Kolejny trapez

[Gość: Licealista]

W serii zadań o trapezach doszedłem do takiego:
Długości podstaw trapezu sa a i b (a>b). Przekątne tego trapezu podzieliły go
na cztery trójkąty, z których ten, zawierający ramię, ma pole P.Jakie jest
pole całego trapezu?
Odpowiedź jest P(a+b)^2 /ab, ale mnie nie wychodzi.

[Gość: Julka]

Pole całego trapezu (a+b)(h1+h2)/2=2P+0,5ah1+0,5bh2
Trójaty o podstawach równych podstawom trapezu są na pewno podobne :)
a/b=h1/h2
Z drugiego liczysz h2, podstawiasz do pierwszego i wychodzi h1=4P/2b,
h2=2P/a
Podstawiamy do wzoru na pole trapezu i wychodzi

[Gość: Licealista]

Dziękujęza dotychczasowa pomoc - i jeszcze ostatnie zadanie z tej serii:
Przy jakim stosunku a:r długości kolejnych boków trapezu tworzą ciąg arytmetyczny?

[Gość: Julka]

a co to jest r?

[Gość: Licealista]

a -to pierwszy wyraz ciagu, r - jego róznica.

[Gość: Licealista]

Przy czym ciąg ma być rosnący (co przegapiłem)

[ellipsis]

Kwadrat jest jedynym trapezem, w którym _kolejne_ boki tworzą ciąg
arytmetyczny... :(
Jeżeli natomiast dopuścimy kolejność
krótsza podstawa - ramię - drugie ramię - dłuższa podstawa,
to otrzymamy bardzo wiele różnych trapezów, w których iloraz a:r nie jest
stały... :(

[Gość: Joa]

Mała poprawka - każdy romb może być takim trapezem, wa którym długości
kolejnych boków twarzą ciag arytmetyczny

[Gość: Julka]

Jeżeli jest to promień okręgu wpisanego, to
a+a+2r1=a+r1+a+3r1 (r1 - różnica ciągu)
czyli r1=0, co oznacza, że trapez musi być kwadratem.
a/r=a/0,5a=2

[Gość: Bimbka]

A gdzie dowód że
P trójkąta przy jednymym ramieniu = P trójkąta przy drugim ramieniu ?
ewentualnie dowód że c1 = c2, gdzie odcinek c rónoległy do podstaw na wysokości
przecięcia przekątnych ?

[Gość: Julka]

Bimbka, no niech będzie :)
Oznaczmy boki trójkąta z dłuższą podstawą a i y, a boki trójkąta z krótszą
podstawą a i y (patrząc od lewej strony)
Z podobieństwa trójkątów mamy y/a=b/x => ab=xy
Pole trójkąta P=0,5absinalfa=0,5xysinalfa (bo ab=xy, a katy przystające, jako
kąty wierzchołkowe)

[Gość: Bimbka]

Z jakiego podobieństwa trójkątów ?
Oznaczyłaś :
b
_____
|x\ / \
| / \
|y/ \ \
|/_______\
a

y/a = b/x ?

[Gość: Julka]

Narysowałam trapez ABCD i przekatne AC i BD. Punkt przecięcia przekatnych S.
Trójkąty ABS i CDS są podobne.
AS=b, SC=x, BS=y, SD=a

[Gość: Bimbka]

Ale a i b to podstawy trapezu, a nie fragmenty jego przekątnych.

[ellipsis]

Można też prościej:
P(tr. ASD) = P(tr. ABD) - P(tr. ABS) = P(tr. ABC) - P(tr. ABS) = P(tr. BCS)
- trójkąty ABD i ABC mają równe pola, bo mają wspólną podstawę i taką samą
wysokość. Nb. stąd otrzymujemy alternatywne rozwiązanie zadania. Dokładniej,
stosując oznaczenia Julki z postu z 19:21 otrzymamy:
P = a h_2 /2 = b h_1 /2
Stąd
P(trapez ABCD) = (a+b) (h_1+h_2) /2 = (a+b) (P/a+P/b) = (a+b)^2 * P/(ab).