optymalizacja

[Gość: marko666]

czy moze ktos mi pomóc w zadaniu:
W jakim punkcie paraboli y=(x^2) - 1, nalezy poprowadzic styczna, aby trójkat
ogranczony ta styczna i osiami układu współrzędnych miał najmniejsze pole??

Z góry dzieki za pomoc i mam nadzieje proste wytłumaczenie:D

[ellipsis]

1. Ustalamy argument a.
2. Wyznaczamy równanie stycznej w punkcie (a,a^2-1). Przyjmujemy początkowo, że
jest to równanie
y = mx + n.
a) Współczynnik kierunkowy tej stycznej to pochodna naszej funkcji w punkcie x, tj.
m = 2a
b) Styczna przechodzi przez punkt (a,a^2-1), więc
a^2-1 = ma + n
Stąd
n = a^2 -1 - ma = a^2 -1 - 2a^2 = -a^2 - 1
Zatem styczna ma równanie
(*) y = 2a x - a^2 -1
3. Znajdujemy punkty przecięcia stycznej z osiami. Innymi słowy, podstawiamy w
równaniu stycznej (*) najpierw x=0 i znajdujemy y (przecięcie z osią OY), a
następnie y=0 i znajdujemy x (przecięcie z osią OX). Otrzymamy punkty
(0,-a^2-1) i ((a^2+1)/(2a),0)
Zauważamy przy okazji, że a musi być różne od 0. (Styczna w punkcie (0,-1) jest
równoległa do osi OX.)
4. Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a^2+1
(pionowa) i (a^2+1)/(2|a|) (pozioma). Trójkąt ten ma pole
P(a) = 1/2 * (a^2+1)^2 / (2|a|)
5. Zauważamy, że funkcja P jest parzysta, wobec czego możemy założyć, że a>0.
(Będziemy pamiętać, że symetryczne rozwiązanie otrzymamy rozważając punkt
symetryczny względem osi OY.) Mamy zatem funkcję
P(a) = (a^2+1)^2 / (4a)
6. Obliczamy pochodną
P'(a) = ...
7. Przyrównujemy pochodną do zera, wyznaczając stąd a:
P'(a) = 0 => ... => a = -1/V3 lub a = 1/V3.
Rozwiązanie a = -1/V3 odrzucamy, bo założyliśmy,że a>0.
8. Dowolnym sposobem (np. badając znak P') stwierdzamy, że funkcja P ma w
punkcie 1/V3 minimum.
9. Przypominając uwagę z p. 5 udzielamy prawidłowej (mam nadzieję...) odpowiedzi:
(...) w punkcie (-1/V3, -2/3) lub w punkcie (1/V3, -2/3).

[Gość: marko666]

Przyznam sie ze wyglada to imponująco!! ale jutro na spokojnie przesledze co i
jak:p i pewnie zamieszcze jakies dodatkowe pytania co do tego zadania/

jeszcze raz Wielkie Dzieki!

[Gość: bimbek]

Równanie stycznej do wykresy funkcji f(x) w punkcie o odciętej c ma postać:
y-f(c)=f'(c)*(x-c)
U ćiebie f(x)=x^2 -1; f'(x)=2x Równanie prostej przybiera postać
y-c^2 +1=2c(x-c) <=> y=2cx - c^2 -1 prosta ta przecina osie układu w punktach
A(0;-1-c^2), B((c^2+1)/2c;0) Pole trójkata ABO =[(c^2+1)^2]/4c
Wyznacz ekstremum tej funkcji. Otrzymasz je dla c=V3/3 lub c=-V3/3

[Gość: capabloo]

youtu.be/BGofn5rIt2M