Granica ciągu

[Gość: gosc]

Jak w temacie nijak nie mogę udowodnić wiem że +nieskończoność bo to widać ale
jak do tego dojść?:
lim[(7^n*n!)/(n^n)]

[ellipsis]

Nie wiem, na jakim poziomie ma być rozwiązanie, dlatego załączam dwa
rozwiązania... Wadą sposobu 1. jest m.in. to, że gdyby w mianowniku rozważanego
ciągu było n^(n+1), to musielibyśmy jeszcze uzasadnić, dlaczego (7/e)^n/Vn ->
oo. Tej wady nie ma sposób 2.
__________________________________

Sposób 1. Skorzystamy ze wzoru Stirlinga przybliżającego n!:
lim _(n->oo) n!/[(n/e)^n V(2 pi n)] = 1.
Stąd
lim _(n->oo) (7^n*n!/n^n) =
= lim _(n->oo) n!/[(n/e)^n V(2 pi n)] *
* lim _(n->oo) [7^n*(n/e)^n V(2 pi n)]/n^n] =
= 1 * lim _(n->oo) [(7/e)^n V(2 pi n)] = oo.
__________________________________

Sposób 2. Zastosujemy metodę znaną z kryterium d'Alemberta.*) Obliczmy granicę
ilorazu kolejnych wyrazów ciągu:
lim _(n->oo) [7^(n+1)*(n+1)!/(n+1)^(n+1)]/(7^n*n!/n^n) =
= lim _(n->oo) [7 /(1+1/n)^n] = 7/e.
Z powyższego wynika, że począwszy od pewnego miejsca nasz ciąg ma wyrazy
większe od odpowiednich wyrazów ciągu geometrycznego (A*2^n) (bo 7/e>2).
Ponieważ ten ostatni ciąg jest rozbieżny do oo, więc także nasz wyjściowy ciąg
jest rozbieżny do oo.
*) Jeżeli nie wiesz, co to jest kryterium d'Alemberta i jaki to ma związek z
obliczaniem granic ciągów, to nic nie szkodzi - możesz stosować sposób 2. bez
dogłębnego zrozumienia tych kwestii...
__________________________________

[Gość: joa]

Nie bardzo wiadomo, jak rozumieć Twój zapis7^n*n!Uwzględniając kolejność
działań, byłby to iloczyn potęgi i liczby, tzn (7^n)*n!.
Elipssis potraktował to jako potęgę o wykładniku równym iloczynowi - 7^(n*n!).
W tym pierwszym przypadku granicą ciągu jest 0.(Z kryterium d'Alamberta)

????

[ellipsis]

Gość portalu: joa napisał(a):
> Nie bardzo wiadomo, jak rozumieć Twój zapis7^n*n!Uwzględniając
> kolejność działań, byłby to iloczyn potęgi i liczby, tzn (7^n)*n!.
To jest chyba jedyna możliwość!
> Elipssis potraktował to jako potęgę o wykładniku równym iloczynowi-
> 7^(n*n!).
Oczywiście nie! Nb. obliczenie takiej granicy byłoby znacznie prostsze:
lim_(n->oo) {[7^(n*n!)]/n^n} = lim_(n->oo) {[7^(n!)]/n}^n = oo^oo = oo,
bo już 7^n/n -> oo.
> W tym pierwszym przypadku granicą ciągu jest 0.(Z kryterium
> d'Alamberta)
Nieprawda, granicą jest oo... Powtórzę jeszcze raz przekształcenia:
wyraz n-ty: (7^n) * n!/n^n
wyraz (n+1)-szy: [7^(n+1)] * (n+1)!/(n+1)^(n+1)
iloraz wyrazu (n+1)-szego przez n-ty:
{[7^(n+1)] * (n+1)!/(n+1)^(n+1)} / [(7^n) * n!/n^n] =
= {[7^(n+1)]/(7^n)} * [(n+1)!/n!] * [n^n / (n+1)^(n+1)] =
= 7 * (n+1) * [n^n / (n+1)^(n+1)] =
= 7 * n^n / (n+1)^n = 7 * [n/(n+1)]^n = 7/(1+1/n)^n.
Mam nadzieję, że teraz jest już wszystko jasne...