Bryły

[Gość: pytający]

Zadanie jest następujące:
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny o
przeciwprostokątnej mającej długość a pierwiastków z 2 przez 2. Krawędź boczna
ostrosłupa wychodząca z wierzchołka kąta prostego podstawy ma długość a i jest
prostopadła do podstawy ostrosłupa. Oblicz promień kuli wpisanej w ostrosłup.
Wyszedł mi wynik:
r=1/4*a(2-pierwiastek z 2)
Pytanie czy wynik jest prawidłowy?

TAK

[ellipsis]

Nie -pomyłka.

[Gość: Joa]

Nie! Przy Twoich danych ramię trójkąta w podstawie ma długość a/2. Powierzchnia
całkowita bryły jest a^2 [(a^2)/8 +2*(a^2)/4+ 3/8, objętość zaś - (a^3)/24.
Ze związku między powierzchnią całkowitą, objętością wielościanu i promieniem
kuli wpisanej w ten wielościan[V=P*r/3] wynika 1/3r*a^2 =1/24 *a^3 <=>r=a/8.
Metoda ta jest dopuszczalna, o ile wiemy,że w wielościan da się wpisać kulę

Joa ma rację!

[ellipsis]

Joa ma rację - r=1/4*a(2-pierwiastek z 2) to promień koła wpisanego w trójkąt,
który powstaje przez przecięcie czworościanu płaszczyzną zawierającą jego
wysokość i wysokość podstawy wyprowadzoną z wierzchołka kąta prostego. Ten
promień jest oczywiście większy, niż promień kuli wpisanej w czworościan...