Przekątne prostopadłościanu

[Gość: bartek]

W prostopadłościanie o wymiarach a x b x c poprowadzono na sąsiednich ścianach
o wspólnej krawędzi a po jednej przekątnej, z których każda ma wspólny koniec
z końcem krawędzi a.(Przekatne te są skosne). Oblicz odległość miedzy tymi
przekątnymi.
Bardzo proszę o podpowiedź, gdzie umiejscowić odcinek mający odpowiednia
długość?

[Gość: Joa]

Przesuń równolegle kazda z przekatnych na przeciwległą ścianę. Teraz przekątne o
wspólnym końcu wyznaczają dwie płaszczyzny przekroju równoległe. Odległość
między nimi jest taka, jak odległość wierzchołka prostopadłościanu od takiej
płaszczyzny. Powinieneś otrzymac wynik d = abc/V[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]gdzie
V[w]- pierwiastek z wyrażenia w nawiasie.

[Gość: bartek]

Skąd wiesz,ze odległość tych płaszczyzn jest taka jak odległośćć wierzchołka od
jednej płaszczyzny?

[Gość: i]

Ja tego tak nie widzę,
mi się wydaje, ze trzeba dorysować prostopadłościany obok danego,
przesunięcie danego prostopadłościanu o b,
i przesunięcie danego prostopadłościanu o c.
Nastęnie narysować 2 prostokąty w przestrzeni równoległe do siebie - tzn
płąszczyzny wyznaczone przez te prostokąty będą równoległe do siebie ibędą
zawierać te początkowo rozważane przekątne.

[Gość: Joa]

Musisz otrzymać dwie płaszczyzny równoległe zawierające te skośne. Można to
zrobić na kilka sposobów, ale nie widze tego w prostokątach, a ewentualnie w
równoległobokach. Odetnij dwa przeciwległe wierzchołki prostopadłościanu
płaszczyznami wyznaczonymi przez sąsiednie wierzchołki - to Ci powinno pomóc.

Dlaczego nie inaczej?

[ellipsis]

Zamiast łamać sobie głowę nad poszukiwaniem odcinka prostopadłego do tych dwóch
przekątnych, łatwiej rozwiązać to zadanie analitycznie.
Wprowadźmy układ kartezjański tak, aby nasz prostopadłościan miał początek
układu za jeden wierzchołek, a przeciwległy wierzchołek miał współrzędne
(a,b,c). Wtedy pierwsza przekątna łączy np. punkty (0,0,c) i (a,0,0), a druga -
punkty (0,0,0) i (0,b,c), a więc pierwsza przekątna jest równoległa do wektora
[a,0,-c], a druga - do wektora [0,b,c].
Rozważmy punkt P należący do prostej k zawierającej pierwszą przekątną, którego
pierwsza współrzędna jest równa x. Wtedy
P = (x, 0, c-x*c/a).
Podobnie rozważmy punkt Q należący do prostej l zawierającej drugą przekątną,
którego druga współrzędna jest równa y. Wtedy
Q = (0, y, y*c/b).
Szukamy punktów P i Q takich, że wektor
PQ = [-x, y, y*c/b+x*c/a-c]
jest prostopadły zarówno do prostej k, jak i do prostej l. Wobec tego
odpowiednie iloczyny skalarne są równe 0:
[-x, y, y*c/b+x*c/a-c] * [a, 0, -c] = -ax - y*c^2/b - x*c^2/a + c^2 = 0,
[-x, y, y*c/b+x*c/a-c] * [0, b, c] = by + y*c^2/b + x*c^2/a - c^2 = 0.
Dodając stronami otrzymamy
by - ax = 0,
skąd
y = x*a/b.
Podstawiając to do pierwszego równania otrzymamy
-ax - x*ac^2/b^2 - x*c^2/a + c^2 = 0
i ostatecznie
x = c^2 /(a+ac^2/b^2+c^2/a) = ab^2c^2/(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2).
Wobec tego
y = a^2bc^2/(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2),
a wektor PQ ma współrzędne
PQ = [-ab^2c^2/(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2), a^2bc^2/(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2),
a^2b^2c/(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)] =
= abc/(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) * [-bc, ac, ab].
Odległość między naszymi przekątnymi jest równa długości wektora PQ, czyli
abc/(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) * V((-bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2) =
= abc/(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) * V(b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2) =
= abc/V(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2),
zgodnie z wynikiem uzyskanym przez Joa.

[Gość: Joa]

W prostopadłościanie ABCDA'B'C'D' Płaszczyzny trójkątów AB'D" i BC'D sa
równoległe i ostrosłupy AB'D'A' oraz AB'D'C', o wspólnej podstawie AB'D', maja
jednakowe objętości. Wysokość pierwszego z nich na wymieniona podstawę jest
szukaną odległością , taką jak wysokość drugiego z wymienionuch ostrosłupów
opuszczona z wierzchołka C. Ponieważ znamy krawędzie pierwszego ostrosłupa i
jego objętość - znajdziemy pole powierzchni trójkąta AB'D' i szukaną
wysokośc.Rachunki nie są skomplikowane.

Rachunki nie są skomplikowane, ale...

[ellipsis]

To prawda - rachunki nie są nazbyt skomplikowane. Jednak Twoje rozwiązanie
wymaga dość dużej wyobraźni przestrzennej (zwłaszcza sposób podziału
prostopadłościanu na cztery czworościany o identycznych objętościach), natomiast
rozwiązanie analityczne sprowadza się do (niemal mechanicznych) rachunków. Każdy
musi sam ocenić, czy jest to dla niego wada, czy zaleta...
PS. Myślę, że Twoje rozwiązanie jest bardziej eleganckie i bardziej kształcące.