planimetria

[Gość: karolll]

1)
Dwusieczna kąta prostego trójkąta prostokątnego dzieli przeciwprostokątną na
odcinki o długościach a i b. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

2)W trapez równoramienny o obwodzie 20 i przekątnej długości V41 można wpisać
okrąg. Oblicz odległość punktu przcięcia przekątncyh tego trapezu od prostych
zawierających jego boki


3) Podstawy trapezu mają długości a i b (a>b). Suma miar kątów wewnętrznych
przy dłuższej podstawie wynosi 90(stopni). Oblicz długość odcinka łączącego
środki podstaw.


4)Pola trójkątów, których podstawami są podstawy trapezu, a wspólnycm
wierzchołkiem punkt przecięcia przekątnych trapezu są równe s1 i s2. Oblicz
pole trapezu.

5) Udowodnij, że w trapezie który ma 2 kąty ostre przy jednej z podstaw, suma
kwadratów przekątnych równa jest sumie podwojonego iloczynu dwóch boków
równoległych i kwadratów pozostałych boków.


6)W kole o środku O poprowadzono 2 prostopadłe śrenice AB i CD oraz cięciwę AM
przecinającą średnicę CD w punkcie K. Oblicz miarę kąąta BAM wiedząc że w
czworokąt OBMK można wpisać okrąg.


7) Wykaż że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkah A i C
przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych
ounktach , to punkty te leżą na pewnym okręgu.

8) Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie
dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych
okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

[Gość: kolega]

1)Oznacz długosci przyprostokatnych przez x i y i rozwiaz układ rownań
x^2+y^2=(a+b)^2 i x/y=a/b (z tw o dwusiecznej kata w trójkącie .Otrzmas
x=a(a=b)/V(a^2+b^2)
2) boki trapezu maja długości 5, x, 5, 10-x . poprowadź wysokość z jednego z
wierzchołków. Otrzymałeś dwa trójkąty prostokątne - jeden o przeciwprostokątnej
, która jest daną przekątna i drugi - przeciwpr. jest ramieniem. Wyznacz x i
podziel wysokosc proporcjonalnie do podstaw.(4/5 , 16/5)
#) poszukaj w innych watkach, zadanie rozwiazał ladpol. Inne zadania równiez
rozwiazano wczesniej.

[Gość: gosia]

co do zadania 2 obliczylam pole czyli mam wszystkie długości boków, ale jak
obliczyc te odległości nie majac wspolrzednych puknktow ??

[Gość: kolega]

1) z tw. o dwusiecznej w trójkącie wynika,że dł.przyprostokątnych są
proporcjonalne do a i b, równe są zatem ak i bk.
Z tw Pitagorasa (ak)^2 +(bk)^2=(a+b)^2 stad wyznaczysz k i szukane długości.
2)W trapezie ABCD długość ramion |AD|=|BC|=5, krótsza podstawa |CD|=x i
|AB|=10-x (x<5) odcinek CE jest wysokoscia trapezu. |EB|=5-x, |AE|=5 i z
trójkąta AEC (tw. Pitagorasa) |EC|=4 . Z tr. EBC |EB|=3 ale |EB|=5-x
stad x=2. Podstawy trapezu sa długości 8 i 2. Przekątne trapezu dzielą
wysokość poprowadzona przez ich punkt przeciecia w stosunku 4:2 =2:1, tzn punkt
przecięcia odległy jest od podstaw o 2/3 wysokosci i 1/3 wysokosci , czyli o
8/3 i 4/3.
3) Przedłóż ramiona do punktu przecięcia i nakreśl środkowa otrzymanego
trójkąta prostokątnego. Znasz jej długość (połowa przeciwprostokątnej) i długość
środkowej mniejszego trójkąta.