geometria analityczna

IP: *.chello.pl 19.02.07, 23:55
kolejne zadanko ktorego nie potrafie pokonac:
Dla jakich wartosci parametru m równanie x^2+y^2-2mx-m^2+2m=0 opisuje okrąg
styczny do prostej x=4

prosze o wytłumaczenie schematu postepowania w takim wypadku
Z góry THX
    • Gość: Julka Re: geometria analityczna IP: *.internetdsl.tpnet.pl 20.02.07, 00:25
      Trzeba rozwiązać układ równań. Podstaw to x=4 do równania okręgu. Otrzymasz
      równanie kwadratowe z niewiadomą y. Aby prosta miała jeden punkt wspólny z
      okręgiem, musi być spełniony warunek delta=0
    • ellipsis Re: geometria analityczna 20.02.07, 00:43
      Schemat rozwiązywania zadań typu ,,Dla jakich wartości parametru m równanie
      (1...) opisuje okrąg styczny do prostej (2...).
      Okrąg jest styczny do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy ma z nią dokładnie jeden
      punkt wspólny. Rozwiązujemy układ równań:
      x^2 + y^2 - 2mx - m^2 + 2m = 0
      x = 4
      a) Podstawiamy równość x=4 do pierwszego równania (w ogólniejszym przypadku
      wyznaczylibyśmy y lub x z równania (2...), aby podstawić do równania (1...)).
      Otrzymujemy równanie drugiego stopnia (w przypadku ogólnym musimy ewentualnie
      dołożyć odpowiednie założenie o parametrze, aby to równanie było drugiego stopnia):
      16 + y^2 - 8m - m^2 + 2m = 0,
      czyli
      y^2 - m^2 - 6m + 16 = 0.
      (Współczynnik przy y^2 jest równy 1, a więc jest różny 0. Żadne założenie o m
      nie jest w tym momencie potrzebne.)
      b) Równanie to ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, a więc jego wyróżnik musi
      być równy 0 (tak postępujemy w przypadku ogólnym; w naszym zadaniu współczynnik
      przy y jest równy 0, wobec czego sprawdzamy jedynie, czy wyraz wolny także jest
      równy 0):
      -m^2 - 6m + 16 = 0.
      c) Rozwiązujemy powyższe równanie względem m. W naszym zadaniu otrzymujemy
      m = -8 lub m = 2.
      d) Na zakończenie sprawdzamy, czy dla wyznaczonych wartości parametru równanie
      (1...) opisuje okrąg (wiemy, że to równanie nie jest sprzeczne, ale
      ,,przypadkiem" mogłoby opisywać pojedynczy punkt, tj. być postaci podobnej do
      x^2 + y^2 = 0):
      d1) dla m = -8:
      x^2 + y^2 + 16 x - 64 - 16 = 0
      (x+8)^2 + y^2 = 12^2
      - okrąg o środku w punkcie (-8,0) i promieniu 12;
      d1) dla m = 2:
      x^2 + y^2 - 4x - 4 + 4 = 0
      (x-2)^2 + y^2 = 2^2
      - okrąg o środku w punkcie (2,0) i promieniu 2.
      e) Piszemy odpowiedź. :)
      • Gość: Julka Jeżeli chodzi o sprawdzenie IP: *.internetdsl.tpnet.pl 20.02.07, 00:55
        to chyba krócej, sprawdzić warunek a^2+b^2-c>0, gdzie a, b, c współczynniki w
        równwniu okręgu.
        • ellipsis Re: Jeżeli chodzi o sprawdzenie 20.02.07, 12:15
          To kwestia wyboru - ja wolę przekształcić równanie opisujące okrąg do postaci
          (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2
          (co np. pozwala łatwo sporządzić rysunek) zamiast pamiętać podany przez Ciebie
          wzór, w którym - o czym nie wolno zapomnieć - a i b to _połowy_ współczynników
          odpowiednio przy x i y, _pod warunkiem_, że współczynniki przy x^2 i y^2 są równe 1.
          • Gość: Julka Re: Jeżeli chodzi o sprawdzenie IP: *.internetdsl.tpnet.pl 20.02.07, 12:22
            No jasne. (a,b) współrzędne środka okręgu o równaniu x^2+y^2+2ax+2by+c=0.
            a^2+b^2-c to pierwistek z promienia tego okręgu.
            Dobrze, ze jesteś i wyłapujesz błędy :)
            • Gość: Julka Znowu błąd IP: *.internetdsl.tpnet.pl 20.02.07, 12:24
              Oczywiście x^2+y^2-2ax-2by+c=0
            • ellipsis Nie, żebym się czepiał, ale... ;) 20.02.07, 13:44
              a^2+b^2-c to _kwadrat_ promienia tego okręgu....
              • Gość: Julka Re: Nie, żebym się czepiał, ale... ;) IP: *.internetdsl.tpnet.pl 20.02.07, 13:48
                No jasne. Miałam na myśli r= pierwiastek z tego, a wyszło co innego
    • Gość: gosc Re: geometria analityczna IP: *.chello.pl 20.02.07, 15:13
      Dzieki za szczegołowe informacje!! własnie zrobilem ten przyklad i wszystko jest
      ok!!
Inne wątki na temat:
Pełna wersja