Paradoks w teorii gier?

[Gość: AS]

Wyobraź sobie, że masz stoisko np. na jakimś odpuście, jarmarku, festynie i oferujesz ludziom następującą grę. Gracz za wejście do gry płaci x zł, a Ty zaczynasz rzucać monetą. Jeśli wypadnie reszka – z przykrością mówisz „Do widzenia” i gra się kończy. Jeśli wypadnie orzeł – gra się toczy dalej, ale gracz już wygrał 1zł. Dalej, jeśli w drugim rzucie znów wypadnie orzeł – gracz wygrywa 2zł. Dalej, jeśli znów wypadł mu orzeł to wygrywa 4zł itd. Teraz, jeśli np. wypadnie mu (przy czwartym kolejnym rzucie) reszka, to dostaje te swoje wygrane 4 zł i gra się kończy.

Pytanie:
Ile powinien wynosić x, aby gra była sprawiedliwa?
(Sprawiedliwa to znaczy, żeby Twoje zyski były równe zero, lub minimalne)

Spostrzeżenie:
Wcale nie jest to tak proste zadanie, jak się może z początku wydawać. ;p

Do tej pory udało mi się wyprowadzić taki wzór X = (log2(n) + 1) / 4.
Gdzie:
x = szukana cena za wejście do gry
n = liczba wszystkich gier, jakie przeprowadzisz

Jak n dązy do niesk. to x takze, ale to przeciez nierealne. Nawet cena gry powiedzmy 1000zł wygląda kosmicznie i nikt na pewno nie zagra, a jednocześnie nigdy nie mamy 100% pewności, że ni przyjdzie klient co rzuci 12 razy pod rzad orła i juz bedziemy 2^12 = 1024zł w plecy (szansa na to oczywiscie 1/2^12). Trapi mnie ten problem już pare tygodni, w sumie wydaje sie prosty, ale w praktyce...

Może ktoś z Państwa wskaże w końcu sensownego x'a? :)

Bo to niepraktyczna i nieżyciowa nauka

[seth.destructor]

Musisz wprowadzić dodatkowe parametry:)


Nawet cena gry powi
> edzmy 1000zł wygląda kosmicznie i nikt na pewno nie zagra, a
jednocześnie nigdy
> nie mamy 100% pewności, że ni przyjdzie klient co rzuci 12 razy
pod rzad orła
> i juz bedziemy 2^12 = 1024zł w plecy

[Gość: AS]

No spoko, tylko jakie? Mam taką hipotezę, że ile tych parametrów bym nie wprowadził, to tego jednego praktycznego x i tak nie da się wyznaczyc...

[seth.destructor]

Wygrana powinna być określona w stosunku do ceny, a nie arbitralnie
1zł. Nikt ci nie zagra w grę, w której cena wynosi 5zł, a wygrana
1zł...

[Gość: AS]

> Wygrana powinna być określona w stosunku do ceny, a nie arbitralnie 1zł.

Chyba nie zrozumiałeś. Wygrywasz 1zł jak trafisz orła tylko raz. Jak rzucisz orła 2 razy pod rząd to wygrywasz 2zł. Jak 3 razy, to 4 zł. Itd. generalnie jak rzucisz n razy orła pod rząd a w n+1 rzucie reszkę, to wygrywasz 2^n-1.

> Nikt ci nie zagra w grę, w której cena wynosi 5zł

Ja tam chętnie zagram... :)

[belkor]

Takie problemy rozwiązuje się obliczając tzw. 'wartość oczekiwaną' wygranej.
Jest to liczba, do której z bardzo dużym prawdopodobieństwem dążyć będzie
średnia wygrana w zależności od ilości gier. Oblicza się ją następująco:
obliczasz wszystkie możliwe iloczyny:
wartość wygranej * prawdopodobieństwo wygranej
i dodajesz je do siebie.
W Twoim przypadku:
prawdopodobieństwo, że wygrasz 0 wynosi 1/2
prawdopodobieństwo, że wygrasz 1 wynosi 1/4
prawdopodobieństwo, że wygrasz 2 wynosi 1/8
...
Wartość oczekiwana wygranej wynosi:
0*1/2+1*1/4+2*1/8+4*1/16+... = 0+1/4+1/4+1/4+... = nieskończoność
Tak więc, statystycznie rzecz biorąc, opłaca się postawić dowolną kwotę aby
zagrać w taką grę. Nawet jeśli wejście będzie kosztowało 1000 PLN, to jeśli ktoś
rozegra bardzo dużo gier, z dużym prawdopodobieństwem wyjdzie na tym na plus.