Dodaj do ulubionych

ciekawe zadanie

IP: *.strong-pc.com 13.03.07, 16:52
Dla jakich wartości parametru a do zbioru rozwiązań nierówności x^2+(a+2)x-a < 0
należą tylko ujemne liczby?
Obserwuj wątek
        • ellipsis Zero nie może byc pierwiastkiem, więc... 13.03.07, 21:02
          iloraz c/a musi być dodatni! Zatem odpowiedzią jest przedział _otwarty_ (-4+2V3,0).
          PS. Traktując treść zadania zupełnie formalnie, nie możemy odrzucać przypadków
          *) Delta < 0 (bo zdanie ,,do zbioru pustego należą tylko liczby ujemne" jest
          prawdziwe)
          *) Delta = 0, -b/a <0 (bo zdanie ,,do zbioru jednoelementowego zawartego w
          (-oo,0) należą tylko liczby ujemne" jest prawdziwe)
          Dodatkowo otrzymalibyśmy zatem rozwiązania a e (-4-2V3,-4+2V3) (brak
          pierwiastków) oraz {-4+2V3} (ujemny pierwiastek podwójny)...
          • Gość: Joa Re: Zero nie może byc pierwiastkiem, więc... IP: 195.117.116.* 14.03.07, 00:49
            "iloraz c/a musi być dodatni!"
            Jezeli jeden z pierwiastkow jest równy zero, to c/a =0
            Nierówność ma być spełniona przez liczby ujemne, więc końcem przedziału
            może być 0. Sprawdź,że dla a=0 nierównosc przybiera postać x^2+2x<0 i spełniają
            ja tylko liczby ujemne
            "zdanie "do zbioru pustego należą tylko liczby ujemne" jest prawdziwe"
            Ciekawostka -pusty zbiór wypełniony liczbami ujemnymi i jednocześnie nie
            zawiera żadnego elementu.
            • ellipsis Fakt - to nie jest równanie, tylko nierówność... 14.03.07, 01:59
              Przywidzenie - moje uwagi dotyczyły równania, a zadanie dotyczy nierówności...
              :( Przepraszam za niesłuszną uwagę.
              Natomiast w drugiej kwestii nie masz racji.

              Gość portalu: Joa napisał(a):
              > Ciekawostka -pusty zbiór wypełniony liczbami ujemnymi i jednocześnie nie
              > zawiera żadnego elementu.
              W zdaniu
              (*) ,,do zbioru pustego należą tylko liczby ujemne"
              nie chodzi o wypełnianie zbioru pustego elementami, a jedynie o stwierdzenie,
              czy wszystkie elementy tego zbioru są ujemne. Zdanie (*) _jest_prawdziwe_ -
              któryż bowiem element zbioru pustego nie jest ujemny (zaprzeczeniem zdania (*)
              jest ,,istnieje element zbioru pustego, który nie jest ujemny")! Można tu dodać,
              że prawdziwe jest także następujące zdanie, pozornie sprzeczne ze zdaniem (*):
              ,,do zbioru pustego należą tylko liczby dodatnie"...
              Wobec tego poprawiając i modyfikując moją poprzednią wypowiedź: jeżeli
              traktujemy dosłownie wymagania zadania, to powinniśmy rozważać dwa przypadki:
              a) Delta > 0, b/a <0, c/a >= 0 (warunki podane przez Joa),
              b) Delta <= 0, a > 0.
              W przypadku a) rozwiązaniem jest przedział (-4+2V3,0>, a w przypadku b) -
              przedział <-4-2V3,-4+2V3>.
              • Gość: Julka Re: Fakt - to nie jest równanie, tylko nierówno IP: *.internetdsl.tpnet.pl 14.03.07, 10:15
                Dla jakich wartości parametru a do zbioru rozwiązań nierówności
                x^2+(a+2)x-a < 0 należą tylko ujemne liczby?
                Nie pasuje mi ten warunek b)Delta <= 0, a > 0. To a to oczywiście współczynnik
                przy kwadracie?
                Delta jest niedodatnia rzeczywiście dla a(parametr z zadania) z przedziału
                <-4-2V3,-4+2V3>.
                Weźmy a=-1 (parametr, należy do tego przedziału)
                Otrzymujemy nierówność x^2+x+1<0. Ta nierówność nie ma rozwiązania!!!





                • ellipsis A czy musi mieć? 14.03.07, 13:07
                  Gość portalu: Julka napisał(a):
                  > Otrzymujemy nierówność x^2+x+1<0. Ta nierówność nie ma rozwiązania!!!
                  A czy w zadaniu jest napisane, że musi mieć?
              • Gość: Joa Re: Fakt - to nie jest równanie, tylko nierówno IP: 195.117.116.* 14.03.07, 10:44
                Używamy wprawdzie zapisu x e 0/ (zbiór pusty) , ale jest to tylko konwencja , za
                pomocą której mówimy, że x nie istnieje. Nie sugerujmy rozwiązującemu zadanie z
                konkretnym poleceniem na potrzebę dywagacji , co by było, gdyby pytanie było
                inne.Wiem,ze równanie kwadratowe ma pierwiastki o tych samych znakach przy
                określonych warunkach i nie ma sensu mówić, że przy innych też są takie
                pierwiastki, tylko należą do zbioru pustego.Są zadania typu "przeprowadź
                dyskusję", ale to ostatnie do takich nie należało.
                • ellipsis Tu nie chodzi o zapis... 14.03.07, 13:06
                  Gość portalu: Joa napisał(a):
                  > Nie sugerujmy rozwiązującemu zadanie z konkretnym poleceniem na potrzebę
                  > dywagacji , co by było, gdyby pytanie było inne.
                  Ależ ja nie rozważam żadnego innego pytania! Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że
                  a=-1. Mamy pytanie:
                  ,,Czy do zbioru rozwiązań nierówności
                  (*) x^2 + x + 1 < 0
                  należą tylko liczby ujemne?"
                  Rozważmy najpierw pytanie:
                  ,,Czy istnieje rozwiązanie nierówności (*), które nie jest liczbą ujemną?"
                  - oczywiście NIE.
                  Pytanie z zadania jest zaprzeczeniem powyższego pytania, więc odpowiedź na nie
                  brzmi TAK - chyba nie ma co do tego wątpliwości. Natomiast wątpliwości są
                  związane z odpowiedzią na pytanie:
                  ,,Czy sformułowanie >>do zbioru rozwiązań nierówności (...) należą tylko liczby
                  ujemne<< implikuje, że ten zbiór rozwiązań jest niepusty?"
                  Zwykle zadania podobnego typu są sformułowane jednoznacznie, np.
                  ,,Dla jakich wartości parametru a równanie x^2 + (a+2) x - a = 0 ma dwa ujemne
                  pierwiastki?"
                  Nie wiem, jaka była intencja autora zadania. Podanie rozwiązania <-4-2V3,0>
                  może napotkać sprzeciw podobny do Twojego, ale nie można uznać go za błędne,
                  zwłaszcza jeżeli zostanie rozbite na sumę <-4-2V3,-4+2V3> u (-4+2V3,0> z
                  odpowiednim komentarzem. Z drugiej strony podane przez Ciebie rozwiązanie
                  (-4+2V3,0>, chociaż _formalnie_ traktując treść zadania jest błędne, zapewne
                  także zostanie uznane za prawidłowe...
                  • Gość: Joa Re: Tu nie chodzi o zapis... IP: 195.117.116.* 14.03.07, 14:29
                    Logika nie rozpatruje zdań pytających i nie ma sensu mówić,że jedno pytanie jest
                    zaprzeczeniem drugiego i stosować prawo wyłączonego środka. Możemy wprawdzie
                    mówić o zdaniach:
                    p - "zbiorem rozwiązań nierówności *) są tylko liczby ujemne"
                    ~p -"nie istnieje zbiór rozwiązań nierówności *)lub sa to tylko liczby ujemne"
                    Przy warunku D<0 - ~p jest zdaniem prawdziwym, więc p - fałszywym
                    PS. zdanie p jest koniunkcja zdań "Istnieje zbiór rozwiązań *)" i
                    "Zbiór rozwiązań *) zawiera tylko liczby ujemne" tylko ze względów
                    stylistycznych nastąpiło ich ściągniecie.
                        • ellipsis Chwyt? 14.03.07, 17:16
                          pam31 napisał:
                          > Elipsies przytoczył chwyt podobny do stosowanego w dowodach,że 2>3.

                          Dowody (fałszywej) nierówności 2>3 wykorzystują błędne wnioskowanie - oto
                          przykładowy ,,dowód" z moimi komentarzami w nawiasach (|...|):
                          ,,Mamy pokazać, że 2>3. Odejmijmy od obydwu stron 3 (|poprawne, ta akcja nie
                          wpływa na kierunek nierówności|). Otrzymamy -1>0. Pomnóżmy obie strony przez -1
                          (|poprawne - założyliśmy, że -1>0, a mnożenie przez liczbę dodatnią nie wpływa
                          na kierunek nierówności|). Otrzymamy 1>0. Jest to nierówność oczywiście
                          prawdziwa (|prawda|), co kończy dowód wyjściowej nierówności (|błędne
                          wnioskowanie - z prawdziwości zdania q i implikacji p=>q nie można wnioskować o
                          prawdziwości zdania p|)".
                          Czy mógłbyś podać więcej szczegółów na temat zastosowanego przeze mnie
                          ,,chwytu"? Czy Twoim zdaniem moje rozumowanie zawiera jakiś błąd? Czy mógłbyś go
                          wskazać?
                          • pam31 Re: Chwyt? 14.03.07, 20:41
                            ellipsis napisał:
                            > Czy mógłbyś podać więcej szczegółów na temat zastosowanego przeze mnie
                            > ,,chwytu"? Czy Twoim zdaniem moje rozumowanie zawiera jakiś błąd? Czy mógłbyś g
                            > o
                            > wskazać?
                            "Chwyt" polegał na postawieniu pytania , a następnie na rzekomej jego
                            "negacji", tak sformułowanej,żeby odpowiedź na nie była "Nie" co rzekomo
                            pociąga "Tak" na pierwsze pytanie. Joa ustawił zagadnienie prawidłowo, choć w
                            jego negacji zdania p zabrakło negacji drugiego członu alternatywy.
                            W każdym razie chwyt wart wykorzystania w podobnych sytuacjach. To mi się
                            skojarzyło z mnożeniem przez zero, choć może przesadziłem.
                    • ellipsis Re: Tu nie chodzi o zapis... 14.03.07, 17:16
                      Gość portalu: Joa napisał(a):
                      > Logika nie rozpatruje zdań pytających i nie ma sensu mówić,że jedno pytanie
                      > jest zaprzeczeniem drugiego i stosować prawo wyłączonego środka.

                      To prawda - logika ocenia _prawdziwość_ lub _fałszywość_ jedynie zdań
                      oznajmujących. Jednak pisząc innymi słowy, oznacza to stwierdzanie, czy
                      odpowiedź na pytanie ,,Czy p jest prawdą?" brzmi TAK, czy NIE. Odpowiednikiem
                      prawa wyłączonego środka jest wymaganie, aby dla wszelkich zdań p, odpowiedź na
                      dokładnie jedno spośród pytań ,,Czy p jest prawdą?" i ,,Czy ~p jest prawdą?"
                      była twierdząca. Zapewne moje sformułowanie było nieprecyzyjne, ale podane
                      przeze mnie pytania dotyczyły właśnie prawdziwości dwóch przeciwnych zdań.
                      Różnica między nami jest taka, że dla Ciebie zdaniem p jest, jak wynika z
                      podanej przez Ciebie postaci zdania ~p,
                      ,,zbiór Z rozwiązań *) jest niepusty i do Z należą tylko liczby ujemne"
                      (czyli ,,zbiór Z rozwiązań *) jest niepusty i zbiór Z jest zawarty w (-oo,0)"),
                      a jego zaprzeczeniem
                      ,,zbiór Z rozwiązań *) jest pusty lub zbiór Z zawiera liczby nieujemne"
                      (to nie jest cytat; należy pamiętać, że zbiór rozwiązań nierówności istnieje
                      zawsze! - najwyżej jest to zbiór pusty...), natomiast moim zdaniem, zdaniem p jest:
                      ,,każdy element zbioru Z rozwiązań *) jest liczbą ujemną",
                      (czyli ,,zbiór Z rozwiązań nierówności *) jest zawarty w (-oo,0)"),
                      a jego zaprzeczeniem
                      ,,istnieje liczba nieujemna, która jest rozwiązaniem nierówności *)"
                      (czyli ,,zbiór Z rozwiązań nierówności *) nie jest zawarty w (-oo,0)").
                      Podana przez Tomka z LO odpowiedź ze zbioru zadań sugeruje, że autor zadania
                      miał na myśli Twoją wersję zdania p. Chociaż nadal nie wiem, w jaki sposób z
                      treści zadania wywnioskować niepustość zbioru rozwiązań, przyjmuję, że to jest
                      właśnie poprawna odpowiedź do tego zadania.
                      PS. Trudno pisać o ,,ściągnięciu" dwóch zdań w jedno, jeżeli po ,,rozpisaniu"
                      otrzymujemy koniunkcję _dodatkowego_ zdania ,,zbiór Z rozwiązań *) jest
                      niepusty" i... zdania wyjściowego ,,zbiór Z zawiera tylko liczby ujemne". Ale to
                      tylko taka końcowa dygresja...
                      • Gość: Joa Re: Tu nie chodzi o zapis... IP: 195.117.116.* 14.03.07, 20:24
                        "należy pamiętać, że zbiór rozwiązań nierówności istnieje zawsze! - najwyżej
                        jest to zbiór pusty...),"
                        Według mnie należy pamiętać,ze istnienie pustego zbioru rozwiązań znaczy
                        dokładnie to,że rozwiazań nie ma, zgodnie z definicja zbioru pustego. Zdanie p
                        można sformułować następująco:
                        p - Istnieje niepusty zbiór rozwiązań *) i zbiór rozwiązań *) zawiera tylko
                        liczby ujemne.
                        ~p - istnieje pusty zbiór rozwiązań *)lub zbiór rozwiązań *9 nie zawiera tylko
                        liczb ujemnych (ewentualnie zdanie równoważne treściowo)
                        Dla D<0 pierwszy człon alternatywy zdania ~p jest prawdziwy, tym samym wartość
                        logiczna ~p jest 1, zaś zdania p - 0.
                        Jeśli sie z tym nie zgadzasz, w którym miejscu widzisz błąd w rozumowaniu.
                        • ellipsis Nie ma błędu w rozumowaniu... 15.03.07, 00:06
                          Po prostu rozważamy nieco odmienne zdania. Np. dla a=-1 Twoje zdanie jest
                          fałszywe, a moje - prawdziwe, stąd w Twojej interpretacji a jest ,,złe", w mojej
                          - ,,dobre"...
                          Ty interpretujesz pytanie postawione w zadaniu następująco (cytat):
                          ,,istnieje niepusty zbiór rozwiązań *) i zbiór rozwiązań *) zawiera tylko
                          liczby ujemne",
                          a ja (cytat):
                          ,,każdy element zbioru rozwiązań *) jest liczbą ujemną".
                          W Twojej interpretacji masz dodatkowe wymaganie, że ,,zbiór rozwiązań *) jest
                          niepusty", u mnie tego nie ma. Takiego założenia nie widzę także w treści
                          zadania, w którym stoi napisane:
                          ,,do zbioru rozwiązań *) należą tylko liczby ujemne".
                          Jednak nie tylko Ty, ale także autor zbioru zadań dodajecie takie założenie -
                          zapewne dlatego, że zwrot ten traktujecie jako ,,do zbioru rozwiązań *) należą
                          jakieś liczby oraz wszystkie te liczby są ujemne", a nie jako ,,do zbioru
                          rozwiązań *) nie należą żadne inne liczby prócz ujemnych". (Być może przyczyna
                          jest inna, być może autor nie chciał rozważać sprzecznej z intuicją - zdaniem
                          niektórych - prawdziwości zdania ,,każdy element zbioru pustego jest liczbą
                          ujemną", nie wiem.) To wszystko.
                          • Gość: Joa Re: Nie ma błędu w rozumowaniu... IP: 195.117.116.* 15.03.07, 00:39
                            >Po prostu rozważamy nieco odmienne zdania.
                            Odmienność ich jest w redakcji, a nie w sensie (jeśli idzie o zdanie wyjściowe).
                            W negacji tego zdania różnimy się istotnie
                            Jeżeli ktokolwiek mówi,ze "każdy element zbioru pustego jest liczba ujemną", to
                            dopuszcza istnienie elementów zbioru pustego,co jest sprzeczne z jego definicją,
                            jeśli zaś napisze"rozwiązanie ....należą do zbioru pustego", to w sposób
                            niebezpośredni, na podstawie przyjętego zwyczaju, informuje o nieistnieniu
                            omawianych obiektów, właśnie na podstawie tego,że nie może ich być w zbiorze
                            pustym.Subtelna różnica, a jednak istotna.
                            • ellipsis Zbiór pusty po raz kolejny... 15.03.07, 01:51
                              Gość portalu: Joa napisał(a):
                              > Jeżeli ktokolwiek mówi,ze "każdy element zbioru pustego jest liczba ujemną",
                              > to dopuszcza istnienie elementów zbioru pustego,co jest sprzeczne z jego
                              > definicją
                              Mylisz się... Podejdźmy formalnie do powyższego zdania. Rozważamy formułę
                              zdaniową, zależną od pewnego zbioru A:
                              ,,każdy element zbioru A jest liczbą ujemną",
                              czyli, poprawniej:
                              ,,dla każdego x, jeżeli x należy do zbioru A, to x jest liczbą ujemną",
                              czyli inaczej:
                              ,,dla każdego x zachodzi implikacja (jeżeli x należy do zbioru A, to x należy
                              do zbioru liczb ujemnych)".
                              Formuła ta ma sens dla każdego zbioru A. (Można ją zapisać prościej, stosując
                              relację zawierania: ,,A jest zawarte w zbiorze liczb ujemnych", ale nie będę
                              teraz z tego korzystać.) Formuła ta jest prawdziwa w szczególności dla zbioru
                              pustego!
                              Nie ma potrzeby wprowadzania elementów zbioru pustego - zgodnie z
                              kwantyfikatorem bierzemy dowolny element x i rozważamy występującą tam
                              implikację: jej poprzednik jest fałszywy, a jej następnik dla pewnych x jest
                              fałszywy, a dla innych prawdziwy. Cała implikacja jest zawsze prawdziwa, więc
                              zdanie jest prawdziwe.

                              > jeśli zaś napisze"rozwiązanie ....należą do zbioru pustego", to w sposób
                              > niebezpośredni, na podstawie przyjętego zwyczaju, informuje o nieistnieniu
                              > omawianych obiektów, właśnie na podstawie tego,że nie może ich być w zbiorze
                              > pustym.
                              To jest właśnie wspomniana przeze mnie w poprzednim poście sprzeczna z intuicją
                              prawdziwość zdania ,,każdy element zbioru pustego jest liczbą ujemną". Zdanie to
                              jest prawdziwe właśnie dlatego, że nie istnieje żaden element zbioru pustego!
                              Podobne zdanie to np.
                              ,,każdy królik biegający teraz po Księżycu waży 250 kg"
                              - także prawdziwe! Z tego zdania zdania bynajmniej nie wynika, że istnieją
                              króliki, które ważą 250 kg - bo teraz po Księżycu nie biegają żadne króliki, - a
                              nawet gdyby istniały, to nadal nie musiałyby biegać po Księżycu!... Podobnie w
                              zadaniu ze zdania
                              ,,każde rozwiązanie sprzecznej nierówności jest liczbą ujemną"
                              nie wynika, że jakaś liczba ujemna jest rozwiązaniem tej nierówności... Na
                              marginesie - napisane przez Ciebie zdanie ,,(wszystkie) rozwiązania ... należą
                              do zbioru pustego" (niewystępujące w zadaniu) oznacza, że zbiór rozwiązań ...
                              jest zawarty w zbiorze pustym - możemy stąd wywnioskować jedynie tyle, że zbiór
                              rozwiązań jest pusty, a nie, że zbiór pusty ma jakieś elementy...
                              PS. Podobną dyskusję na temat istnienia zbioru pustego możesz znaleźć w wątku
                              forum.gazeta.pl/forum/72,2.html?f=422&w=57535959&a=57535959

Popularne wątki

Nie pamiętasz hasła

lub ?

 

Nie masz jeszcze konta? Zarejestruj się

Nakarm Pajacyka