Dodaj do ulubionych

Wielomiany...

IP: 195.82.167.* 25.02.07, 15:35
Hej, mam tradycyjną prośbę o pomoc w zadanich. Nie jest to bynajmniej zadanie
domowe (toż to ferie mamy!), a araczej moje własne zboczenie domowe :)


Zadanie 1.
Rozłóz wielomian na czynniki:
a) x^6 + 1
b) x^8 + x^4 + 1
Obserwuj wątek
      • ellipsis Re: Wielomiany... 25.02.07, 23:06
        Istnieją metody rozkładu na czynniki dowolnego wielomianu stopnia niewiększego
        niż 4, ale już dla wielomianów stopnia 3 są one nieprzyjemne...
        www.math.us.edu.pl/~szyjewski/FAQ/wielomia/wzory.htm
        W ogólnym przypadku nie tylko nie ma metody rozkładu wielomianu na czynniki,
        ale wręcz udowodniono, że istnieją wielomiany o współczynnikach całkowitych,
        których _nie_da_się_ rozłożyć na czynniki, w których współczynniki są
        pierwiastkami z liczb wymiernych.
        Nie jesteśmy jednak całkowicie bezradni. Wiemy, że
        ,,jeżeli liczba postaci p/q (gdzie p i q są liczbami całkowite różnymi od zera
        i nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1) jest pierwiastkiem wielomianu
        a_n x^n + ... + a_0
        (gdzie liczby a_n, ..., a_0 są całkowite i a_n<>0), to
        p jest dzielnikiem współczynnika a_0,
        q jest dzielnikiem współczynnika a_n".
        W szczególności jeżeli a_n=1, to wszystkie wymierne pierwiastki danego
        wielomianu są całkowite.
        W Twoim przypadku
        x^7 + 2x^6 + 6x^4 - 12x^3 + 9x + 18
        podstawiamy kolejno -18, -9, -6, ..., 18, przekonując się, że podany wielomian
        nie ma żadnych pierwiastków wymiernych... :( Zapewne bimbek ma rację, że
        współczynnik przy x^3 powinien być równy 12...
      • ellipsis Re: Wielomiany... 25.02.07, 23:06
        a) Szukamy pierwiastka całkowitego (patrz odpowiedź do innego Twojego pytania;
        tutaj: x=2), a następnie dzielimy nasz wielomian przez x-2, otrzymując trójmian
        kwadratowy.
        b) Analogicznie...
    • ellipsis Re: Wielomiany... 25.02.07, 23:06
      a) Zastosuj wzór skróconego mnożenia
      a^3 + b^3 = (a+b)*(a^2-ab+b^2)
      Skorzystaj z tego, że wielomian stopnia 2 jest nierozkładalny, gdy ma ujemny
      wyróżnik.
      Wielomiany bikwadratowe, tj. wielomiany postaci
      x^4 + b x^2 + c
      rozkładamy na czynniki w następujący sposób:
      1. Jeżeli b^2-4c>=0, to piszemy
      x^4 + b x^2 + c = (x^4 + 2 Vc x^2 + c) + b x^2 - 2 Vc x^2 =
      = (x^2 + Vc)^2 - (2 Vc - b) x^2 =
      = (x^2 + Vc)^2 - [V(2 Vc - b) x]^2 =
      = [x^2 + Vc + V(2 Vc - b) x] * [x^2 + Vc - V(2 Vc - b) x).
      Otrzymane wielomiany stopnia 2 rozkładamy ewentualnie (gdy ich wyróżnik jest
      nieujemny) na czynniki stopnia 1.
      - przykład -
      x^4 - x^2 + 1 = (x^4 + 2 x^2 + 1) + x^2 - 2 x^2 =
      = (x^2 + 1)^2 - x^2 =
      = (x^2 + 1 + x) * (x^2 + 1 - x).
      2. W przeciwnym przypadku albo rozwiązujemy podstawiamy t=x^2 i rozkłądamy
      wielomian
      t^2 + bt + c
      na czynniki (wyróżnik tego wielomianu jest dodatni!), albo piszemy
      x^4 + b x^2 + c = (x^4 + b x^2 + c^2/4) + c - b^2/4 =
      = (x^2 + b/2)^2 - [V(b^2/4-c)]^2 =
      = [x^2 + b/2 - V(b^2/4-c) x] * [x^2 + b/2 + V(b^2/4-c) x].
      b) Podstaw t=x^2 i zastosuj metodę z punktu a)2. Otrzymasz dwa wielomiany
      stopnia 2 zmiennej t, a więc stopnia 4 zmiennej x. Następnie jeszcze po dwakroć
      metoda z punktu a)2...
Inne wątki na temat:

Popularne wątki

Nie pamiętasz hasła

lub ?

 

Nie masz jeszcze konta? Zarejestruj się

Nakarm Pajacyka