Wartości logiczne zdań

[Gość: Tuptus]

1.
Dwie potęgi o tych samych podstawach są sobie równe wtedy tylko i tylko wtedy
gdy mają równe wykładniki
2.
Dwa równania mająto samo rozwiązanie wtedy tylko i tylko wtedy gdy są
identycznej postaci.
3.
Dwie liczby naturalne są sobie równe wtedy tylko i tylko wtedy gdy mają
wszystkie dzielniki jednakowe.

Odpowiedzcie.

[Gość: Julka]

1. fałsz, bo gdy podstawy są równe 1 lub 0, wykładniki nie muszą być równe

[Gość: Aśka]

2 - fałsz , bo 2^x =1 i 5x=5 sa róznej postaci, a rozwiązaniem jest ta sama liczba;
3 - prawda (zależna od definicji zbioru liczb naturalnych) dla liczb naturalnych
różnych od zera.

Poprawka do 3, komentarz do 1 i 2...

[ellipsis]

3 - prawda, niezależnie od definicji zbioru liczb naturalnych
(bo liczba naturalna jest różna od 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa
swojemu największemu dzielnikowi, liczba naturalna jest równa 0 wtedy i tylko
wtedy, gdy nie istnieje jej największy dzielnik; zatem znając zbiór dzielników
liczby naturalnej możemy wyznaczyć ją jednoznacznie).
_________________________

2 - dla mnie określenie ,,są takiej samej postaci" jest niejednoznaczne, :( a w
matematyce taka sytuacja nie powinna mieć miejsca. Pomimo tego przyłączam się do
opinii Aśki.
1 - nie jest dla mnie jasne, czy zdanie to dotyczy ustalonej podstawy, czy
dowolnej, a odpowiedź jest od tego zależna. Dokładniej pisząc, zdanie
,,dla każdej podstawy a i dowolnych wykładników alfa, beta równość a^alfa =
a^beta zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy alfa=beta"
jest - jak już pisała Julka - fałszywe, natomiast prawdziwość zdania
,,dla dowolnych wykładników alfa, beta równość a^alfa = a^beta zachodzi wtedy i
tylko wtedy, gdy alfa=beta"
zależy od a - jest ono prawdziwe dla wszystkich a ze zbioru (0,1) suma (1,oo),
a fałszywe np. dla a=1. Myślę, że autor miał na myśli pierwszą możliwość...

[Gość: też mama]

(bo liczba naturalna jest różna od 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa
> swojemu największemu dzielnikowi, liczba naturalna jest równa 0 wtedy i tylko
> wtedy, gdy nie istnieje jej największy dzielnik; zatem znając zbiór dzielników
> liczby naturalnej możemy wyznaczyć ją jednoznacznie).
Elipsisie! Nie wygłupiaj się z takimi twierdzeniami, choćby nawet skądinąd
prawdziwymi. Nikt nie ocenia liczby naturalnej na podstawie jej dzielników,
chociażby z tego powodu,że pojęcie dzielnika jest o wiele późniejsze niż pojęcie
liczby naturalnej. Zero bardzo niedawno i nie przez wszystkich traktowane jest
jako element zbioru liczb naturalnych i nikt go nie sprawdza na podstawie
tego,że nie ma największego dzielnika. Jak widać, grafomania nie jest domeną
wyłącznie humanistów.

????

[ellipsis]

Gość portalu: też mama napisał(a):
> Nikt nie ocenia liczby naturalnej na podstawie jej dzielników,
> chociażby z tego powodu,że pojęcie dzielnika jest o wiele późniejsze
> niż pojęcie liczby naturalnej.

też mamo - czy przeczytałaś treść zadania podanego przez Tuptusa? Jeżeli nie,
to zrób to teraz, bo Twoja wypowiedź jest nie na temat! Moje stwierdzenie, że
> > liczba naturalna jest różna od 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa
> > swojemu największemu dzielnikowi, liczba naturalna jest równa 0 wtedy
> > i tylko wtedy, gdy nie istnieje jej największy dzielnik
jest najważniejszym fragmentem dowodu (uzasadnienia, jeżeli wolisz) tezy, że
wartością logiczną zdania 3. z postu Tuptusa jest ,prawda'. Cały dowód jest
następujący.
_____________

Zdanie 3. z postu Tuptusa
> > Dwie liczby naturalne są sobie równe wtedy tylko i tylko wtedy gdy
> > mają wszystkie dzielniki jednakowe.
to równoważność. Implikacja ,,w prawo" jest oczywista - liczby sobie równe mają
takie same dzielniki. Jeżeli natomiast dwie liczby naturalne mają takie same
dzielniki, to rozważamy dwa przypadki:
a) albo wśród tych dzielników istnieje liczba największa n - wtedy jedyną
liczbą _naturalną_, która ma właśnie takie dzielniki, jest właśnie n, wobec
czego obie rozważane liczby są równe n,
b) albo wśród tych dzielników nie istnieje liczba największa - wtedy jedyną
liczbą, która ma właśnie takie dzielniki, jest 0, wobec czego obie rozważane
liczby są równe 0.
To kończy dowód implikacji ,,w lewo".
_____________

Jeżeli potrafisz uzasadnić prawdziwość zdania 3. z postu Tuptusa krócej i/lub
prościej, to pochwal się tym, zamiast pisać o tym, kiedy wprowadza się pojęcie
dzielnika liczby... Poza tym - czy nie sądzisz, że na poziomie, na którym
rozważa się pojęcie ,,wartości logicznej zdania", uczniowie dobrze znają (a
przynajmniej powinni dobrze znać) zarówno pojęcie liczby naturalnej (w tym
problem, czy 0 jest, czy też nie jest liczbą naturalną) i dzielnika...

> Jak widać, grafomania nie jest domeną wyłącznie humanistów.
Czy nadal uważasz, że mój poprzedni post był zbyt rozwlekły?

[Gość: Tez mama]

Mowimy o tym twierdzeniu:
Dwie liczby naturalne są sobie równe wtedy tylko i tylko wtedy gdy mają
wszystkie dzielniki jednakowe.
Jeżeli zbiór liczb naturalnych nie zawiera zera, to twierdzenie (=>) jest
prawdziwe -(<=) gdyby dzielniki liczb a i b nie wszystkie były jednakowe, to
iloraz a/b nie byłby równy 1 i liczby a i b nie byłyby równe . Przy włączeniu
zera nierówność a i b na podstawie ilorazu jest oczywista, - uczeń dochodzi do
wniosku,że zero ma inne podzielniki niż porównywana z nim liczba.- czyli zero
jest inne od kazdej innej liczby naturalnej(co go zdziwi, że o tym mówimy)
Po co te cięzkie działa wytoczone na muchę?

Dowodzisz dwa razy tę samą implikację...

[ellipsis]

Gość portalu: Tez mama napisał(a):
> Mowimy o tym twierdzeniu:
> Dwie liczby naturalne są sobie równe wtedy tylko i tylko wtedy gdy mają
> wszystkie dzielniki jednakowe.
> Jeżeli zbiór liczb naturalnych nie zawiera zera,
- to zastrzeżenie nie jest konieczne.
> to twierdzenie (=>) jest prawdziwe
- ta implikacja jest oczywista.
> -(<=) gdyby dzielniki liczb a i b nie wszystkie były jednakowe, to
> iloraz a/b nie byłby równy 1 i liczby a i b nie byłyby równe .
- tutaj dowodzisz, że z zaprzeczenia prawej części implikacji wynika
zaprzeczenie lewej strony, czyli kontrapozycję implikacji (=>), a więc
twierdzenie równoważne tej implikacji... :( Ponadto korzystasz z faktu, że
,,jeżeli nie wszystkie dzielniki liczb a i b są jednakowe, to iloraz a/b nie
jest równy 1" bez żadnego uzasadnienia. (Uzasadnienie najprościej uzyskać
stosując ponownie kontrapozycję - ,,jeżeli a/b=1, to wszystkie dzielniki liczb a
i b są jednakowe".)
Dowód implikacji (<=) także można przeprowadzić stosując kontrapozycję:
|| Jeśli liczby _naturalne_ a i b są _różne_, to któraś z nich jest
|| większa. Jeśli a>b, to a jest dzielnikiem a i a nie jest
|| dzielnikiem b, czyli nie wszystkie dzielniki liczb a i b są
|| jednakowe. Jeśli a<b, to b jest dzielnikiem b i b nie jest
|| dzielnikiem a, czyli nie wszystkie dzielniki liczb a i b są jednakowe.
Jednak po pierwsze, dowód ten nie jest krótszy od dowodu wprost, a po drugie
wymaga stosowania kontrapozycji, a do tej metody dowodowej trzeba się przyzwyczaić.

> Przy włączeniu zera nierówność a i b na podstawie ilorazu jest
> oczywista,
?? Nie rozumiem... Jaki iloraz masz na myśli?
> - uczeń dochodzi do wniosku,że zero ma inne podzielniki
> niż porównywana z nim liczba.
Zapewne chcesz tu skorzystać z faktu, że nie istnieje największy dzielnik 0,
natomiast każda liczba naturalna różna od 0 ma największy dzielnik - czyli
twierdzenie, które Ciebie tak obruszyło w moim pierwszym poście... (W moim
drugim poście już go nie było.)
> - czyli zero jest inne od kazdej innej liczby naturalnej
- przecież to prawda!
> (co go zdziwi, że o tym mówimy)
- dlaczego miałoby zdziwić?
> Po co te cięzkie działa wytoczone na muchę?
Jakie ciężkie działa? Który z kroków proponowanego przeze mnie dowodu masz na
myśli?