=16-2*(16/3)=16/3
Powinno się jeszcze sprawdzić warunek wystarczający (licząc drugą
pochodną lub badając znak pierwszej pochodnej)
Odp. Jest to sześcian o krawędzi 16/3

[Gość: XYZ]

Dzięki Julka :)

[Gość: szkola.be]

A skąd wiesz, że akwarium ma być prostopadłościenne?
A skąd wiesz,że prostpodłościan będzie mieć największą objętość?
Tego nie było w treści.
Tego tszeba dowieść.

A mogą być inne kształty.
A jeśli np. rozważysz kształt beczułkowaty ,
ale o pszekroju poziomym zawsze kwadratowym
i o osi symetri łączącej śrdki geometryczne podstaw,
to masz więcej brył do rozważenia.
A możesz tę kwadratową u podstaw beczułkę także kopnąć,
by odcinek łączący środki podstaw nie był prostopadły do podstawy,
i może być nieskończanie wiele brył.
--
(tekst w nowej ortografi: ó->u , ch->h ,rz->ż lub sz, -ii-> -i)
Ortografia to NAWYK, często nielogiczny, ktury ludzie ociężali
umysłowo
nażucają bezmyślnie następnym
pokoleniom.reforma.ortografi.w.interia.pl

[Gość: Julka]

No ale widzisz...
Objętość to zawsze pole podstawy razy wysokość.
W podstawie miał być kwadrat, każde wygięcie krawędzi bocznych czy
pochylenie zmniejszy wysokość a tym samym zmniejszy objętość.
...a objętość miała być największa...

[Gość: szkola.be]

> No ale widzisz...
> Objętość to zawsze pole podstawy razy wysokość.
Nie, weź np. ostrosłup, a jeszcze lepiej kulę.


> W podstawie miał być kwadrat,
> każde wygięcie krawędzi bocznych czy
> pochylenie zmniejszy wysokość ...
Nie, tylko wydłuży krawędzie boczne.
Ale też zwiększy objętość środka,
bo bryła będzie bliższa kuli.

>a tym samym zmniejszy objętość.
Jak widzisz wyżej, nie jest to oczywiste.


> ...a objętość miała być największa...
No i co?

[Gość: Julka]

2)
Bok trójkąta to a, a jego wysokość h=(aV3)/2
Boki prostoka ta, to x(prostopadły do podstawy) i y.
Z tw. Talesa (albo z podobieństwa trójątów)
h/0,5a=(h-x)/0,5y

Podstawiamy za h wzór i wyliczamy x.
x=aV3/2-yV3/2
Budujemy funkcję zmiennej y (pole prostokąta w zależności od y)
P(y)=(aV3/2-yV3/2)*y
Trzeba pomnożyć. Otrzymujemy funkcję kwadratową, w której
współczynnik przy kwadracie zmiennej y jest<0. Zatem fynkcja osiąga
wartość największą, dla y=-b/2a
y=a/2
Wystarczy podstawić wyliczony y do wzoru x=aV3/2-yV3/2 i obliczyć x.