Trygonometria z parametrem

[ewcia001]

Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązanie

2(1+cosx)/cos2x=m/(1-cosx)

[ewcia001]

Obliczyłam
cos^2x=(2+m)/(2m+2)

(2+m)/(2m+2)<=1 i (2+m)/(2m+2)>=0

Mi wyszło, że dla me(-&.-2)u{-1}u<0,&)
Niestety w odpowiedziach jest inaczej:(

[Gość: Julka]

Ta -1 to nie może być, bo masz wtedy dzielenie przez zero.
Potraktuj to równanie jako równanie kwadratowe z niewiadomą cosx i rozpatrz
warunek delta =>0
(Warunek a=0 odpada, bo dla m=-1 otrzymujemy sprzeczność)

[ewcia001]

Nie no, z tą -1 to masz racje, na początku oznaczyłam, że m różne od -1 a w
odpowiedzi i tak podałam.

Źle jest tak jak robię dalej?

Nawet w odp. podany jest sposób taki jak mój...
Tylko że im wyszedł cos^2x=(m+1)/(2m+2)
a mi cos^2x=(m+2)/(2m+2)

[Gość: Julka]

mi wyszło tak jak Tobie, to znaczy cos^2x=(m+2)/(2m+2)

[ellipsis]

Rozwiązując podwójną nierówność (w tym celu mnożymy wszystkie strony prze
_kwadrat_ mianownika - chociaż w tym przypadku najlepiej pomnożyć przez 2(m+1)^2):
-1 <= (m+2) / (2m+2) <= 1
otrzymamy
m nie należy do (-4/3,-1] (lewa część) i m nie należy do [-1,0) (prawa część).
Przypomnijmy, że otrzymaliśmy
cos^2 x = (m+2)/(2m+2),
skąd
cos 2x = 2 * ((m+2)/(2m+2))^2 - 1 = ... = -2m/(m+1)^2.
Musimy jeszcze zadbać o to, aby w wyjściowym równaniu nie otrzymać zera w
mianowniku, tj. aby dla pewnego x zachodziło cos 2x <> 0 i cos x <> 1.
Pierwsze wykluczenie oznacza, że m <> 0. Jeżeli natomiast dla pewnego m
zachodzi cos x = 1, to istnieje x, dla którego cos x = -1, więc drugie
wykluczenie nie wnosi nic nowego.
Odp. m nie należy do (-4/3,0].

[Gość: Julka]

Otrzymaliśmy kwadrat cosinusa, więć założenie powinno być takie
0<=(2+m)/(2m+2)<=1
co jest równoważne z założeniami ewci, a rozwiązanie tej nierówności podwójnej
daje taki wynik jaki otrzymał(a) Joa

Oczywiście masz rację...

[ellipsis]

Gość portalu: Julka napisał(a):
> Otrzymaliśmy kwadrat cosinusa, więć założenie powinno być takie
> 0<=(2+m)/(2m+2)<=1

To za mało...

[ellipsis]

Warunek Delta >= 0 to za mało - musimy zadbać, aby nowe równanie kwadratowe
miało pierwiastek w przedziale [-1,1] oraz aby otrzymane rozwiązanie nie
powodowało w wyjściowym równaniu dzielenia przez zero...

[Gość: Joa]

2(1+cosx)/cos2x=m/(1-cosx)<=>m=2(1+cosx)(1-cosx)/cos2x
Przyjmując cosx =c mamy m(c)=(2-2c^2)/(2c^2-1)
D=<-1,-V2/2)U(-V2/2,V2/2)U(V2/2,1) i prościej: t=2c^2 => m(t)=(2-t)/(t-1)
D=<0,1)U(1,2>
m(t)=1/(t-1) -1
ww funkcja homograficzna w podanej dziedzinie przyjmuje wartości
ze zbioru Z=(-oo,-2>U<0,+oo) (Takie wartości może przyjmować parametr m)

[ewcia001]

Czyli wychodzi na to że dobrze rozwiązałam a w odpowiedziach się machnęli.

Dzięki za sprawdzenie

[pam31]

Jeszcze jeden wariant rozwiązania:
m=(2-2cos^x)/cos2x <=> m =(1-cos2x)/cos2x <=> m=1/cos 2x -1 <=>m+1=1/cos2x
Ponieważ funkcja f(x)=1/cos2x w całej swej dziedzinie przyjmuje wszystkie
wartości ze zboru Z=R\(-1,1) więc m+1=<-1 lub m+1>=1 <=> m=<-2 lub m>=0

[ewcia001]

Ahaha, ale i tak wychodzi takie samo rozwiązanie;)

[pam31]

Jak widać, to samo zadanie można zrobić na wiele sposobów, w mniej lub bardziej
skomplikowany sposób.