Funkcja kwadratowa

[Gość: Tomek z LO]

Punkty A=(-2,6) i B=(8,16) należą do wykresu funkcji f(x)=ax^2+bx+c
Funkcja ma dwa miejsca zerowe, a wierzchołek paraboli będącej jej wykresem
należy do prostej y=-2x+2. Znajdź wzór tej funkcji.

nie potrafie tego wyliczyć, myśle że może to przez błąd autorów. napiszcie jak
wy byście to zrobili(napiszcie układ równań!)
prawidłowa odp. to podobno f(x)=1/2x^2-2x

[ellipsis]

a*(-2)^2 + b*(-2) + c = 6
a*8^2 + b*8 + c = 16
-2*(-b/(2a)) + 2 = -(b^2-4ac)/(4a)
+ ograniczenia: a<>0, Delta>0
Otrzymasz rozwiązania (1/2,-2,0) i (1/10,4/10,64/10). Drugie rozwiązanie
odrzucamy, bo Delta<0, wbrew warunkom zadania.

[Gość: Tomek z LO]

dzięki okazało się że dobrze myślałem tylko poległem z liczeniem
strasznie trudno liczyć 3 niewiadome.. może masz na to jakiś sprytny sposób?
bo w moim wykonaniu obliczenia układu 3 równań to co najmniej 2 strony w zeszycie

[ellipsis]

Mamy układ równań:
a*(-2)^2 + b*(-2) + c = 6
a*8^2 + b*8 + c = 16
-2*(-b/(2a)) + 2 = -(b^2-4ac)/(4a)
czyli, po wymnożeniu (trzecie równanie mnożymy obustronnie przez 4a)
4a - 2b + c = 6
64a + 8b + c = 16
4b + 8a = 4ac - b^2
Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymamy
60a + 10b = 10,
skąd
(*) b = ...
Wstawiając (*) do pierwszego równania otrzymamy
4a - 2*(...) + c = 6,
skąd po łatwych przekształceniach
(**) c = ...
Wstawmy (*) i (**) do ostatniego równania. Otrzymamy
4*(...) + 8a = 4a*(...) -(...)^2,
skąd po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę i redukcji wyrazów podobnych
100 a^2 - 60 a + 5 =0,
czyli ostatecznie
20 a^2 - 12 a + 1 = 0
Teraz liczymy Delta, a_1, a_2, podstawiamy a_1 i a_2 do (*) i (**), a na koniec
sprawdzamy, czy są spełnione ograniczenia.
PS. Powyższy tekst to 13 linii przekształceń. Uwzględniając brakujące linie
otrzymasz 24 lini4, ciut więcej niż jedna strona w zeszycie (prawie dwie, jeżeli
piszesz litery wysokie na 1 cm). Mniej się raczej nie da, chyba że np. już
tworząc układ równań dokonasz odpowiednich wyliczeń (zyskasz trzy linie
przekształceń).

[pam31]

Może przyda ci się przeanalizowanie takiego postępowania
4a-2b+c=6
64a+8b+c=16
b^2 -4ac+8a+4b=0
Rozwiązujemy układ otrzymany z pierwszych dwóch równań:
4a -2b=6-c
64a+8b=16-c i otrzymujemy:
a=(8-c)/16 i b=(3c-16)/8
Po wstawieniu a i b do trzeciego równania otrzymujemy
[(3c-16)^2 ]/64 -(8c-c^2)/4 +(8-c)/2 +(3c-16)/2=0 |*64
9c^2 -96c +256 -128c +16c^2+512 -32c +96c -512=0
25c^2-160c=0
Jak widzisz, nie jest tego dużo, jeśli część rachunków wykonujemy w pamięci.
Przy bardziej formalnym postępowaniu dochodzi jeszcze kilka wierszy zapisu.
Ogolona zasada – jeżeli w układzie trzech równań, w którym występują jednomiany
wyższych stopni, da się wyodrębnić układ równań liniowych z parametrem –
rozwiązujemy ten układ i wstawiamy otrzymane rozwiązanie do trzeciego równania.
Otrzymamy równanie z jedna niewiadomą, do którego stosujemy odpowiednie
twierdzenia .

[Gość: Tomek z LO]

dzieki wam! zrozumialem sposób ellipsisa(zrobilem maly błędzik w liczeniu), tego
od pam31 nie kumam. może napiszesz Pam31 jakim cudem to wyliczyl-eś/-aś? ;]

[pam31]

Dodaję kilka wyjaśnień.
4a-2b+c=6
64a+8b+c=16
b^2 -4ac+8a+4b=0
Rozwiązujemy układ otrzymany z pierwszych dwóch równań - traktujemy c jako
parametr (tak, jak gdyby był znana liczbą) i przenosimy go na prawa stronę
w I II równaniu:
4a -2b=6-c
64a+8b=16-c
Rozwiązujemy ten układ dowolną metodą (np. przeciwnych współczynników)i otrzymujemy:
a=(8-c)/16 i b=(3c-16)/8 . Mamy a i b uzależnione od c (!!!)
Po wstawieniu a i b do trzeciego równania mamy:
[(3c-16)^2 ]/64 -(8c-c^2)/4 +(8-c)/2 +(3c-16)/2=0 |*64
i po pomnożeniu przez 64
9c^2 -96c +256 -128c +16c^2+512 -32c +96c -512=0
Przeprowadzamy redukcję i
25c^2-160c=0 stad c=0 lub c =160/25=32/5 =6,4
Po podstawieniu do wzorów w (!!!) wierszu
otrzymujemy a=1/2, b=-2 lub a=0,1 ,b=0,4
Poszukiwana funkcja kwadratowa ma postać y=1/2x^2 -2x lub y=0,1x^2 +0,4x+6,4
Druga z tych funkcji ma wyróżnik ujemny, nie ma więc pierwiastków, a warunki
zadania mówiły o ich istnieniu. Tylko więc pierwsza z nich jest tą poszukiwaną.