Zadania:

[Gość: Basia]

Zad1
Z wierzchołka kwadratu o boku długości 10 narysowano okrąg tak, że punkty
przecięcia okręgu z kwadratem oraz środek tego okręgu utworzyły trójkąt
równoboczny. Znajdź długość promienia tego okręgu.

odp: r= 20*sqrt(2-sqrt3) ( nie wiem dlaczego ale mi wychodzi ciągle że

r=10*(sqrt6-sqrt2)

Zad2
Jaką największą objętość ma walec wpisany w kulę o średnicy długości 12cm?
odp: v=96*Pi*sqrt3

[ellipsis]

Zad. 1.
Niech A, B, C i D będą wierzchołkami kwadratu. Z punktu A rysujemy okrąg o promieniu r. Niech P i Q będą punktami przecięcia tego okręgu z _brzegiem_ naszego kwadratu. Z symetrii konstrukcji wynika, że trójkąt APQ jest prostokątny (bo |AP|=|AQ|).
Oczywiście r jest niewiększe niż długość przekątnej kwadratu, czyli
r < 10V2.
Gdyby r <= 10, to trójkąt APQ byłby prostokątny. Zatem
r > 10.
Wtedy punkt P leży na boku BC, a punkt Q na boku CD.
Obliczamy długość odcinka PQ. Z twierdzenia Pitagorasa
|PC| = 10 - |BP| = 10 - V(r^2 - 10^2),
wobec czego
|PQ| = |PC| V2 = (10 - V(r^2 - 10^2))V2.
Skoro trójkąt APQ jest równoboczny, to
r = (10 - V(r^2 - 10^2))V2.
Rozwiązując to równanie (uwzględniając, że 10<r<10V2) otrzymamy
r = V(800-400V3) = 20 V(2-V3),
zgodnie z podaną przez Basię odpowiedzią.

Zad. 2.
Oznaczmy literą h wysokość walca, a literą r promień jego podstawy. Przekrojem kuli z wpisanym walcem jest koło z wpisanym prostokątem. Z twierdzenia Pitagorasa
(*) (2r)^2 + h^2 = 12^2.
Przypomnijmy wzór na objętość walca:
(**) V = pi r^2 h.
Wyznaczając z (*) r^2 i wstawiając do (**) otrzymamy
(***) V = pi * ... * h.
Wyliczamy pochodną i przyrównujemy ją do zera, pamiętając, że h>0. Otrzymamy wartość
h = ...
Wstawiamy tę wartość do (***) otrzymując odpowiedź
V_max = 96 pi V3.

[Gość: kolega]

1)W kwadracie ABCD (o środku O)otrzymany trójkat to KLO, gdzie K i L należą
odpowiednio do boków AD i AB. Mogą zachodzić dwa przypadki, środek okręgu jest
a)w p A; b) w p.C
W przypadku a) r=AK; w b)R=CK W obu przypadkach |OK|=|OL|=|KL|=r*sqrt2 i
łatwy r do wyliczenia z tw. Pitagorasa. podobnie R wyznaczysz z LBC znając już
r. Niestety, moje wyniki różnią sie od Twoich.
V=pi*r^2*h h i r sa związane zależnością r^2 +(h/2)^2=36 znajdujesz wzór
V(h)=pi*[36h-(h^3) i maksimum dla h=16sqrt3.

[Gość: kolega]

Zamiast srodek okregu odczytalem(/) srodek kwadratu - stąd te różnice. Przy
okazji masz ciekawe zadanie

[Gość: Basia]

Dziękuje:)