Proszę o pomoc PILNE!

[Gość: jola]

zad1
załóżmy, że l jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych. wykaż, że istnieje takie k, że l+1=k^2 (wiem, że będzie to 1,2,3,4 ale jak to pokazać?)

zad2
pokazać, że dla dowolnej liczny naturalnej n

444...44888..889 =m^2
\_______/\______/
n n


gdzie m jest pewną liczbą naturalną.

zad3
niech x i y będą nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, takimi że x>=y.
Wykazać, że zachodzi nierówność x^4+y^4>=2*x*y^3


zad4
płaszczyzna przechodząca przez środki kuli wpisanej w stożek i równoległa do jego podstawy dzieli ten stożek na dwie bryły o równych objętościach. Wyznacz, kosinus kąta rozwarcia stożka.

zad5
znajdź równania okręgów o promieniu r=10, z których każdy przechodzi przez punkt A(3,14) i przecina oś OX w punktach odległych od siebie o 16. oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są środki i punkty przecięcia sie tych okręgów.

zad6
urna zawiera n kul, które są białe lub czarne, przy czym każda możliwa liczba kul białych jest tak samo prawdopodobna. do tej urny wrzucono dodatkowo białą kulę, a następnie wylosowano z niej jedna kulę. niech pn(n takie małe:)) oznacza prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. oblicz pn oraz lim pn (n dąży do nieskończoności)

zad7
dla jakich a równanie log2 (3x-4)= log2 (x-a) + log2 x ma dokładnie jedno rozwiązanie.

z góry dziękuje!

[Gość: kolega]

1) Wykazałas,ze istneją, znajdujac je.
2) 444...888...9
wykaz przez indukcję,że
[66..7+60..00]^2 jest ww postaci dla kazdegp n
\n-1/ \n-1/
3)x^4+y^4=(x^2-y^2)^2 +2x^2*y^2>=2x^2*y^2=2x*x*y^2>=2x*y*y^2=2x*y^3;
4)Wyraź wysokość całego stozka i jego górnej części przez x i funkcje połowy
kata rozwarcia. Ponieważ objętość górnego stożka stanowi połowę objętości całego
stozka więc stosunek wysokosci jest pierwiastkiem sześciennym z 1/2. Otrzymujesz
równanie z niewiadomą sinx, gdzie x jest połowa miary szukanego kąta.
5)Otrzymujesz układ równań (3-a)^2+(14-b)2=100 i V(100-b^2)=8
6) Treśc niejasna
7) x>4/2 i x>a Po pozbyciu sie znaku logarytmu otrzymasz dwa pierwiastki.
Większy z nich musi spełniać oba warunki podane w zastrzezeniu

[ellipsis]

Zad. 1.
W obecnej formie to jest nieprawda, np.
l = 30 = 5*6
oraz
l+1 = 31 <> k^2
dla każdego naturalnego k...

[ellipsis]

Zad. 2.
W obecnej formie to jest nieprawda, np.
489 = 3 * 161
nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej...

PS.

[ellipsis]

Chyba kolega ma rację, w Twoim zadaniu chyba powinniśmy rozważać liczbę
L_n = 44...488...89,
gdzie najpierw mamy n czwórek, potem n-1 ósemek i na końcu dziewiątkę.
W takim przypadku zauważ, że
dla n=1 mamy L_1 = 49 = 7^2,
dla n=2 mamy L_2 = 4489 = 67^2,
dla n=3 mamy L_3 = 444889 = 667^2.
Stąd możemy wysnuć przypuszczenie, że dla każdego n liczba L_n jest równa
M_n^2, gdzie
M_n = 6...67
(na początku mamy (n-1) szóstek, a na końcu siódemkę). Aby udowodnić tę
hipotezę najpierw zapiszmy ,,porządnie" powyższe liczby:
L_n = 1 + (8+...+8*10^(n-1)) + 10^n * (4+...+4*10^(n-1)) =
= 1 + 8 * (10^n-1)/9 + 10^n * 4 * (10^n-1)/9 =
= 1 + 8 * 10^n/9 - 8/9 + 4 * 10^(2n)/9 - 4 * 10^n/9 =
= 1/9 + 4 * 10^n/9 + 4 * 10^(2n)/9,
M_n = 1 + (6+...+6*10^(n-1)) = 1 + 6 * (10^n-1)/9 = 1/3 + 2 * 10^n/3.
(Skorzystaliśmy ze wzoru na sumę pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego.)
teraz przekształcamy:
M_n^2 = (1/3 + 2 * 10^n/3)^2 =
= 1/9 + 2 * 1/3 * 2 * 10^n/3 + 4 * 10^(2n)/9 = 1/9 + 4 * 10^n/9 + 4 * 10^(2n)/9
= L_n.
c.b.d.o.

[ellipsis]

Zad. 4.
Przetnij bryłę płaszczyzną zawierającą jego wierzchołek i środek podstawy.
Otrzymasz trójkąt równoramienny z wpisanym kołem i poziomym odcinkiem
równoległym do podstawy przechodzącym przez środek koła. Połącz środek koła z
jednym z punktów styczności koła z ramionami trójkąta. Zaznacz na rysunku
wszystkie kąty proste.
Oznaczmy miarę między ramionami tego trójkąta literą alfa. Poszukujemy sinusa
kąta alfa.
Oznaczmy promień kuli wpisanej w stożek (koła wpisanego w trójkąt) literą R.
Górna bryła powstała po przecięciu to stożek.
Wysokość górnego stożka to
R / sin (alfa/2)
(znajdź na rysunku trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest ta
wysokość).
Wysokość całego stożka to
R / sin (alfa/2) + R.
Ponieważ te dwie bryły są do siebie podobne, to
objętość (górny stożek) / objętość (cały stożek) = k^2,
gdzie
k = 1/ {sin (alfa/2) * [1/sin (alfa/2) + 1]} = 1 / [1 + sin (alfa/2)]
jest skalą podobieństwa. (Wyjaśnij skąd się wzięła ta liczba.) Z warunków zadania
k^3 = 1/2.
Otrzymaliśmy równanie z jedną niewiadomą:
1 / [1 + sin^3 (alfa/2)] ^3 = 1/2.
Stąd
sin (alfa/2) = (pierwiastek stopnia 3 z 2) - 1.
Dalej
cos (alfa/2) = V(1 - sin^2 (alfa/2))
i ostatecznie
sin alfa = 2 sin (alfa/2) cos (alfa/2) = ...
Niestety, wynik jest nienajładniejszy...

[ellipsis]

Zad. 5.
Niech (a,b) będzie środkiem któregoś z tych okręgów. Wtedy równanie okręgu ma
postać
(*) (x-a)^2 + (y-b)^2 = 10^2.
Niech (x_1,0) i (x_2,0) będą punktami przecięcia tego z okręgu z osią OX. Wtedy
x_1 i x_2 są rozwiązaniami równania
(x-a)^2 + (0-b)^2 = 100.
Zauważ, że ze wzorów Viete'a
16 = x_2 - x_1 = V(Delta) / a = 2 V(100-b^2).
Stąd
b = 6 lub b = -6.
Korzystając z faktu, że punkt (3,14) należy do okręgu o równaniu (*),
wywnioskuj, że
b = 6
oraz wyznacz
a = -3 lub a = 9.
Rozwiązując układ równań
{ (x+3)^2 + (y-6)^2 = 10^2
{ (x-9)^2 + (y-6)^2 = 10^2
otrzymasz drugi punkt przecięcia tych okręgów: (3,-2).
Na zakończenie wyznacz pole czworokąta o wierzchołkach (-3,6), (3,-2), (9,6) i
(3,14) korzystając z tego, że przekątne tego czworokąta są do siebie prostopadłe
(albo podziel go na cztery trójkąty prostokątne o znanych przyprostokątnych).

[ellipsis]

Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
p_n = P(w urnie jest początkowo 0 kul białych i n kul czarnych) * P(wyciągniemy
kulę białą | w urnie jest 1 kula biała i n kul czarnych) +
+ P(w urnie jest początkowo 1 kula biała i n-1 kul czarnych) * P(wyciągniemy
kulę białą | w urnie są 2 kule białe i n-1 kul czarnych) +
+ ... +
+ P(w urnie jest początkowo n kul białych i 0 kul czarnych) * P(wyciągniemy
kulę białą | w urnie jest n+1 kul białych i 0 kul czarnych) =
= 1/(n+1) * 1/(n+1) +
+ 1/(n+1) * 2/(n+1) +
+ ... +
+ 1/(n+1) * (n+1)/(n+1) =
= 1/(n+1)^2 * [1 + 2 + ... + (n+1)] =
= 1/[(n+1)*n] * [1+(n+1)]/2*(n+1) =
= (n+2)/(2n) = 1/2 + 1/n.
(Skorzystaliśmy ze wzoru na sumę pierwszych n+1 wyrazów ciągu arytmetycznego.)
Dalej sobie z pewnością poradzisz...

[ellipsis]

Zad. 7.
Najpierw założenia związane z argumentami logarytmu:
(*) 3x - 4 > 0, x - a > 0, x > 0.
Następnie przyrównaj 2 do potęgi (lewa strona) i 2 do potęgi (prawa strona):
2^[log2 (3x-4)] = 2^[log2 (x-a) + log2 x] = 2^[log2 (x-a)] * 2^[log2 x],
czyli
3x - 4 = (x-a) * x.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe:
x^2 - (a+3) x + 4 = 0.
To równanie ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, a więc musi zachodzić
Delta = 0 oraz x = (a+3)/2 spełnia założenia (*).
Równanie Delta=0 daje dwa rozwiązania. Jedno z nich musimy odrzucić...

[Gość: kolega]

zad7
dla jakich a równanie log2 (3x-4)= log2 (x-a) + log2 x ma dokładnie jedno
rozwiązanie.
Zakładam,że masz na myśli logarytmy o podstawie 2, choć to samo równanie
otrzymasz traktyjąc 2 jako czynnik liczby logarytmowanej albo jako podstawę
potęgi liczby logarytmowanej, choć w tym ostatnim przypadku dziedziną bedą
wszystkie liczby rzeczywiste
x>4/3 i x>a => na podstawie twierdzeń o logarytmowaniu mamy
3x-4=x(x-a) <=>x^2-(a+3)x+4=0, D=a^2+6a-7
1)D=0<=>a=7 i x=-2 v a=1 i x=2; x=2 spełnia warunki podane w dziedzinie.
2)D>0 <=>a,-7 v a>1
x1=[a+3-V(D)]/2 ;x2=[a+3+V(D)]/2 dla a>4/3 x2>a za s x1<4/3 jedno rozwiazanie
istnieje dla a=1 lub a >4/3

Racja! - ale nie do końca... :(

[ellipsis]

___________________

kolega ma rację - mylnie napisałem, że musi zachodzić Delta=0... :(
___________________

Ale niestety kolega podał błędne rozwiązanie w przypadku 2). Otóż w tym
przypadku oprócz warunku
(*) (a < -7) lub (a > 1)
musimy także zachodzić
a) x_2 > 4/3,
b) x_2 > a.
___________________

Ad a)
Przekształcamy kolejno:
((a+3+V(Delta))/2 > 4/3) i (*)
(3a + 9 + 3 V(Delta) > 8) i (*)
(3 V(Delta) > -1 - 3a) i (*)
[(-1 - 3a <=0) lub (9 Delta > (-1 - 3a)^2)] i (*)
[(a >= -1/3) lub (9a^2 + 54a - 63 > 1 + 6a + 9a^2)] i (*)
[(a >= -1/3) lub (48a > 64)] i (*)
(a >= -1/3) i (*)
a > 1
___________________

Ad b)
Przekształcamy kolejno:
((a+3+V(Delta))/2 > a) i (*)
(a + 3 + V(Delta) > 2a) i (*)
(V(Delta) > a - 3) i (*)
[(a - 3 <= 0) lub (Delta > (a-3)^2)] i (*)
[(a <= 3) lub (a^2 + 6a - 7 > a^2 - 6a + 9)] i (*)
[(a <= 3) lub (12a > 16)] i (*)
[(a <= 3) lub (a > 4/3)] i (*)
(*)
(a < -7) lub (a > 1)
___________________

Łącząc a) i b) otrzymujemy ostatecznie, że rozwiązaniem w przypadku 2) jest
a > 1,
a rozwiązaniem całego zadania
a >= 1.
___________________

Mam nadzieję, że teraz jest już dobrze... :)

I jeszcze poprawka... :(

[ellipsis]

__________________

Oczywiście w przypadku 2) musimy jeszcze uwzględnić warunek
c) (x_1 <= 4/3) lub (x_1 <= a)
__________________

Ad c1)
(x_1 <= 4/3) i (*)
((a+3-V(Delta))/2 <= 4/3) i (*)
(3a + 9 - 3V(Delta) <= 8) i (*)
(3a + 1 <= 3V(Delta)) i (*)
[(3a + 1 <= 0) lub (9a^2 + 6a + 1 <= 9a^2 + 54a - 63)] i (*)
[(a <= -1/3) lub (a >= 4/3)] i (*)
(a < -7) lub (a >= 4/3)
__________________

Ad c2)
(x_1 <= a) i (*)
((a+3-V(Delta))/2 <= a) i (*)
(a + 3 - V(Delta) <= 2a) i (*)
(-a + 3 <= V(Delta)) i (*)
[(-a + 3 <= 0) lub (a^2 - 6a + 9 <= a^2 + 6a - 7)] i (*)
[(a >= 3) lub (a >= 4/3)] i (*)
a >= 4/3
__________________

Zatem punkt c) daje nam ostatecznie
(a < -7) lub (a >= 4/3)
__________________

Łącząc ten warunek z rozwiązaniami punktów a) i b) otrzymujemy ostatecznie, że
w przypadku 2) parametr a musi spełniać nierówność
a >= 4/3.
__________________