zbior pusty

[Gość: Filip]

jaki jest dowod na to ze zbior pusty jest podzbiorem kazdego zbioru??

[Gość: Zend]

Nie ma dowodu, tylko przyjęto,że w każdym zbiorze zawarty jest zbiór pusty - to
dopuszczenie możliwości rezygnacji z wyboru elementów z danego zbioru., lub
inaczej - jeśli ze zbioru usuniemy wszystkie jego elementy, to zostanie zbiór
pusty, niezależnie od rodzaju zbioru.

[Gość: Julka]

Dla dowolnego zbioru A implikacja
x należy do zbioru pustego => x należy do A
jest prawdziwa, bo poprzednik jest fałszywy. Stąd zbiór pusty należy do zbioru
A. Wobec dowolności zbioru A, dowodzi to prawdziwości tezy.
Zapisz to sobie za pomocą symboli. Będzie krócej.

[Gość: Zend]

Implikacja z pewnością jest prawdziwa, jeżeli poprzednik jest fałszywy, ale co z
tego, o tezie nadal nic nie wiemy. Równie dobrze można napisać: "jeżeli x nie
istnieje, to x ma katar" Dlaczego założyłaś,ze poprzednik jest fałszywy?. x
jest zmienną zdaniowa i nic o niej nie wiadomo ,a Twoje zdanie jest funkcją
zdaniową,której prawdziwość zależy od x.Jeżeli x byłby smokiem o 7. głowach to
poprzednik byłby prawdziwy i wartość logiczna implikacji zależałaby od
następnika Wcale nie wiemy , czy rzeczywiście x należy do zbioru pustego.

[Gość: Julka]

Ale to wynika z definicji podzbioru.
Zbiór B jest podzbiorem zbioru A, gdy kazdy element zbioru B jest elementem
zbioru A. x należy do B => x należy do A
Analogicznie:
Zbiór pusty jest podzbiorem zbioru A, gdy każdy element zbioru pustego należy
do A.
x należy do zbioru pustego => x należy do A.

To nie całkiem tak...

[ellipsis]

Masz rację, że nie można rozważać elementów, które nie istnieją. Tu mamy jednak
inną sytuację.
Otóż definicja relacji
,,zbiór B jest podzbiorem zbioru A"
jest następująca:
,,każdy element zbioru B należy do zbioru A",
a dokładniej:
,,dla każdego x, jeżeli x należy do zbioru B, to x należy do zbioru A".
Aby udowodnić, że zbiór pusty jest podzbiorem ustalonego zbioru A, rozważamy
następujące zdanie:
,,dla każdego x, jeżeli x należy do zbioru pustego, to x należy do zbioru A".
Bierzemy pod uwagę dowolny element x. Poprzednik powyższej implikacji - czyli
zdanie ,,x należy do zbioru pustego" - jest na mocy własności zbioru pustego
fałszywy. Wobec tego _niezależnie_ od prawdziwości lub fałszywości zdania ,,x
należy do zbioru A", cała implikacja jest prawdziwa. Skoro rozważaliśmy dowolny
element x, to ta implikacja jest prawdziwa dla każdego x, co kończy dowód.

[Gość: Julka]

Według mnie, teza wynika z dowolności zbioru A, a nie z dowolności x.
Co o tym myślisz ellipsis?

[Gość: Zend]

Definicja podzbioru:
B jest podzbiorem A <=> dla każdego x(xeB => xeA) (e -jest elementem)
Zgodnie z tą definicją element zbioru w poprzedniku powinien być elementem
zbioru w następniku.
Zbiór pusty P jest podzbiorem zbioru (niepustego)A <=> dla każdego x( xeP => xeA)
Inaczej mówiąc,jeżeli x należy do P, to powinien należeć do A, Jeżeli x należy
do zbioru pustego, to x nie istnieje i ten nieistniejący x będzie elementem A
pod warunkiem, że A zawiera w sobie zbiór pusty, a tego mamy właśnie dowieść.
Według mnie wymagamy nie tylko prawdziwości implikacji z prawej strony
tożsamości, ale i prawdziwości poprzednika. - tak działają twierdzenia w
matematyce.
W teorii mnogości E.Zermelo (wg.A.Grzegorczyka) istnienie zbioru pustego wynika
z aksjomatu nieskończoności . Przy rozważaniu części wspólnej rodziny zbiorów
pada zdanie:”Jeżeli zbiory rodziny X nie maja wspólnych elementów, wówczas część
wspólna istnieje również, jest tylko zbiorem pustym” . Dowodu związanego z
istnieniem podzbioru pustego w każdym zbiorze niepustym nie znalazłem.

[Gość: Julka]

No nie. Nie tak działają twierdzenia w matematyce. Implikacja jest prawdziwa,
gdy poprzednik i następnik prawdziwy, poprzedni i następnik fałszywy, gdy
poprzednik fałszywy, następnik prawdziwy.
Implikaja jest fałszywa jedynie, gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik
fałszywy.
Według Ciebie implikacja nie ma sensu?

[Gość: Julka]

To rzeczywiście nie jest takie proste.
Poczytaj sobie tu pl.wikipedia.org/wiki/Wynikanie

[Gość: Zend]

Podajesz definicje implikacji. Twierdzenia w matematyce formułowane są w postaci
implikacji, ale ich dowód polega na tym,że z prawdziwości poprzednika wynika
prawdziwość następnika i prawdziwe implikacje typu "2*2=5 => pole trójkąta
wyraża się wzorem P=ah/2" nas nie interesują.
W rozważanej poprzednio implikacji x z poprzednika jest "elementem" zbioru
pustego , więc nie istnieje i o tym samym elemencie mówimy w następniku. Albo
nie mamy prawa mówić o elemencie zbioru pustego (x nie należy do dziedziny formy
zdaniowej "x jest elementem zbioru pustego"), bo zdanie nie ma sensu i
klasyfikacja - prawda-falsz - nie wchodzi w grę, albo z góry zakładamy,że zbiór
pusty jest podzbiorem zbioru A i dowód jest niepotrzebny. Krótko mówiąc, mam
zastrzeżenia do sformułowania "element zbioru pustego"- gdy skądinad wiemy,że
takich elementów nie ma. To tak jak x=1 w wyrażeniu 5/(x-1)

[ellipsis]

Gość portalu: Zend napisał(a):
> W rozważanej poprzednio implikacji x z poprzednika jest "elementem" zbioru
> pustego , więc nie istnieje
Z tezy (fałszywej!) ,,x jest elementem zbioru pustego nie możesz wnioskować, że
ten element nie istnieje. Rozważ podobny przykład - fałszywą tezę ,,-2/3 należy
do zbioru liczb naturalnych".
> Albo nie mamy prawa mówić o elemencie zbioru pustego
Nie mówimy o elemencie zbioru pustego, tylko o prawdziwości zdania ,,x należy
do zbioru pustego", czyli pytamy, czy między elementem x i zbiorem pustym
zachodzi relacja przynależności.
> (x nie należy do dziedziny formy
> zdaniowej "x jest elementem zbioru pustego"),
Fałsz - każde x należy do dziedziny powyższej formy zdaniowej.
> bo zdanie nie ma sensu
Błąd - to nie jest zdanie, tylko zawsze fałszywa forma zdaniowa. Czy Twoim
zdaniem forma zdaniowa ,,(x jest liczbą naturalną) i (x nie jest liczbą
naturalną)" - która także jest zawsze fałszywa - nie ma sensu?
> i klasyfikacja - prawda-falsz - nie wchodzi w grę,
Ależ wchodzi w grę, ta forma zdaniowa jest zawsze fałszywa!
> albo z góry zakładamy,że zbiór pusty jest podzbiorem zbioru A
Nie musimy tego zakładać, bo potrafimy to udowodnić!
> Krótko mówiąc, mam
> zastrzeżenia do sformułowania "element zbioru pustego"
Nikt nie pisze o elementach zbioru pustego. Mówimy tylko o tym, że dla każdego
_jak_najbardziej_istniejącego_ elementu x zdanie ,,x należy do zbioru pustego"
jest fałszywe...
> - gdy skądinad wiemy,że takich elementów nie ma.
Prawda. To jest właśnie definicja zbioru pustego.
> To tak jak x=1 w wyrażeniu 5/(x-1)
Gdybyś dokończył powyższe wyrażenie (np. pisząc ,,5/(x-1) = 8"), to sytuacja
byłaby podobna. Zdanie
,,5/(1-1) = 8"
jest fałszywe, bo lewa strona powyższej równości nie jest określona, nie może
zatem być równa liczbie 8.

[ellipsis]

Gość portalu: Zend napisał(a):
> Jeżeli x należy
> do zbioru pustego, to x nie istnieje (...)
Właśnie tu popełniasz błąd. Otóż x jest pewnym jak najbardziej istniejącym
elementem! Prześledźmy to raz jeszcze na konkretnych przykładach.
Załóżmy, że chcemy pokazać, że zbiór pusty P jest zawarty w zbiorze liczb
naturalnych N, czyli
(*) ,,dla każdego x, jeżeli x należy do P, to x należy do N".
Weźmy dla przykładu x=1. Wtedy poprzednik implikacji:
,,1 należy do P"
jest fałszywy, a następnik
,,1 należy do N"
jest prawdziwy. Zatem implikacja jest prawdziwa.
Rozważmy teraz np. x=-2/3. Wtedy poprzednik implikacji:
,,-2/3 należy do P"
jest fałszywy, tak samo jak następnik
,,-2/3 należy do N".
Wobec tego implikacja jest prawdziwa.
Oczywiście powyższe dwa konkretne przykłady nie rozstrzygają prawdziwości
dowodzonej tezy (*). Weźmy więc teraz, zgodnie z kwantyfikatorem w tezie (*),
_dowolne_ x. Wtedy poprzednik implikacji:
,,x należy do P"
jest fałszywy, natomiast nic nie potrafimy powiedzieć o prawdziwości bądź
fałszywości następnika:
,,x należy do N".
Mamy zatem dwie możliwości:
a) następnik jest prawdziwy - cała implikacja jest prawdziwa,
b) następnik jest fałszywy - cała implikacja jest prawdziwa.
Skoro dla dowolnego x implikacja w tezie (*) jest prawdziwa, to cała teza (*)
jest prawdziwa. To kończy dowód.
> W teorii mnogości E.Zermelo (wg.A.Grzegorczyka) (...)
Nie mam przy sobie tej książki, ale to nie może być jedyne miejsce, w którym
jest mowa o zbiorze pustym - zbiór pusty istnieje niezależnie od tego, czy
przyjmiemy prawdziwość aksjomatu nieskończoności, czy nie.
> Dowodu związanego z
> istnieniem podzbioru pustego w każdym zbiorze niepustym nie znalazłem.
Powtórzę: zbiór pusty istnieje tylko jeden, i jest on podzbiorem każdego
zbioru, także pustego. Jeżeli bowiem zbiory P i Q są puste, to na mocy tezy (*)
zachodzą zawierania
(P jest zawarte w Q) - bo P jest zbiorem pustym
oraz
(Q jest zawarte w P) - bo Q jest zbiorem pustym,
więc ostatecznie P=Q.

[ellipsis]

Nie. Przypomnę, że teza brzmi:
,,dla każdego x, jeżeli x należy do zbioru pustego, to x należy do zbioru A"
- zbiór A jest na tym etapie ustalony. Natomiast masz rację, że zbiór A także
jest dowolny, tj. prawdziwe jest zdanie
,,zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze A",
czyli
,,dla każdego zbioru A, zbiór pusty jest zawarty w zbiorze A"
lub inaczej
,,dla każdego zbioru A i każdego x, jeżeli x należy do zbioru pustego, to x
należy do zbioru A".

[Gość: Zend]

Tutaj widzę istotna różnicę między nami. Zbiór pusty dlatego nazwany jest
pustym(wg.min. A.Grzegorczyka),że nie zawiera żadnego elementu. Po to właśnie
wprowadzono to pojęcie. Powtarzam cytat"Jezeli zbiory ...nie maja wspólnych
elementów, wowczas ich część wspólna istnieje również, jest tylko zbiorem pustym."
Wypełnianie pustego zbioru wyimaginowanymi bytami prawdopodobnie jest możliwe,
ale w innym ujęciu teorii mnogości, niż w ujęciu E. Zermelo.Zostanę przy tym mi
znanym.
.

Aksjomatyka ZF

[ellipsis]

> Tutaj widzę istotna różnicę między nami. Zbiór pusty dlatego nazwany jest
> pustym(wg.min. A.Grzegorczyka),że nie zawiera żadnego elementu. Po to właśnie
> wprowadzono to pojęcie.
Spróbuj rozpisać formalnie zdanie
,,zbiór pusty nie zawiera żadnego elementu".
Otrzymasz:
,,zbiór pusty to taki zbiór O, że dla każdego x, x nie należy do zbioru O"
- gdzie widzisz różnicę?
> Wypełnianie pustego zbioru wyimaginowanymi bytami prawdopodobnie jest możliwe
??? O czym Ty piszesz? Jakie wyimaginowane byty?
> ale w innym ujęciu teorii mnogości, niż w ujęciu E. Zermelo.
> Zostanę przy tym mi znanym.
Zajrzałem na pierwszą lepszą stronę:
pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomaty_Zermelo-Fraenkela
(Nb. nie jest to klasyczna aksjomatyka ZF.) Czytamy tam w punkcie 2.:
,,* Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór, do którego nie należy żaden
element (zbiór pusty):
istnieje zbiór O taki, że dla każdego x, nieprawda, że x należy do O.
Istnieje jednak możliwość udowodnienia go jako twierdzenia wynikającego z
aksjomatu podzbiorów.
* Aksjomat podzbiorów (zwany również aksjomatem wyróżniania). Niech P będzie
jednoargumentowym predykatem. Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru A
istnieje zbiór B, do którego należą te i tylko te elementy zbioru A, dla których
prawdą jest P:
dla każdego zbioru A, istnieje zbiór B taki, że dla każdego C, C należy do
zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy P(C).
Za pomocą aksjomatu zbioru pustego oraz aksjomatu zastępowania można udowodnić
ten aksjomat dlatego jest on niekiedy pomijany na liście aksjomatów ZF i ZFC."
Chodziło mi o to, że właśnie aksjomat zbioru pustego - a nie aksjomat
nieskończoności - gwarantuje istnienie zbioru pustego. Także uwaga podana po tym
aksjomacie jest wielce trafna. Twierdzenie, o którym pisałeś:
,,każdy zbiór zawiera podzbiór pusty"
łatwo wynika z aksjomatu podzbiorów - wystarczy rozważyć predykat
jednoargumentowy P(x) = fałsz.

Poprawka do aksjomatu podzbiorów

[ellipsis]

Powinno być
,,dla każdego zbioru A, istnieje zbiór B taki, że dla każdego C, C należy do
zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy C należy do A i P(C)."

[Gość: Zend]

Wikipedię redagują m.in. amatorzy i nie ma pewności, że jest to wiedza
niepodważalna,wolę jednak tymczasem zaufać Grzegorczykowi. Rzeczywiście
" Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element
(zbiór pusty):
\exist \varnothing: \forall x: \lnot (x \in \varnothing)"
(tak Firefox przetłumaczył symbole) upoważnia Cię do traktowania zdania (z
elementem w zbiorze pustym) jako fałszywe, a co do którego mam wątpliwości.
Niezależnie od naszych racji, uczniom liceów jest wszystko jedno, jaką metodą
przyjęto istnienie podzbioru pustego w każdym zbiorze. Niech wiedzą,że przyjęto
i to im praktycznie wystarczy.Przemyślę jeszcze raz to zagadnienie.
Sam Grzegorczyk pisze:
"Pojęcia teorii mnogości sa tak ogólne,że intuicja ludzka nie jest w stanie
rozstrzygnąć zdecydowanie wielu kwestii pojawiajacych sie na jej polu. Stąd
pochodza liczne różnice w pogladach na sposób ujęcia tego działu matematyki"
Inicjator tego watku nie przewidywał zapewne,że wywoła taką dyskusję.

Chyba EOT...

[ellipsis]

Gość portalu: Zend napisał(a):
> Wikipedię redagują m.in. amatorzy i nie ma pewności, że jest to wiedza
> niepodważalna.
Nie mam pod ręką żadnego podręcznika, stąd ten link do Wikipedii. Nie mam
jednak najmniejszych wątpliwości, że akurat te przytoczone przeze mnie
wiadomości z tej strony są prawidłowe.
> Inicjator tego watku nie przewidywał zapewne,że wywoła taką dyskusję.
Też tak uważam. Zwłaszcza, że trzyma się od tej dyskusji z dala! ;)