ciekawe zadanie

[Gość: Tomek z LO]

Dla jakich wartości parametru a do zbioru rozwiązań nierówności x^2+(a+2)x-a < 0
należą tylko ujemne liczby?

[Gość: Julka]

Wyszło mi, że tylko dla a=0. Zbiór rozwiązań dla a=0 to przedział (-2,0)

[Gość: Joa]

Zachodzi to dla a e(-4+2V3,0> Muszą zachodzić warunki D>0; -b/a<0 ; c/a >=0

[Gość: Julka]

zgadza się Joa. Pomyliłam się przy -a<2, napisałam dalej a>2 zamiast a>-2

[Gość: Tomek z LO]

Joa jesteś rewelacyjna :D
jak wpadłaś na to że Df ma być >0 ??? ja do teraz tego nie rozumiem :/

[Gość: Julka]

to nie jest Df tylko delta

Zero nie może byc pierwiastkiem, więc...

[ellipsis]

iloraz c/a musi być dodatni! Zatem odpowiedzią jest przedział _otwarty_ (-4+2V3,0).
PS. Traktując treść zadania zupełnie formalnie, nie możemy odrzucać przypadków
*) Delta < 0 (bo zdanie ,,do zbioru pustego należą tylko liczby ujemne" jest
prawdziwe)
*) Delta = 0, -b/a <0 (bo zdanie ,,do zbioru jednoelementowego zawartego w
(-oo,0) należą tylko liczby ujemne" jest prawdziwe)
Dodatkowo otrzymalibyśmy zatem rozwiązania a e (-4-2V3,-4+2V3) (brak
pierwiastków) oraz {-4+2V3} (ujemny pierwiastek podwójny)...

[Gość: Joa]

"iloraz c/a musi być dodatni!"
Jezeli jeden z pierwiastkow jest równy zero, to c/a =0
Nierówność ma być spełniona przez liczby ujemne, więc końcem przedziału
może być 0. Sprawdź,że dla a=0 nierównosc przybiera postać x^2+2x<0 i spełniają
ja tylko liczby ujemne
"zdanie "do zbioru pustego należą tylko liczby ujemne" jest prawdziwe"
Ciekawostka -pusty zbiór wypełniony liczbami ujemnymi i jednocześnie nie
zawiera żadnego elementu.

Fakt - to nie jest równanie, tylko nierówność...

[ellipsis]

Przywidzenie - moje uwagi dotyczyły równania, a zadanie dotyczy nierówności...
:( Przepraszam za niesłuszną uwagę.
Natomiast w drugiej kwestii nie masz racji.

Gość portalu: Joa napisał(a):
> Ciekawostka -pusty zbiór wypełniony liczbami ujemnymi i jednocześnie nie
> zawiera żadnego elementu.
W zdaniu
(*) ,,do zbioru pustego należą tylko liczby ujemne"
nie chodzi o wypełnianie zbioru pustego elementami, a jedynie o stwierdzenie,
czy wszystkie elementy tego zbioru są ujemne. Zdanie (*) _jest_prawdziwe_ -
któryż bowiem element zbioru pustego nie jest ujemny (zaprzeczeniem zdania (*)
jest ,,istnieje element zbioru pustego, który nie jest ujemny")! Można tu dodać,
że prawdziwe jest także następujące zdanie, pozornie sprzeczne ze zdaniem (*):
,,do zbioru pustego należą tylko liczby dodatnie"...
Wobec tego poprawiając i modyfikując moją poprzednią wypowiedź: jeżeli
traktujemy dosłownie wymagania zadania, to powinniśmy rozważać dwa przypadki:
a) Delta > 0, b/a <0, c/a >= 0 (warunki podane przez Joa),
b) Delta <= 0, a > 0.
W przypadku a) rozwiązaniem jest przedział (-4+2V3,0>, a w przypadku b) -
przedział <-4-2V3,-4+2V3>.

[Gość: Julka]

Dla jakich wartości parametru a do zbioru rozwiązań nierówności
x^2+(a+2)x-a < 0 należą tylko ujemne liczby?
Nie pasuje mi ten warunek b)Delta <= 0, a > 0. To a to oczywiście współczynnik
przy kwadracie?
Delta jest niedodatnia rzeczywiście dla a(parametr z zadania) z przedziału
<-4-2V3,-4+2V3>.
Weźmy a=-1 (parametr, należy do tego przedziału)
Otrzymujemy nierówność x^2+x+1<0. Ta nierówność nie ma rozwiązania!!!

A czy musi mieć?

[ellipsis]

Gość portalu: Julka napisał(a):
> Otrzymujemy nierówność x^2+x+1<0. Ta nierówność nie ma rozwiązania!!!
A czy w zadaniu jest napisane, że musi mieć?

[Gość: Joa]

Używamy wprawdzie zapisu x e 0/ (zbiór pusty) , ale jest to tylko konwencja , za
pomocą której mówimy, że x nie istnieje. Nie sugerujmy rozwiązującemu zadanie z
konkretnym poleceniem na potrzebę dywagacji , co by było, gdyby pytanie było
inne.Wiem,ze równanie kwadratowe ma pierwiastki o tych samych znakach przy
określonych warunkach i nie ma sensu mówić, że przy innych też są takie
pierwiastki, tylko należą do zbioru pustego.Są zadania typu "przeprowadź
dyskusję", ale to ostatnie do takich nie należało.

[Gość: Julka]

To jaka ostateczna odpowiedź? Według mnie
Do zbioru rozwiązań nierówności x^2+(a+2)x-a < 0
należą tylko ujemne liczby dla a e(-4+2V3, 0>

Tu nie chodzi o zapis...

[ellipsis]

Gość portalu: Joa napisał(a):
> Nie sugerujmy rozwiązującemu zadanie z konkretnym poleceniem na potrzebę
> dywagacji , co by było, gdyby pytanie było inne.
Ależ ja nie rozważam żadnego innego pytania! Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że
a=-1. Mamy pytanie:
,,Czy do zbioru rozwiązań nierówności
(*) x^2 + x + 1 < 0
należą tylko liczby ujemne?"
Rozważmy najpierw pytanie:
,,Czy istnieje rozwiązanie nierówności (*), które nie jest liczbą ujemną?"
- oczywiście NIE.
Pytanie z zadania jest zaprzeczeniem powyższego pytania, więc odpowiedź na nie
brzmi TAK - chyba nie ma co do tego wątpliwości. Natomiast wątpliwości są
związane z odpowiedzią na pytanie:
,,Czy sformułowanie >>do zbioru rozwiązań nierówności (...) należą tylko liczby
ujemne<< implikuje, że ten zbiór rozwiązań jest niepusty?"
Zwykle zadania podobnego typu są sformułowane jednoznacznie, np.
,,Dla jakich wartości parametru a równanie x^2 + (a+2) x - a = 0 ma dwa ujemne
pierwiastki?"
Nie wiem, jaka była intencja autora zadania. Podanie rozwiązania <-4-2V3,0>
może napotkać sprzeciw podobny do Twojego, ale nie można uznać go za błędne,
zwłaszcza jeżeli zostanie rozbite na sumę <-4-2V3,-4+2V3> u (-4+2V3,0> z
odpowiednim komentarzem. Z drugiej strony podane przez Ciebie rozwiązanie
(-4+2V3,0>, chociaż _formalnie_ traktując treść zadania jest błędne, zapewne
także zostanie uznane za prawidłowe...

[Gość: Joa]

Logika nie rozpatruje zdań pytających i nie ma sensu mówić,że jedno pytanie jest
zaprzeczeniem drugiego i stosować prawo wyłączonego środka. Możemy wprawdzie
mówić o zdaniach:
p - "zbiorem rozwiązań nierówności *) są tylko liczby ujemne"
~p -"nie istnieje zbiór rozwiązań nierówności *)lub sa to tylko liczby ujemne"
Przy warunku D<0 - ~p jest zdaniem prawdziwym, więc p - fałszywym
PS. zdanie p jest koniunkcja zdań "Istnieje zbiór rozwiązań *)" i
"Zbiór rozwiązań *) zawiera tylko liczby ujemne" tylko ze względów
stylistycznych nastąpiło ich ściągniecie.

[Gość: Tomek z LO]

Julka ma racje prawidłowa odpowiedź w zbiorze zadań to ae(2V3-4;0>
delta<0 x1+x2<0 x1*x2>0
dzieki wam za pomoc w zrozumieniu tego zadania

[pam31]

Elipsies przytoczył chwyt podobny do stosowanego w dowodach,że 2>3.W pierwszej
chwili trudno go uchwycić.Joa to dostrzegł(a) - dziękuję.

Chwyt?

[ellipsis]

pam31 napisał:
> Elipsies przytoczył chwyt podobny do stosowanego w dowodach,że 2>3.

Dowody (fałszywej) nierówności 2>3 wykorzystują błędne wnioskowanie - oto
przykładowy ,,dowód" z moimi komentarzami w nawiasach (|...|):
,,Mamy pokazać, że 2>3. Odejmijmy od obydwu stron 3 (|poprawne, ta akcja nie
wpływa na kierunek nierówności|). Otrzymamy -1>0. Pomnóżmy obie strony przez -1
(|poprawne - założyliśmy, że -1>0, a mnożenie przez liczbę dodatnią nie wpływa
na kierunek nierówności|). Otrzymamy 1>0. Jest to nierówność oczywiście
prawdziwa (|prawda|), co kończy dowód wyjściowej nierówności (|błędne
wnioskowanie - z prawdziwości zdania q i implikacji p=>q nie można wnioskować o
prawdziwości zdania p|)".
Czy mógłbyś podać więcej szczegółów na temat zastosowanego przeze mnie
,,chwytu"? Czy Twoim zdaniem moje rozumowanie zawiera jakiś błąd? Czy mógłbyś go
wskazać?

[pam31]

ellipsis napisał:
> Czy mógłbyś podać więcej szczegółów na temat zastosowanego przeze mnie
> ,,chwytu"? Czy Twoim zdaniem moje rozumowanie zawiera jakiś błąd? Czy mógłbyś g
> o
> wskazać?
"Chwyt" polegał na postawieniu pytania , a następnie na rzekomej jego
"negacji", tak sformułowanej,żeby odpowiedź na nie była "Nie" co rzekomo
pociąga "Tak" na pierwsze pytanie. Joa ustawił zagadnienie prawidłowo, choć w
jego negacji zdania p zabrakło negacji drugiego członu alternatywy.
W każdym razie chwyt wart wykorzystania w podobnych sytuacjach. To mi się
skojarzyło z mnożeniem przez zero, choć może przesadziłem.

[ellipsis]

Gość portalu: Joa napisał(a):
> Logika nie rozpatruje zdań pytających i nie ma sensu mówić,że jedno pytanie
> jest zaprzeczeniem drugiego i stosować prawo wyłączonego środka.

To prawda - logika ocenia _prawdziwość_ lub _fałszywość_ jedynie zdań
oznajmujących. Jednak pisząc innymi słowy, oznacza to stwierdzanie, czy
odpowiedź na pytanie ,,Czy p jest prawdą?" brzmi TAK, czy NIE. Odpowiednikiem
prawa wyłączonego środka jest wymaganie, aby dla wszelkich zdań p, odpowiedź na
dokładnie jedno spośród pytań ,,Czy p jest prawdą?" i ,,Czy ~p jest prawdą?"
była twierdząca. Zapewne moje sformułowanie było nieprecyzyjne, ale podane
przeze mnie pytania dotyczyły właśnie prawdziwości dwóch przeciwnych zdań.
Różnica między nami jest taka, że dla Ciebie zdaniem p jest, jak wynika z
podanej przez Ciebie postaci zdania ~p,
,,zbiór Z rozwiązań *) jest niepusty i do Z należą tylko liczby ujemne"
(czyli ,,zbiór Z rozwiązań *) jest niepusty i zbiór Z jest zawarty w (-oo,0)"),
a jego zaprzeczeniem
,,zbiór Z rozwiązań *) jest pusty lub zbiór Z zawiera liczby nieujemne"
(to nie jest cytat; należy pamiętać, że zbiór rozwiązań nierówności istnieje
zawsze! - najwyżej jest to zbiór pusty...), natomiast moim zdaniem, zdaniem p jest:
,,każdy element zbioru Z rozwiązań *) jest liczbą ujemną",
(czyli ,,zbiór Z rozwiązań nierówności *) jest zawarty w (-oo,0)"),
a jego zaprzeczeniem
,,istnieje liczba nieujemna, która jest rozwiązaniem nierówności *)"
(czyli ,,zbiór Z rozwiązań nierówności *) nie jest zawarty w (-oo,0)").
Podana przez Tomka z LO odpowiedź ze zbioru zadań sugeruje, że autor zadania
miał na myśli Twoją wersję zdania p. Chociaż nadal nie wiem, w jaki sposób z
treści zadania wywnioskować niepustość zbioru rozwiązań, przyjmuję, że to jest
właśnie poprawna odpowiedź do tego zadania.
PS. Trudno pisać o ,,ściągnięciu" dwóch zdań w jedno, jeżeli po ,,rozpisaniu"
otrzymujemy koniunkcję _dodatkowego_ zdania ,,zbiór Z rozwiązań *) jest
niepusty" i... zdania wyjściowego ,,zbiór Z zawiera tylko liczby ujemne". Ale to
tylko taka końcowa dygresja...

[Gość: Joa]

"należy pamiętać, że zbiór rozwiązań nierówności istnieje zawsze! - najwyżej
jest to zbiór pusty...),"
Według mnie należy pamiętać,ze istnienie pustego zbioru rozwiązań znaczy
dokładnie to,że rozwiazań nie ma, zgodnie z definicja zbioru pustego. Zdanie p
można sformułować następująco:
p - Istnieje niepusty zbiór rozwiązań *) i zbiór rozwiązań *) zawiera tylko
liczby ujemne.
~p - istnieje pusty zbiór rozwiązań *)lub zbiór rozwiązań *9 nie zawiera tylko
liczb ujemnych (ewentualnie zdanie równoważne treściowo)
Dla D<0 pierwszy człon alternatywy zdania ~p jest prawdziwy, tym samym wartość
logiczna ~p jest 1, zaś zdania p - 0.
Jeśli sie z tym nie zgadzasz, w którym miejscu widzisz błąd w rozumowaniu.

Nie ma błędu w rozumowaniu...

[ellipsis]

Po prostu rozważamy nieco odmienne zdania. Np. dla a=-1 Twoje zdanie jest
fałszywe, a moje - prawdziwe, stąd w Twojej interpretacji a jest ,,złe", w mojej
- ,,dobre"...
Ty interpretujesz pytanie postawione w zadaniu następująco (cytat):
,,istnieje niepusty zbiór rozwiązań *) i zbiór rozwiązań *) zawiera tylko
liczby ujemne",
a ja (cytat):
,,każdy element zbioru rozwiązań *) jest liczbą ujemną".
W Twojej interpretacji masz dodatkowe wymaganie, że ,,zbiór rozwiązań *) jest
niepusty", u mnie tego nie ma. Takiego założenia nie widzę także w treści
zadania, w którym stoi napisane:
,,do zbioru rozwiązań *) należą tylko liczby ujemne".
Jednak nie tylko Ty, ale także autor zbioru zadań dodajecie takie założenie -
zapewne dlatego, że zwrot ten traktujecie jako ,,do zbioru rozwiązań *) należą
jakieś liczby oraz wszystkie te liczby są ujemne", a nie jako ,,do zbioru
rozwiązań *) nie należą żadne inne liczby prócz ujemnych". (Być może przyczyna
jest inna, być może autor nie chciał rozważać sprzecznej z intuicją - zdaniem
niektórych - prawdziwości zdania ,,każdy element zbioru pustego jest liczbą
ujemną", nie wiem.) To wszystko.

[Gość: Joa]

>Po prostu rozważamy nieco odmienne zdania.
Odmienność ich jest w redakcji, a nie w sensie (jeśli idzie o zdanie wyjściowe).
W negacji tego zdania różnimy się istotnie
Jeżeli ktokolwiek mówi,ze "każdy element zbioru pustego jest liczba ujemną", to
dopuszcza istnienie elementów zbioru pustego,co jest sprzeczne z jego definicją,
jeśli zaś napisze"rozwiązanie ....należą do zbioru pustego", to w sposób
niebezpośredni, na podstawie przyjętego zwyczaju, informuje o nieistnieniu
omawianych obiektów, właśnie na podstawie tego,że nie może ich być w zbiorze
pustym.Subtelna różnica, a jednak istotna.

Zbiór pusty po raz kolejny...

[ellipsis]

Gość portalu: Joa napisał(a):
> Jeżeli ktokolwiek mówi,ze "każdy element zbioru pustego jest liczba ujemną",
> to dopuszcza istnienie elementów zbioru pustego,co jest sprzeczne z jego
> definicją
Mylisz się... Podejdźmy formalnie do powyższego zdania. Rozważamy formułę
zdaniową, zależną od pewnego zbioru A:
,,każdy element zbioru A jest liczbą ujemną",
czyli, poprawniej:
,,dla każdego x, jeżeli x należy do zbioru A, to x jest liczbą ujemną",
czyli inaczej:
,,dla każdego x zachodzi implikacja (jeżeli x należy do zbioru A, to x należy
do zbioru liczb ujemnych)".
Formuła ta ma sens dla każdego zbioru A. (Można ją zapisać prościej, stosując
relację zawierania: ,,A jest zawarte w zbiorze liczb ujemnych", ale nie będę
teraz z tego korzystać.) Formuła ta jest prawdziwa w szczególności dla zbioru
pustego!
Nie ma potrzeby wprowadzania elementów zbioru pustego - zgodnie z
kwantyfikatorem bierzemy dowolny element x i rozważamy występującą tam
implikację: jej poprzednik jest fałszywy, a jej następnik dla pewnych x jest
fałszywy, a dla innych prawdziwy. Cała implikacja jest zawsze prawdziwa, więc
zdanie jest prawdziwe.

> jeśli zaś napisze"rozwiązanie ....należą do zbioru pustego", to w sposób
> niebezpośredni, na podstawie przyjętego zwyczaju, informuje o nieistnieniu
> omawianych obiektów, właśnie na podstawie tego,że nie może ich być w zbiorze
> pustym.
To jest właśnie wspomniana przeze mnie w poprzednim poście sprzeczna z intuicją
prawdziwość zdania ,,każdy element zbioru pustego jest liczbą ujemną". Zdanie to
jest prawdziwe właśnie dlatego, że nie istnieje żaden element zbioru pustego!
Podobne zdanie to np.
,,każdy królik biegający teraz po Księżycu waży 250 kg"
- także prawdziwe! Z tego zdania zdania bynajmniej nie wynika, że istnieją
króliki, które ważą 250 kg - bo teraz po Księżycu nie biegają żadne króliki, - a
nawet gdyby istniały, to nadal nie musiałyby biegać po Księżycu!... Podobnie w
zadaniu ze zdania
,,każde rozwiązanie sprzecznej nierówności jest liczbą ujemną"
nie wynika, że jakaś liczba ujemna jest rozwiązaniem tej nierówności... Na
marginesie - napisane przez Ciebie zdanie ,,(wszystkie) rozwiązania ... należą
do zbioru pustego" (niewystępujące w zadaniu) oznacza, że zbiór rozwiązań ...
jest zawarty w zbiorze pustym - możemy stąd wywnioskować jedynie tyle, że zbiór
rozwiązań jest pusty, a nie, że zbiór pusty ma jakieś elementy...
PS. Podobną dyskusję na temat istnienia zbioru pustego możesz znaleźć w wątku
forum.gazeta.pl/forum/72,2.html?f=422&w=57535959&a=57535959