limes

[Gość: maksik]

& = alfa

Niech a należy do (-pi/2; pi/2). Obliczyć lim[n->+niesk.] (1 + 2sin& + 3sin^2&
+ ... + n*sin^(n-1)&)

takie same z cosniusem pokombinuj a wyjdzie

[jawamustang]

oznacz cos a=c, 0<|c|<1 ( c=0=>s=1)
S(n) =1+2c+3c^2+...+(n-1)c^(n-2)+nc^(n-1)|(-c) [mnożysz obie strony przez -c]
-cS(n)=-c-2c^2-3c^3-....-(n-1)c^(n-1)-nc^n
teraz dodajesz stronami:
(1-c)S(n) =1+c+c^2+c^3+...+c(n-2)+c^(n-1)-nc^n
wszystkie wyrazy oprócz ostatniego tworzą sumę wyrazów ciagu geometrycznego, czyli
(1-c)S(n)=(1-c^n)/(1-c)-nc^n <=> S(n)=(1-c^n)/(1-c)^2-nc^n/(1-c)
n->oo =>(Sn) -> 1/(1-c)^2