wielomian

[Gość: hijacker]

Witam!
Mam problem z rozwiązaniem następującego równania: 24x3-2x2-9x+2, liczby po
prawej od 'x' oznaczają oczywiście potęgi. Byłbym wdzięczny jeżeli ktoś by mi
pomógł. Oczywiście chodzi mi o sposób rozwiązania - nie chce gotowego wyniku
bo w końcu chcę się czegoś nauczyć :)

[sea_of_tears]

^ oznaczać będzie potęgowanie, np ^3 oznacza do potęg trzeciej

wykorzystujemy tu twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o
współczynnikach całkowitych,
tzn sprawdzamy, czy pierwiastkiem naszego wielomianu jest liczba, której :
licznik jest dzielnikiem wyrazy wolnego (tzn 1,-1,2 lub -2)
a mianownik jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze
(tzn 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,8,-8,12,-12,24,-24)
sprawdzając po kolei wszystkie ułamki dochodzimy do tego, że :
W(1/2)=24*(1/2)^3 - 2 *(1/2)^2 -9*(1/2)+2=
=24* 1/8 - 2 * 1/4 - 9 * 1/2 +2=
=3 - 1/2 - 4 1/2 + 2=0

zatem 1/2 jest pierwiastkiem tego wielomianu

jeśli umiesz dzielić to podziel sobie nasz wielomian
24x^3 - 2x^2 -9x+2 przez dwumian x-1/2
przy dzieleniu powinieneś otrzymać wynik
24x^2 + 10x -4 i oczywiście resztę 0 :)

więc wystarcz teraz znaleźć pierwiastki tego trójmianu kwadratowego
delta=10^2 + 4*24*4=100+384=484
pierw(delta)=22
x1=(-10-22)/48=-32/48=-2/3
x2=(-10+22)/48=12/48=1/4

zatem mamy już nasze trzy pierwiastki 1/2, -2/3, 1/4 :)

w razie pytań pisz :)

[Gość: hijacker]

hmmm...to twierdzenie wiele zmienia :)
Jedyne co udało mi się wcześniej ustalić to tyle że pierwiastki nie będą
całkowite, bo na lekcji miałem twierdzenie że jeżeli wielomian o współczynnikach
całkowitych ma pierwiastki całkowite to są one podzielnikami wyrazu wolnego. Nie
wiedziałem natomiast, że jak napisałeś "licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego
a mianownik jest
dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze". Wydaje mi się że nie miałem
tego na leckji. Pytanie moje jest więc takie czy da się to jakoś inaczej
rozwiązać?? Próbowałem wyłączyć coś przed nawias ale coś mi to nie wychodziło :/
Aha no i dzięki za tak szybką pomoc :)

[sea_of_tears]

jeśli chodzi o samo wyłączanie przed nawias to w takiej formie nic to nie da
chyba, że nasze równanie zapiszemy troszkę inaczej, tzn
24x^3 -2x^2 -9x + 2=
24x^3 - 12x^2 +10x^2 - 5x - 4x+2=
12x^2(2x-1) + 5x(2x-1) -2(2x-1)=
(2x-1)(12x^2 + 5x -2)
jednak takie coś jest dość trudne, bo żeby szybko i właściwie porozpisywać
dobrze taki wielomian wypadałoby jednak znać chociaż jeden pierwiastek

[Gość: hijacker]

ok wielkie dzięki za pomoc :)