zadania...

[Gość: jacek]

1. Dany jest romb ABCD o boku a i kącie ostrym alfa. Z wierzchołka A kąta ostrego poprowadzono dwa jednakowej długości odcinki o końcach zawartych w bokach BC i CD.
Wyznaczyć długości tych odcinków oraz sinusy kątów, na jaki został podzielony kąt alfa wiedząc, że pole środkowego deltoidu jest równe połowie pola danego rombu.
2. Napisać równanie stycznej do krzywej
f(x) =
___x______ (kreska znak dzielenia)
x^2− 1
w punkcie x0 = 2. Wykazać, że obrazem tej stycznej w symetrii względem punktu (0, 0) jest prosta, która jest styczną do tej samej krzywej. Wyznaczyć odległość między tymi stycznymi.

3. Dane jest równanie
8*(sin alfa + 4)*x^2 − 8*(sin alfa + 1)*x + 1 = 0,
gdzie alfa ∈ <0, 2Pi>. Dla jakich wartości kąta alfa suma odwrotności pierwiastków tego równania jest równa co najmniej
8 *(cos alfa − (cos alfa)^(-1)+ 1).

[Gość: kolega]

1) AKCL jest uworzonym deltoidem i zachodzą związki |KL|=|BD|/2 i |DK|=a/2. Z
trójkata ABK wyznaczysz |KA| (z tw.kosinusów)i z trójkata KOA (O - środek KL)
funkcje polowyszykanego kąta.
2)Skorzystaj ze wzoru na styczna do wykresu funkcji f w punkcie o odcietej p:
y-f(p)=f'(p)*(x-p) - u Ciebie p=x0=2. w symetrii względem początku układu O(0,0)
obie współrzędne punktu zmieniają znak. Styczna ma równanie y=-5x/3 +4

[ellipsis]

Zad. 3.
Musimy sprawdzić, że:
a) równanie jest kwadratowe,
b) równanie ma dwa pierwiastki,
c) suma odwrotności pierwiastków spełnia odpowiednią nierówność.
Ad a). Sprawdzamy, czy
8*(sin alfa + 4) <> 0
- tak jest zawsze, bo sin alfa >= -1, skąd sin alfa + 4 >= 3 >0.
Ad b). Sprawdzamy, czy
Delta = [8*(sin alfa + 1)]^2 - 4 * [8*(sin alfa + 4)] * 1 > 0.
Po rozwiązaniu OISNP otrzymamy
pi/6 < alfa < 5pi/6.
Ad c). Korzystając ze wzorów Viete'a
1/x_1 + 1/x_2 = (x_1 + x_2) / (x_1 x_2) = - b/c.
Musimy zatem sprawdzić, kiedy
- [-8*(sin alfa + 1)] / 1 >= 8 *(cos alfa − (cos alfa)^(-1)+ 1).
Po rozwiązaniu OISNP otrzymamy
alfa e [0,pi/2) u [3pi/4,pi] u (3pi/2,7pi/4].

Na koniec musimy jeszcze wyznaczyć część wspólną rozwiązań z punktów b) i c).

OISNP = o ile się nie pomyliłem