ciag

[Gość: matthew]

Dane jest kolo o promieniu r. Ciag nieskonczony(pn)tworzymy nastepujaco: p1 -
oznacza pole trojkata rownobocznego wpisanego w kolo, p2 - pole szesciokata
foremnego wpisanego w kolo, p3 - pole dwunastokata foremnego wpisanego w
kolo. Kazdy nastepny wyraz tego ciagu oznacza pole takiego wielokata
foremnego wpisanego w kolo, ktorego liczba bokow jest dwa razy wieksza od
liczby bokow wielokata poprzedniego. Wykaz, ze ciag (pn) jest rosnacy.

[Gość: Joa]

P_1=3/2r^2 sin(2pi/3) - 3 trójkąty równoramienne o ramieniu r i o wspólnym
wierzchołku w środku koła Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy pi/3 =p i 3/2*r^2=t
P_2=2t sin(p/2); P_3=2^2 *tsin(p/4);P_4=2^3 *tsin(p/2^3)
P_n =2^(n-1) *tsin(p/2^(n-1) * *sin[p/2^(n-1))] Zbadajmy róznicę
P_(n+1) -P_(n+2)=2^n *tsin(p/2^n)-2^(n-1) *tsin[p/2^(n-1)]=
=2^(n-1) *t[2sin(p/2^n)-sin(p/2^(n-1)=2^(n-1) 8t[2sin(p/2^n) -sin(2p/2^n)]=
=2^(n-1) *t[2sin(p/2^n_-2sin(p/2^n)*cos(p/2^n)]=
2^(n-1) *t*2sin(p/2^n)*[1-cos(p/2^n)] kazdy z czterech
czynnikow(rozdzielonych(*)jest dodatni, a więc ciag jest rosnacy(do granicy pi*r^20

[Gość: Bartek]

Dla Ciebie pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r, to
P_2=2tsin(p/2)=2*(3/2)*r^2*sin(pi/6)=3*r^2*(1/2)=(3/2)*r^2
a przecież pole sześciokąta foremnego o boku r jest równe
P_2=6*(1/2)*r^2*sin(pi/3)=3*r^2*(V3/2)

[Gość: Joa]

Jezeli pi/3 =p i 3/2*r^2=t, to P_2=2tsin(p/2)=2*3/2*r^2*sin(pi/6)=3r^2 sin
(pi/6) Masz rację - powinno być p=2pi/3 =120stopni -(wielkość dla P_1).
Niezależnie od tego dowód przebiega identycznie. Musze przyznać,ze śledzisz
rozwiazanie uważnie.

Można prościej...

[ellipsis]

Zauważ, że wielomian #(n+1) zawiera oprócz wielokąta #n także n trójkątów
rozwartokątnych. Zatem p_(n_1) > p_n. To kończy dowód. :)

[Gość: Joa]

Jedyna korzysc z mojego dowodu,że nie należy stosować schematów, choc jest to
sprawdzian uwagi w pisaniu bez edytora.