rachunek prawd.

[syronaj]

bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadnia:
oblicz prawdopodobieństwo ze wśród 7350osob od 1017 do 1116 urodzilo sie w
ponedzilek
kompletnie nie mam pojęcia jak sie znrac za nie, sprawa gardłowa!

[Gość: bartek]

Z nierówności Czebyszewa obliczysz prawdopodobieństwo, że liczba poniedziałków
będzie sie róznic od ich najbardziej prawdopodobnej liczby o(1070) o 50(
zaokrąglona liczba odchyleń)) wartosc przeciętna=np=7350*1/7,
wariancja=V(npq)=V(6420/7) Szukasz P(|X-1070)|=<50)>=1-1/k^2 gdzie
k*V(6420/7)=50, stad masz k i P

[ellipsis]

____________________________________________________

Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego:
* n=7350 niezależnych prób,
* sukcesem jest urodzenie się badanej osoby w poniedziałek,
* prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p=1/7.
Mamy wyznaczyć P(1017 <= S_n <= 1116).
____________________________________________________

Sposób pierwszy (NIEZALECANY!).
Przypominamy, że dla każdego 0<=k<=n zachodzi
P(S_n = k) = (n po k) p^k (1-p)^(n-k).
Wobec tego
P(1017 <= S_n <= 1116) = P(S_n = 1017) + ... P(S_n = 1116) =
= (7350 po 1017) * 6^1017 / 7^7350 + ... + (7350 po 1116) * 6^1116 / 7^7350.
Zaleta tego sposobu rozwiązania: otrzymujemy dokładny wynik.
Wada tego sposobu rozwiązania: nie otrzymujemy żadnego wyniku, bo nie ma
praktycznej możliwości wyliczenia ani np. (7350 po 1017), ani 6^1017, ani
7^7350. Użycie do tego celu kalkulatora/komputera spowoduje powstanie wielu
błędów przybliżeń, wskutek czego trudno będzie oszacować, na ile dokładny jest
otrzymany wynik. (Przy użyciu arkusza calc otrzymałem wynik 0,887.)
____________________________________________________

Sposób drugi (zapewne oczekiwany).
Na mocy prawa wielkich liczb Moivre'a-Laplace'a możemy przyjąć, że rozkład
unormowanej zmiennej losowej liczby sukcesów (czyli zmiennej (S_n -
np)/V(np(1-p))) jest normalny z parametrami 0 i 1, tj.
P(a < (S_n - np)/V(np(1-p)) < b) =ok. Phi(b) - Phi(a).
Przekształcamy szukane prawdopodobieństwo:
P(1017 <= S_n <= 1116) =
= P((1017 - 7350/7)/V(7350*1/7*6/7) <= S_n <= (1116 - 7350/7)/V(7350*1/7*6/7)) =ok.
=ok. Phi((1116 - 7350/7)/V(7350*1/7*6/7)) - Phi ((1017 - 7350/7)/V(7350*1/7*6/7)) =
= Phi(2,2) - Phi(-1,1) = Phi(2,2) +(1 - Phi(1,1)).
Wartości funkcji Phi (dystrybuanty rozkładu normalnego o parametrach
odczytujemy z tablic. Otrzymamy ostatecznie
P(1017 <= S_n <= 1116) =ok. 0,98610 - (1 - 0,86433) = 0,85043.
Pozostaje pytanie o dokładność oszacowania. Otóż z odpowiedniego twierdzenia
oszacowanie to jest obarczone błędem rzędu 1/Vn, czyli w naszym przypadku ok. 0,012.
Zaleta tego sposobu rozwiązania: obliczenia są nieskomplikowane.
Wady tego sposobu rozwiązania:
* otrzymujemy jedynie przybliżony wynik,
* do wyliczeń potrzebne są nam tablice.
____________________________________________________

PS. Nie polecam zastosowania proponowanej przez bartek nierówności Czebyszewa -
przedział [1017,1116] nie jest symetryczny względem najbardziej prawdopodobnej
liczby sukcesów np=1050, w związku z czym możemy jedynie oszacować
P(1017 <= S_n <= 1116) = P(-33 <= S_n - np <= 66) >=
>= P(-33 <= S_n - np <= 33) = P(|S_n - np| <= 33) =
= 1 - P(|S_n - np| > 33) >= 1 - np(1-p)/33^2 =ok. 0,174
- przyznasz, że to kiepskie oszacowanie... :( Na marginesie - dla tego samego
przedziału (tj. dla 1017 <= S_n <= 1083) z twierdzenia Moivre'a-Laplace'a
otrzymujemy
P(1017 <= S_n <= 1083) =ok. Phi(1,1) - Phi(-1,1) =ok. 0,72866
z dokładnością do 0,12, a więc znacznie lepsze oszacowanie. Dlatego właśnie
nierówność Czebyszewa jest rzadko stosowana.
____________________________________________________

[Gość: syronaj]

dzięki wielkie!!!!