ciąg geometryczny

[Gość: zula]

W ciągu geometrycznym dane są:

$a_{1}=1$
$a_{n}=81$
$S_{n}=121+\sqrt[2]{3}$
Oblicz q i n.

Bardzo proszę o szybką odpowiedź.

Błędne dane...

[ellipsis]

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
a_n = a_1 * q^(n-1)
W naszym przypadku:
(1) q^(n-1) = 81
Wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego:
S_n = a_1 * (1-q^n) / (1-q)
W naszym przypadku:
(2) 121 + V3 = (1-q^n) / (1-q)
Otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Być może nie wygląda on
na bardzo łatwy, ale staje się taki, gdy przypomnisz, że
q^n = q^(n-1) * q.
Otrzymamy:
121 + V3 = (1-81q) / (1-q)
121 + V3 - (121+V3) q = 1 - 81 q
120 + V3 = (40+V3) q
q = (120+V3) / (40+V3)
Niestety, nie istnieje liczba naturalna n, dla której tak wyliczone q spełnia
równanie (1). Musiałaś gdzieś się pomylić... Myślę, że odpowiedzią miało być
q=V3 i n=8, ale wtedy S_n=40+40V3...
PS. W powyższym zapisie nie stosowałem notacji TeX-owej, ale raczej nie
powinnaś mieć kłopotu z odczytaniem treści...

[Gość: Joa]

a_1=1 i a_n=81 i S_n=121+V(2/3) <=>a_1=1 i q^(n-1)=81 i (q^n -1)/(q-1)=121+V(2/3)=>
(81q-1)/(q-1)=121 +V(2/3)<=> 81q-1=(121+V(2/3))q -121-V(2/3) <=>
(40+V(2/3))q=120+V(2/3) <=>q=[120+V(2/3)]/40+V(2/3)]; przy takim ilorazie
a_n=q^(n-1) nie daje liczby całkowitej - dane są sprzeczne.
Tak przy okazji: Jakie to zadanie z dolarami?

[Gość: zula]

Cóż... zadanka sama nie wymyśliłam i tak mam w treści na pewno. W każdym razem dziękuję. A te dolarki to sposób zapisywania, dzięki któremu pojawiają się ładnie znaki nietypowe używane w matematyce, przynajmniej na innych forach matematycznych ;).

Dolary...

[ellipsis]

Znak dolara to to przełącznik trybu matematycznego. Podobnie backslash to
początek komendy (np. \sqrt to komenda powodująca wygenerowanie symbolu
pierwiastka; jej parametrami są 2 precyzujące, że chodzi nam o pierwiastek
kwadratowy - i 3 - liczba pierwiastkowana; jeżeli parametr nie jest
jednoznakowy, to zamykamy go w nawiasach klamrowych). Ogólnie Twój tekst był
napisany w TeX-u - języku programowania opisu strony, pozwalającym zakodować
_każdy_, nawet najbardziej wymyślny tekst przy użyciu standardowych znaków
alfabetu łacińskiego (+ backslash, nawiasy klamrowe i spacja, pozostałe znaki
przestankowe są zbędne) w taki sposób, aby na dowolnym urządzeniu (monitor
podłączony do komputera z dowolnym systemem operacyjnym, dowolna drukarka czy
naświetlarka) wyglądał identycznie (z dokładnością do możliwości urządzenia -
oczywiście nie da się zwiększyć rozdzielczości urządzenia docelowego). Więcej
informacji np. na stronie www.gust.org.pl/doc/tex_whatisit/ .
PS. Może warto przekonać admina forum, aby zainstalował kompilator on-line
TeX-a na serwerze Gazety? Wtedy można byłoby znacznie łatwiej czytać
zamieszczane tutaj odpowiedzi... (Z pytaniami gorzej, bo zwykle pytający raczej
nie znają TeX-a... :( )

[Gość: zula]

Wg mnie to świetny pomysł. A co do stwierdzenia "Z pytaniami gorzej, bo zwykle pytający raczej nie znają TeX-a..." to sądze, że tak jak na innym forum możnaby wprowadzić regulamin, który nakazywałby pisania pytań również w ten sposób (inaczej odpowiedzi nie będą udzielane), jeśli komuś zależy to poświęci chwilę czasu by się tego nauczyć i ułatwi pracę komuś, kto bezinteresownie chce mu pomóc. To naprawdę chwila, żeby sprawdzić, jak który znak zapisać, a czytelność jest nieporównywalna...